1 \documentclass[12pt,oneside,
a4paper]{book
}
10 \usepackage{mathtools
}
12 \usepackage[utf8
]{inputenc}
13 \usepackage[francais
]{babel
}
18 \usepackage[T1]{fontenc}
21 \usepackage{tocbibind
}
25 %%%%%Marges & en-t\^etes
27 \geometry{hmargin=
2.3cm, vmargin=
3cm
}
28 \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
29 \fancyhead[FC
]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
30 \fancyhead[HC
]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
31 \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt
} % filet en haut
32 \addtolength{\headheight}{0.5pt
} % espace pour le filet
33 \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt
} % filet en bas
36 %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions
38 \newtheorem{Def
}{D\'efinition
}
39 \newtheorem{Not
}[Def
]{Notation
}
40 \newtheorem{Th
}{Th\'eor\`eme
}
41 \newtheorem{Prop
}[Th
]{Proposition
}
42 \newtheorem{Cor
}[Th
]{Corollaire
}
43 \newtheorem{Rmq
}{Remarque
}
45 \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1\right\Vert}
47 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
48 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
52 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
53 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
59 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
60 \includegraphics[scale=
0.5]{polytech.png
}\\
65 \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
66 \large \bf 5ème année\\
71 %\large{Master 2 Professionnel\\
72 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}
74 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\
}
81 \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique ou PQS
} \\
83 \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes
} \\
90 \includegraphics[scale=
0.4]{CE.PNG
}\\
97 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\
100 \large {\bf Jérôme
\bsc{Benoit
} et Sylvain
\bsc{Papa
}}\\
104 % \large sous la direction de \\
108 %Eric Audureau et Thierry Masson
114 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
115 \normalsize{Année
2018-
2019}
119 \thispagestyle{empty
}
124 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
125 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
132 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
133 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
136 %%%%%Table des mati\`eres
142 %\includegraphics{logo_fac2}
143 \includegraphics[scale=
0.04]{amu
}
150 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
151 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
158 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
159 \chapter{Introduction générale
}
161 L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS.
163 Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet.
167 \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
}
169 \subsection{Présentation rapide
}
171 La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
173 On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.
175 \subsection{Définition de la problèmatique
}
177 Définissons le problème central $
\mathcal{P
} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
179 Soient $(n, p, q)
\in \mathbb{N
}^
3$, $x
\in \mathbb{R
}^n$, une fonction $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}$.
181 La problèmatique $
\mathcal{P
} $ se définit par :
185 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
193 On définit $
\mathcal{C
} $ l'ensemble des contraintes par :
194 $$
\mathcal{C
} =
\left \
{ x
\in \mathbb{R
}^n \ | \ g(x)
\leq 0 \land h(x) =
0 \right \
} $$
196 Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($
\mathcal{C
} \neq \emptyset $ et $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $ défini dans $
\mathcal{C
} $) ainsi que de construction d'une solution dans $
\mathcal{C
} $.
198 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?
}
200 \subsection{Définition
}
202 La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est l'activité principale de l'optimisation.
204 Si la modélisation de la problèmatique $
\mathcal{P
} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est, elle, une science.
206 \subsection{Quelques définitions annexes
}
208 Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
210 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
212 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{intérieur
} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^
\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $
\mathring{A
} $.
215 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
217 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{adhérent
} à $ A $ si et seulement si $
\forall V
\in \mathcal{V
}(x^
\ast) \ A
\cap V
\neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $
\overline{A
} $.
220 Soient une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
222 On dit que $ f $ est continue en $ x^
\ast $ si
223 $$
\forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\exists \alpha \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\norme{x - x^
\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^
\ast)|
\leq \varepsilon $$
226 Soient $ k
\in \
{ 1,
\ldots,n \
} $ et une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $.
228 On dit que la $ k^
{ième
} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $ si l’application
229 $$ t
\longmapsto f(x^
\ast_1,
\ldots,x^
\ast_{k-
1},x^
\ast_k + t,x^
\ast_{k+
1},
\ldots,x^
\ast_n) $$
230 définie sur un voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
} $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $ est dérivable en $
0 $.
233 $$
\frac{\partial f
}{\partial x_k
}(x^
\ast) $$ ou $$
\partial_k f(x^
\ast) $$
237 Soient une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $
238 et $ x^
\ast, h
\in \mathbb{R
}^n $.
