X-Git-Url: https://git.piment-noir.org/?a=blobdiff_plain;f=pr%C3%A9sentation%2FSlides_ProjetOptimRO.tex;h=eade499f142b328ca34df222514b268e7a9192d9;hb=c207a96fe97af0c4d38688ce110768bc3513026d;hp=a7880f241d78f32a012aefeb13a494bb05418391;hpb=f471c8ba3e231eb35e7473a3a3cd70fec6998943;p=Projet_Recherche_Operationnelle.git diff --git "a/pr\303\251sentation/Slides_ProjetOptimRO.tex" "b/pr\303\251sentation/Slides_ProjetOptimRO.tex" index a7880f2..eade499 100644 --- "a/pr\303\251sentation/Slides_ProjetOptimRO.tex" +++ "b/pr\303\251sentation/Slides_ProjetOptimRO.tex" @@ -3,7 +3,6 @@ \usefonttheme{professionalfonts} - % Setup appearance: %\usetheme{Warsaw} \usetheme{Darmstadt} @@ -46,11 +45,10 @@ %\usepackage{MyMnSymbol} \usepackage{comment} %\usepackage{etex} -%usepackage{mathtools} +%\usepackage{mathtools} %\usepackage{fourier} \usepackage{ragged2e} -\justifying % Setup TikZ \usepackage{tikz} @@ -83,10 +81,10 @@ $}} \newcommand{\bluebrace}{{\color{blue}\left\{}} +\newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert} \definecolor{mycvblue}{rgb}{0.302,0.537,0.737} - \setbeamercolor{structure}{fg=mycvblue} \setbeamercolor{palette primary}{fg=mycvblue} \setbeamercolor{subsection in head/foot}{parent=palette primary} @@ -102,15 +100,11 @@ $}} %\renewcommand{\item}{\item[$\bullet$]} +\title[]{\LARGE{\textsc{Méthode de Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS\\ en\\ Optimisation non linéraire sous contraintes}}} +\author[Jérôme {\textsc Benoit} \& Sylvain {\textsc Papa}]{\textbf{Jérôme {\textsc Benoit}\\ \textbf{Sylvain {\textsc Papa}}}} -\title[]{\LARGE{\textsc{Familles denses de courbes modulaires, nombres premiers\\ et \\rang de tenseur symétrique uniforme de la multiplication dans les corps finis}}} - -\author[Alexey {\textsc Zykin}]{\textbf{Alexey {\textsc Zykin}$^{\dag}$} \\ (\textbf{1984 - 2017}) \\Laboratoire GAATI \\Université de la Polynésie Française\\ -{\small National Research University Higher School of Economics} \\ Institute for Information Transmission Problems of the Russian Academy of Sciences\\\vspace{1em}\textbf{\textcolor{mycvblue}{en collaboration avec}}\\ \vspace{1em} \textbf{Stéphane {\textsc Ballet}}\\ Equipe Arithmétique et Théorie de l'Information\\ Institut de Mathématiques de Marseille \\ Aix-Marseille Université} - - -\date[]{\\ \vspace{2em} {\bf Séminaire GAATI}\\ {\bf UPF} \\{\small Avril 2017}} +\date[]{{\bf HUGo}\\ {\bf Polytech'Marseille} \\{\small Novembre 2018}} \newtheorem{defin}{Définition} \newtheorem{theoreme}{Théorème} @@ -142,22 +136,20 @@ $}} \newcommand{\chch}{{C}hudnovsky-{C}hudnovsky} \newcommand{\ch}{{C}hudnovsky} - - \addtobeamertemplate{footline}{\texttt{\hfill\insertframenumber/{\inserttotalframenumber}}} -% -%\AtBeginSubsection[] { -%\begin{frame} -%\frametitle{Plan} -%\tableofcontents[currentsection,currentsubsection] -%\end{frame} -%} -%\AtBeginSection[] { -%\begin{frame} -%\frametitle{Plan} -%\tableofcontents[currentsection]%,currentsubsection] -%\end{frame} -%} + +% \AtBeginSubsection[] { +% \begin{frame} +% \frametitle{Plan} +% \tableofcontents[currentsection,currentsubsection] +% \end{frame} +% } +% \AtBeginSection[] { +% \begin{frame} +% \frametitle{Plan} +% \tableofcontents[currentsection]%,currentsubsection] +% \end{frame} +% } \setbeamertemplate{sections/subsections in toc}[sections numbered] %\setbeamertemplate{sections in toc}[sections numbered] @@ -198,137 +190,210 @@ $}} \section{Introduction} -\subsection{Définitions} +\subsection{Définition de la problèmatique} %%%%% SLIDE 1 -\begin{frame}{Définition formelle I} - -\end{frame} - -%%%%% SLIDE 2 -\begin{frame}{Définition formelle II} - -\end{frame} - -%%%%% SLIDE 3 -\begin{frame}{Définition formelle III} - -\end{frame} - -\subsection{Quantités asymptotiques} - -%%%%% SLIDE 6 -\begin{frame} - +\begin{frame}{Définition de la problèmatique} + \begin{defin} + Résoudre le problème $ \mathcal{P} $ : + $$ + \mathcal{P} \left \{ + \begin{array}{l} + \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ + g(x) \leq 0 \\ + h(x) = 0 + \end{array} + \right . + $$ + où $$ g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p,\ h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q\ et\ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $$ + \end{defin} + \centerline{à l'aide de méthodes numériques itératives.