$ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ est la fonction objectif ou coût.
\end{center}
en utilisant des méthodes numériques itératives.
+ \newline
+ On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
+ $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
\end{defin}
\end{frame}
\subsection{Prérequis mathématiques}
-\section{La méthode PQS est une méthode de descente}
+%%%%% SLIDE 2
+\begin{frame}{Prérequis mathématiques I}
+ \begin{defin}
+ On définit le Lagrangien associé à $ \mathcal{P} $ par :
+ $$ \begin{array}{r c l}
+ L : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^q \times \mathbb{R}_+^p & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
+ (x,\lambda,\mu) & \longmapsto & L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i h_i(x) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu_j g_j(x) \\
+ & & L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \langle \lambda,h(x) \rangle_{\mathbb{R}^q} + \langle \mu,g(x) \rangle_{\mathbb{R}^p}
+ \end{array} $$
+ où l’on note $ \lambda $ et $ \mu $ les vecteurs de coordonnées respectives $ (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
+ \end{defin}
+ \begin{defin}
+ Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
+ \newline
+ Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
+ \[
+ \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
+ \]
+ \end{defin}
+\end{frame}
-\subsection{Définition}
+%%%%% SLIDE 3
+\begin{frame}{Prérequis mathématiques II : Conditions nécessaires d'optimalité de Karuch-Kuhn-Tucker ou \textit{KKT}}
+ \begin{theoreme}
+ Soient $ J, g, h $ de classe $ \mathcal{C}^1 $, $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
+ \newline
+ Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
+ \begin{center}
+ $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.
+ \end{center}
+ et
+ \begin{center}
+ $ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} $ tels que :
+ \end{center}
+ \begin{center}
+ $ \nabla J(x^\ast) + \sum\limits_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum\limits_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $
+ \end{center}
+ \begin{center}
+ $ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
+ \end{center}
+ On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
+ \newline
+ On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
+ \end{theoreme}
+\end{frame}
-%%%%% SLIDE 2
+%%%%% SLIDE 4
+\begin{frame}{Prérequis mathématiques II : Conditions suffisantes d'optimalité}
+\end{frame}
+
+\section{Méthode PQS}
+
+\subsection{Algorithme PQS}
+
+%%%%% SLIDE 5
+\begin{frame}{Algorithme PQS}
+ \begin{block}{ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.}
+ \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
+ \newline
+ \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $.
+ \begin{enumerate}
+ \item $ k := 0 $.
+ \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $,
+ \begin{enumerate}
+ \item Résoudre le sous-problème quadratique :
+ $$
+ \mathcal{PQ}_k \left \{
+ \begin{array}{l}
+ \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
+ g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
+ h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
+ \end{array}
+ \right .
+ $$
+ et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $ \lambda^{\prime} $ et $ \mu^{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement.
+ \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ \mu_{k+1} = \mu^{\prime}; \ k := k + 1 $.
+ \end{enumerate}
+ \item Retourner $ x_k $.
+ \end{enumerate}
+ \end{block}
+\end{frame}
+
+\subsection{La méthode PQS est une méthode de descente}
+
+%%%%% SLIDE 6
\begin{frame}{Définition d'une méthode de descente}
\begin{defin}
Générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ avec :
\end{defin}
\end{frame}
-\subsection{Algorithme}
+%%%%% SLIDE 7
+\begin{frame}{Caractérisation d'une direction de descente}
+ \begin{proposition}
+ Soient $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable et $ d \in \mathbb{R}^n $.
+ \newline
+ d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ ssi :
+ $$ \nabla J(x_0)^\top d < 0 $$
+ De plus
+ $$ \forall \beta < 1 \in \mathbb{R}_{+} \ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t\beta \nabla J(x_0)^\top d < J(x_0) $$
+ \end{proposition}
+\end{frame}
-%%%%% SLIDE 3
-\begin{frame}{Algorithme de descente modèle}
- \begin{block}{ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.}
+%%%%% SLIDE 8
+\begin{frame}{Algorithme de descente générique}
+ \begin{block}{ALGORITHME DE DESCENTE GÉNÉRIQUE.}
\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire.
\newline
\textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $.
\end{block}
\end{frame}
-\subsubsection{Direction de descente}
-
-%%%%% SLIDE 4
-\begin{frame}{Direction de descente}
- Deux grandes stratégies :
- \begin{itemize}
- \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}.
- \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}.
- \end{itemize}
-\end{frame}
-
-\subsubsection{Critère d'arrêt}
-
-%%%%% SLIDE 5
+%%%%% SLIDE 9
\begin{frame}{Critère d'arrêt}
- \centerline{Critère d’arrêt =}
- \begin{tabular}{c}
- Test d’optimalité satisfait($\norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon$) \\
- OU (Stagnation de la valeur courante($ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $) \\
- ET Stagnation de la solution($ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $)) \\
- OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé($ k < IterMax $)
- \end{tabular}
+ \begin{block}{}
+ \begin{center}
+ Critère d’arrêt $$ \parallel $$
+ \end{center}
+ \begin{tabular}{l l}
+ & Test d’optimalité satisfait ($\norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon$) \\
+ OU & (Stagnation de la valeur courante ($ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $) \\
+ & ET Stagnation de la solution ($ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $)) \\
+ OU & Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé ($ k < IterMax $)
+ \end{tabular}
+ \end{block}
\end{frame}
-\subsubsection{Recherche linéaire}
-
-%%%%% SLIDE 6
+%%%%% SLIDE 10
\begin{frame}{Recherche linéaire}
\begin{block}{RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE.}
$ s_k = s_{k-1} $
\end{block}
\end{frame}
-\subsubsection{Méthode Newtonienne}
+%%%%% SLIDE 11
+\begin{frame}{Application à l'algorithme PQS}
+ \begin{block}{Cas de l'algorithme PQS}
+ \begin{enumerate}
+ \item le critère d'arrêt est $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $;
+ \item le pas $ s_k $ est fixe tel que $ \forall k \in \mathbb{N} \ s_k = 1 $. Il est possible d'ajouter une étape de recherche linéaire d'un pas optimal;
+ \item la direction de descente $ d_k $ est une approximation de $ -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $.
