1 \documentclass[12pt,oneside,
a4paper]{book
}
8 \usepackage[utf8
]{inputenc}
9 \usepackage[francais
]{babel
}
14 \usepackage[T1]{fontenc}
17 \usepackage{tocbibind
}
21 %%%%%Marges & en-t\^etes
23 \geometry{hmargin=
2.3cm, vmargin=
3cm
}
24 \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
25 \fancyhead[FC
]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
26 \fancyhead[HC
]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
27 \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt
} % filet en haut
28 \addtolength{\headheight}{0.5pt
} % espace pour le filet
29 \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt
} %filet en bas
32 %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions
34 \newtheorem{Def
}{D\'efinition
}
35 \newtheorem{Not
}[Def
]{Notation
}
36 \newtheorem{Th
}{Th\'eor\`eme
}
37 \newtheorem{Prop
}[Th
]{Proposition
}
38 \newtheorem{Cor
}[Th
]{Corollaire
}
39 \newtheorem{Rmq
}{Remarque
}
42 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
43 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
47 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
48 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
54 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
55 \includegraphics[scale=
0.5]{polytech.png
}\\
60 \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
61 \large \bf 5ème année\\
66 %\large{Master 2 Professionnel\\
67 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}
69 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\
}
76 \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique
} \\
78 \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes
} \\
85 \includegraphics[scale=
0.4]{CE.PNG
}\\
92 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\
95 \large {\bf Jérôme
\bsc{Benoit
} et Sylvain
\bsc{Papa
}}\\
99 % \large sous la direction de \\
103 %Eric Audureau et Thierry Masson
109 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
110 \normalsize{Année
2018-
2019}
114 \thispagestyle{empty
}
119 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
120 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
127 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
128 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
132 %%%%%Table des mati\`eres
138 %\includegraphics{logo_fac2}
139 \includegraphics[scale=
0.04]{amu
}
146 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
147 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
154 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
155 \chapter{Introduction générale
}
159 \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
}
161 La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement l'analyse numérique, les probabilités, la statistique et l'algorithmie.
163 On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision.
165 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?
}
167 Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage
{\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires
} \cite{Berg
} de Maïtine Bergounioux
\footnote{Maïtine Bergounioux,
{\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires
}, Dunod,
2001.
}.
168 Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet
\footnote{Francis Filbet,
{\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique
}, Dunod,
2009.
},
{\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique
} \cite{Filb
}.
171 %{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème édition, puf, 2000, \cite{Mavr};
172 %ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}.
177 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
179 \chapter{Sujets d'étude en travaux dirigés
}
181 \section{Cahier des charges
}
183 Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera
184 à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe).
188 Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée
189 (citations en note de bas de page et dans le corps du
document, liste des références en fin de
document dans la bibliographie, etc...).
190 Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du
document).
191 L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances.
195 Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance
196 et d'objectivité scientifique. Le
document ne devra pas excéder
10 pages.
197 On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du
document.
199 \section{Proposition de sujets
}
201 \subsection{Analyse numérique
}
205 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires).
209 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables.
213 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc....
217 \subsection{Optimisation
}
221 \subsubsection{Optimisation sans contrainte
}
223 {\bf A- Algorithmes déterministes
}
227 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés).
231 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal).
235 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema.
239 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général)
243 5) Méthode de relaxation
247 {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques
}
251 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov)
255 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis)
259 \subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes
}
263 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) .
267 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT).
271 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité,
272 méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation,
273 méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming),
274 méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc...
278 \subsection{Recherche opérationnelle
}
282 \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)
}
284 1) Méthode d'énumération.
288 2) Méthode du simplexe.
292 3) Application à des problèmes de R.O:
296 \hspace{.3em
} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste
18 kg de cacao,
8 kg de noisettes et
14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf
{\it extra
} et l'oeuf
{\it sublime
}. Un oeuf
{\it extra
} nécessite
1kg de cacao,
1 kg de noisettes et
2 litres de lait tandis qu'un oeuf
{\it sublime
} nécessite
3 kg de cacao,
1 kg de noisettes et
1 litre de lait. Il fera un bénéfice de
20 euros en vendant un oeuf
{\it extra
}, et de
30 euros en vendant un oeuf
{\it sublime
}.
300 \hspace{.6em
} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
304 \hspace{.6em
} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice?
308 \hspace{.3em
} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de
150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte
100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant :
314 \begin{array
}{|c|c|c|c|
}
316 Atelier & A & B & C \\
318 Pièce
1 &
3 h &
5 h &
2 h \\
320 Pièce
2 &
1 h &
3 h &
3 h \\
328 Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir
1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir
3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir
1800 heures machines.
330 \hspace{.6em
} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
334 \hspace{.6em
} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique?
338 \bibliographystyle{plain
}
339 \bibliography{stdlib_sbphilo
}
341 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
346 \begin{thebibliography
}{6}\input{MemoireM2Ballet6.synctex.gz(busy)
}
348 %\bibitem[1]{BL} Jean-Pierre \bsc{Bourguignon} et David \bsc{Langlois}, Cours de M1, Module Relativité Générale,
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351 %\bibitem[2]{G} Gilles \bsc{Cohen-Tannoudji}, Einstein et la refondation relativiste de la physique, 2005.\\
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395 \end{thebibliography
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