} \end{frame} -\section{Algorithme de D.V. et G.V. Chudnovsky (1987)} - -\subsection{Avec des places rationnelles} +\section{Méthode de descente} -%%%%% SLIDE 9 -\begin{frame}{Algorithme original de Chudnovsky et Chudnovsky} - -\end{frame} - -\subsection{Principe} - -%%%%% SLIDE 8 -\begin{frame}{Principe pour multiplier avec l'algorithme de Chudnovsky} - -\end{frame} - -\subsection{Avec des places de degré un et deux} - -%%%%% SLIDE 10 -\begin{frame}{Evaluations sur des places de degré 1 et 2} - -\end{frame} - -\section{Conditions permettant l'utilisation de l'algorithme} - -\subsection{Conditions principales} - -%%%%% SLIDE 11 -\begin{frame}{Conditions suffisantes pour appliquer l'algorithme} - -\end{frame} - -\subsection{Applications} - -%%%%% SLIDE 11 -\begin{frame}{Le cas des extensions de petits degré} +\subsection{Définition} +%%%%% SLIDE 2 +\begin{frame}{Définition d'une méthode de descente} + \begin{defin} + Générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ avec : + \centerline{$ x_0 \in \mathbb{R}^n $ arbitraire,} + \centerline{$ x_{k+1} = x_k + s_kd_k $ où $ s_k \in \mathbb{R}_{+}^{*},d_k \in \mathbb{R}^n $} + et + $$ \forall k \in \mathbb{N} \ J(x_{k+1}) \leq J(x_k) $$ + \end{defin} \end{frame} -\begin{frame}{Algorithme de Chudnovsky sur un corps de fonctions hyperelliptique de genre 2} +\subsection{Algorithme} +%%%%% SLIDE 3 +\begin{frame}{Algorithme de descente modèle} + \begin{block}{ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.} + \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire. + \newline + \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $. + \begin{enumerate} + \item $ k := 0 $. + \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait, + \begin{enumerate} + \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $ \nabla J(x_k)^\top d_k < 0 $. + \item \textit{Recherche linéaire} : Choisir un pas $ s_k > 0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$ + \item Mise à jour : $ x_{k+1} = x_k + s_kd_k; \ k := k + 1 $. + \end{enumerate} + \item Retourner $ x_k $. + \end{enumerate} + \end{block} \end{frame} +\subsubsection{Direction de descente} -\begin{frame}{Exemple pour les \textit{petites} extensions $\F_{16^n}$ de $\F_{16}$} - +%%%%% SLIDE 4 +\begin{frame}{Direction de descente} + Deux grandes stratégies : + \begin{itemize} + \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}. + \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}. + \end{itemize} \end{frame} -\setbeamercovered{transparent} - -\begin{frame} - +\subsubsection{Critère d'arrêt} + +%%%%% SLIDE 5 +\begin{frame}{Critère d'arrêt} + \centerline{Critère d’arrêt =} + \begin{tabular}{c} + Test d’optimalité satisfait($\norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon$) \\ + OU (Stagnation de la valeur courante($ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $) \\ + ET Stagnation de la solution($ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $)) \\ + OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé($ k < IterMax $) + \end{tabular} \end{frame} -%%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%% - - -%%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%% - - -%%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%% - -\section{Nouveau résultats} - -\subsection{Bornes uniformes connues} - -\begin{frame} +\subsubsection{Recherche linéaire} +%%%%% SLIDE 6 +\begin{frame}{Recherche linéaire} + \begin{block}{RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE.} + $ s_k = s_{k-1} $ + \end{block} + \begin{block}{RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL.} + $ s_k $ solution du problème $ \displaystyle\min_{s \in \mathbb{R}_{+}^{*}} J(x_k + sd_k) $ + \end{block} \end{frame} -\subsection{Nouvelles bornes uniformes} +\subsubsection{Méthode Newtonienne} -\begin{frame} +%%%%% SLIDE 7 +\begin{frame}{Méthode Newtonienne I} + Choix de la direction de descente $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ solution unique du problème : -\end{frame} - -%%%%% SLIDE 14 -\begin{frame}{Corps de fonctions sur $\F_{p^2}$} + $$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$ + $ \iff d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $. \end{frame} -\begin{frame} - +%%%%% SLIDE 8 +\begin{frame}{Méthode Newtonienne II} + \begin{tabular}{|p{15em}|p{15em}|} + \hline + Avantages & Inconvénients \\ + \hline + sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par 2 à chaque itération). & \\ + \hline + & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H[J](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\ + \hline + & le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\ + \hline + & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\ + \hline + & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\ + \hline + \end{tabular} \end{frame} -%%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%% +\section{Méthode PQS} -\begin{frame} +\subsection{Principe général} +%%%%% SLIDE 9 +\begin{frame}{Principe général I} + \begin{defin} + Résoudre le problème $ \mathcal{P} $ : + $$ + \mathcal{P} \left \{ + \begin{array}{l} + \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ + g(x) \leq 0 \\ + h(x) = 0 + \end{array} + \right . + $$ + où $$ g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p,\ h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q\ et\ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\ de\ classe\ \mathcal{C}^2. $$ + \end{defin} \end{frame} -\begin{frame} - +%%%%% SLIDE 10 +\begin{frame}{Principe général II} + \begin{enumerate} + \item Conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité d'une solution (\textit{KKT}, $ H[J] $ définie positive et convexité de $ \mathcal{P} $). + \item Approximation quadratique du Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ par Taylor-Young à l'ordre 2 en $ x_k $: + $$ L(x,\lambda,\mu) \approx L(x_k,\lambda_k,\mu_k) + \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) $$ + $$ + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$ + \item Approximation linéaire de $ g $ et $ h $ par Taylor-Young à l'ordre 1 en $ x_k $ : + $$ g(x) \approx g(x_k) + \nabla g(x_k)^\top(x - x_k) $$ + $$ h(x) \approx h(x_k) + \nabla h(x_k)^\top(x - x_k) $$ + \item Condition d'optimalité sur le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : + $$ \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$ + \end{enumerate} \end{frame} -\section{Conclusions et perspectives} - -\subsection{Problèmes et/ou travail en cours} - -%%%%% SLIDE 15 - -\begin{frame}{Conclusion} - +%%%%% SLIDE 11 +\begin{frame}{Principe général III} + \begin{block}{} + Résoudre le sous-problème quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ avec contraintes linéaires : + $$ + \mathcal{PQ}_k \left \{ + \begin{array}{l} + \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ + g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\ + h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} + \end{array} + \right . + $$ + où $ d = x - x_k $ et $ H_k = H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) $ symétrique (Schwarz). + \end{block} + \centerline{$ \implies $ La solution $ d_k $ est la valeur optimale de direction de descente.} \end{frame} -\begin{frame} - +\subsection{Algorithme PQS} + +%%%%% SLIDE 12 +\begin{frame}{Algorithme PQS} + \begin{block}{ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.} + \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée. + \newline + \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $. + \begin{enumerate} + \item $ k := 0 $. + \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $, + \begin{enumerate} + \item Résoudre le sous-problème quadratique : + $$ + \mathcal{PQ}_k \left \{ + \begin{array}{l} + \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ + g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\ + h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} + \end{array} + \right . + $$ + et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $ \lambda^{\prime} $ et $ \mu^{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement. + \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ \mu_{k+1} = \mu^{\prime}; \ k := k + 1 $. + \end{enumerate} + \item Retourner $ x_k $. + \end{enumerate} + \end{block} \end{frame} %%%%% SLIDE DE FIN @@ -339,12 +404,11 @@ $}} upper=block title,% shadow=true]{} \begin{center} - {\Large \textbf{{\color{mycvblue}Thank you for your attention.}}}\\ + {\Large \textbf{{\color{mycvblue}Merci pour votre attention.}}}\\ \vspace{3em} {\Large \textbf{{\color{mycvblue}Questions?}}}\\ \end{center} \end{beamerboxesrounded} - \end{frame} \end{document}