240 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^
\ast $ si il existe une application linéraire $ d_
{x^
\ast}f $ de $
\mathbb{R
}^n $ dans $
\mathbb{R
} $ telle que
242 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\underset{h
\rightarrow 0}{\mathrm{o
}}(
\norme{h
})
244 Autrement dit il existe une application $
\varepsilon_{x^
\ast} $ définie sur le voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
}^n $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $
245 telle que $
\lim\limits_{h
\rightarrow 0} \varepsilon_{x^
\ast}(h) =
0 $ et
247 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\norme{h
}\varepsilon_{x^
\ast}(h)
249 On appelle $ d_
{x^
\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^
\ast $.
252 On peut démontrer que : $$ d_
{x^
\ast}f =
\sum_{i=
1}^n
\frac{\partial f
}{\partial x_i
}(x^
\ast) $$.
255 Soit une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable.
257 Le gradient de $ f $, noté $
\nabla f$, en $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n$ se définit par :
259 \nabla f(x^
\ast) = (
\frac{\partial f
}{\partial x_1
}(x^
\ast),
\ldots,
\frac{\partial f
}{\partial x_n
}(x^
\ast))
263 $
\forall h
\in \mathbb{R
}^n \ d_
{x^
\ast}f(h) =
\langle \nabla f(x^
\ast),h
\rangle $
266 \subsection{Conditions d'existence d'un extremum
}
268 On peut démontrer que $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé de $
\mathbb{R
}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
269 On peut en déduire que si $ J $ est continue, $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé et borné de $
\mathbb{R
}^n $.
270 \begin{Th
}[Théorème de Weierstrass
]
271 Soient $
\mathcal{C
} \neq \emptyset \subset \mathbb{R
}^n $ un fermé borné et $ f :
\mathcal{C
} \longrightarrow \mathbb{R
} $ une fonction continue.
273 Alors : $$
\exists x^
\ast \in \mathcal{C
} \
\forall x
\in \mathcal{C
} \ f(x)
\geq f(x^
\ast) $$
274 Autrement dit $ x^
\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
276 De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
278 On en déduit que $
\mathcal{P
} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues
\cite{LJK,RON
}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ permet d'explorer l'unicité de la solution
\cite{LJK,RON
}.
280 \subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum
}
282 Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $
\mathcal{C
}^
1 $), la recherche du mimimum consiste à faire une descente par gradient
[section
\ref{descente
}] de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i =
\displaystyle\min_{x
\in \mathcal{C
}} J(x)
\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\norme{\nabla J(x_i)
} <
\varepsilon $, $ i
\in \mathbb{N
} $
\cite{FEA
}.
284 On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^
\ast \in \mathring{\mathcal{C
}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $
\nabla J(x^
\ast) =
0 $. Mais si $ x^
\ast \in \overline{\mathcal{C
}}\setminus\mathring{\mathcal{C
}} $ (la frontière de $
\mathcal{C
} $) alors $
\nabla J(x^
\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum
\cite{FEA,WAL
}.
286 \subsubsection{Conditions de Karuch-Kuhn-Tucker
}\label{KKT
}
289 Soient $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $, $ I = \
{ 1,
\ldots,p \
} $ et $ J = \
{ 1,
\ldots,q \
} $.
291 Les conditions nécessaires pour que $ x^
\ast \in \mathcal{C
}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
294 \centerline{$ \
{ \nabla g_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla g_p(x^
\ast),
\nabla h_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla h_q(x^
\ast) \
} $ sont linéairement indépendants.
}
298 $$
\forall i
\in I \
\exists \mu_i \in \mathbb{R
}_
{+
} \land \forall j
\in J \
\exists \lambda_j \in \mathbb{R
} \
\nabla J(x^
\ast) +
\sum_{i
\in I
}\mu_i{\nabla g_i(x^
\ast)
} +
\sum_{j
\in J
}\lambda_j{\nabla h_j(x^
\ast)
} =
0 \land \forall i
\in I \
\mu_i \nabla g_i(x^
\ast) =
0 $$
299 On appelle $ (
\mu_i)_
{i
\in I
}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (
\lambda_j)_
{j
\in J
}$ les multiplicateurs de Lagrange.
302 Elle repose sur le lemme de Farkas
\cite{FEA,RON
}.
304 Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\forall i
\in \
{ 1,
\ldots,q \
} \ h_i(x) =
0 \iff h_i(x)
\leq 0 \land h_i(x)
\geq 0 $
\cite{FEA
}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $
\mathcal{P
} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions
\textit{KKT
} à vérifier mais rajoute $
2q $ conditions d'inégalités et donc $
2q $ multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
307 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
309 \chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle
}
311 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS.
315 \section{Methode de descente
}\label{descente
}
317 Partant d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ de $
\mathbb{R
}^n $ définie par :
318 $$ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k,d_k
\in \mathbb{R
}^n $ et avec
319 $$
\forall k
\in \mathbb{N
} \ J(x_
{k+
1})
\leq J(x_k) $$
320 Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée
\textit{recherche linéaire
}.
322 \subsection{Définition d'une direction de descente
}
324 Un vecteur $ d
\in \mathbb{R
}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ si $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ est décroissante en $ t =
0 $, c’est-à-dire :
325 $$
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
326 Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines direc-
329 Soient $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable et $ d
\in \mathbb{R
}^n $.
331 d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ ssi :
332 $$
\nabla J(x_0)^
\top d <
0 $$
334 $$
\forall \beta <
1 \in \mathbb{R
}_
{+
} \
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t
\beta \nabla J(x_0)^
\top d < J(x_0) $$
337 Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre
1.
339 Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la
340 direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $ , est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :
344 ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
346 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire.
348 \textit{Sortie
}: une approximation de la solution du problème : $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $.
351 \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
353 \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $
\nabla J(x_k)^
\top d_k <
0 $.
354 \item \textit{Recherche linéaire
} : Choisir un pas $ s_k >
0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k) $$.
355 \item Mise à jour : $ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k; \ k := k +
1 $.
357 \item Retouner $ x_k $.
362 \subsection{Choix de la direction de descente
}
364 Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement
365 simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de
368 \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -
\nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes de gradient
}.
369 \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes Newtoniens
}.
371 Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($
\nabla J(x_k) =
0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème
372 peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas
373 étudiées dans le cadre de ce projet.
375 \subsection{Critère d’arrêt
}
377 Soit $ x^
\ast $ un minimum local du critère $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^
\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,
\ldots,x_k,
\ldots $ de points de $
\mathbb{R
}^n $ qui converge vers $ x^
\ast $.
379 En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête
380 toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment
381 proche de $ x^
\ast $.
383 Soit $
\varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable
384 sans contrainte, on testera si
385 $$
\norme{\nabla J(x_k)
} <
\varepsilon, $$
386 auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.
388 En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à
389 d’autres critères (fondés sur l’expérience du numérique) :
391 \item Stagnation de la solution : $
\norme{x_
{k+
1} - x_k
} <
\varepsilon(
1 +
\norme{x_k
}) $.
392 \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_
{k+
1}) - J(x_k)| <
\varepsilon(
1 + |J (x_k)|) $.
393 \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
395 et généralement une combinaison de ces critères :
400 Test d’optimalité satisfait \\
401 OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
402 OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
405 \subsection{La recherche linéaire
}
407 Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
409 Soit $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s >
0 $ de sorte que :
410 $$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
411 Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver
412 le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont
413 donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.
417 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_
{k-
1} $
423 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $
\displaystyle\min_{s
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
}} J(x_k + sd_k) $
427 Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne
428 s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de
429 la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le
430 cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très
431 précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme
432 c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches
433 linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait
434 “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont
435 acceptables et ceux qui ne le sont pas.
437 On appelle $
\varphi : s
\in \mathbb{R
} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
440 Dans le cas où $ J, g, h $ sont de classe $
\mathcal{C
}^
1 $, on dit que un algorithme de descente converge ssi
441 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
444 \subsubsection{Principe de démonstration de convergence
}
446 Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence glo-
447 bale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du
449 $$ J(x_k) - J(x_
{k+
1})
\geq c
\norme{\nabla J(x_k)
}^
2, $$
450 où $ c $ est un constante réelle.
452 En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $
0 $ à $ N -
1 $, on obtient :
453 $$
\forall N
\in \mathbb{N
} \ J(x_0) - J(x_N)
\geq c
\sum_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2 $$
454 Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (
\sum_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2)_
{N
\in \mathbb{N
}} $ converge, ce qui implique :
455 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
456 L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $
\varphi $ et le choix d'une direction ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.
458 \section{Méthode Newtonienne
}
460 L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de
461 Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) =
0 $. En optimisation sans contrainte,
462 l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
463 $$
\nabla J(x) =
0, $$
464 autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
466 En supposant $ J $ de classe $
\mathcal{C
}^
2 $ et la matrice hessienne $ H
[J
](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
467 $$ x_
{k+
1} = x_k - H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
468 où $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton.
470 \section{Méthode PQS (ou SQP)
}
472 \bibliographystyle{plain
}
473 \bibliography{stdlib_sbphilo
}
475 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%