+ \end{enumerate}
+ \end{block}
+\end{frame}
+
+\subsection{La méthode PQS est une méthode Newtonienne}
-%%%%% SLIDE 7
+%%%%% SLIDE 12
\begin{frame}{Méthode Newtonienne I}
- Choix de la direction de descente $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ solution unique du problème :
+ \begin{defin}
+ Une méthode de descente est dite Newtonienne si
+ $$ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k). $$
+ Elles conduisent aux \textit{algorithmes Newtoniens}.
+ \end{defin}
+ La direction de descente $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est l'unique solution du problème :
$$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$
$ \iff d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
\end{frame}
-%%%%% SLIDE 8
+%%%%% SLIDE 13
\begin{frame}{Méthode Newtonienne II}
\begin{tabular}{|p{15em}|p{15em}|}
\hline
\hline
& le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\
\hline
- & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
+ & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
\hline
& pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
\hline
\end{tabular}
\end{frame}
-\section{Méthode PQS}
+\subsection{Principe général de la méthode PQS}
-\subsection{Principe général}
-
-%%%%% SLIDE 9
+%%%%% SLIDE 14
\begin{frame}{Principe général I}
- \begin{defin}
- Résoudre le problème $ \mathcal{P} $ :
- $$
- \mathcal{P} \left \{
- \begin{array}{l}
- \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
- g(x) \leq 0 \\
- h(x) = 0
- \end{array}
- \right .
- $$
- où $$ g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p,\ h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q\ et\ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\ de\ classe\ \mathcal{C}^2. $$
- \end{defin}
-\end{frame}
-
-%%%%% SLIDE 10
-\begin{frame}{Principe général II}
+ Principe de résolution du problème $ \mathcal{P} $ en utilisant la méthode PQS :
\begin{enumerate}
- \item Conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité d'une solution (\textit{KKT}, $ H[J] $ définie positive et convexité de $ \mathcal{P} $).
+ \item Établir les conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité d'une solution :
+ \begin{enumerate}
+ \item Conditions suffisantes \textit{KKT};
+ \item Conditions nécessaires $ H[J] $ définie positive;
+ \item Condition(s) de convexité de $ \mathcal{P} $.
+ \end{enumerate}
\item Approximation quadratique du Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ par Taylor-Young à l'ordre 2 en $ x_k $:
$$ L(x,\lambda,\mu) \approx L(x_k,\lambda_k,\mu_k) + \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) $$
$$ + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$
\end{enumerate}
\end{frame}
-%%%%% SLIDE 11
-\begin{frame}{Principe général III}
+%%%%% SLIDE 15
+\begin{frame}{Principe général II}
\begin{block}{}
Résoudre le sous-problème quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ avec contraintes linéaires :
$$
$$
où $ d = x - x_k $ et $ H_k = H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) $ symétrique (Schwarz).
\end{block}
- \centerline{$ \implies $ La solution $ d_k $ est la valeur optimale de direction de descente.}
+ \begin{center}
+ $ \implies $ La solution $ d_k $ est la valeur optimale de direction de descente.
+ \end{center}
\end{frame}
-\subsection{Algorithme PQS}
+\subsection{Optimisation quadratique sous contraintes linéaires}
-%%%%% SLIDE 12
-\begin{frame}{Algorithme PQS}
- \begin{block}{ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.}
- \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
- \newline
- \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $.
- \begin{enumerate}
- \item $ k := 0 $.
- \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $,
- \begin{enumerate}
- \item Résoudre le sous-problème quadratique :
- $$
- \mathcal{PQ}_k \left \{
- \begin{array}{l}
- \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
- g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
- h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
- \end{array}
- \right .
- $$
- et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $ \lambda^{\prime} $ et $ \mu^{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement.
- \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ \mu_{k+1} = \mu^{\prime}; \ k := k + 1 $.
- \end{enumerate}
- \item Retourner $ x_k $.
- \end{enumerate}
+%%%%% SLIDE 16
+\begin{frame}{}
+ \begin{block}{ALGORITHME OPTIMAL}
\end{block}
\end{frame}
Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
\newline
Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
- \newline
- \newline
- \centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.}
- \newline
- \newline
+ \begin{center}
+ $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.
+ \end{center}
et
- $$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$
+ \begin{center}
+ $ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} $ tels que :
+ \end{center}
+ \begin{center}
+ $ \nabla J(x^\ast) + \sum\limits_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum\limits_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $
+ \end{center}
+ \begin{center}
+ $ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
+ \end{center}
On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
\newline
On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
\hrulefill
\newline
-ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
+ALGORITHME DE DESCENTE GÉNÉRIQUE.
\newline
\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire.
\newline
\subsection{Critère d’arrêt}
-Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
+Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente générique, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
\newline
En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^\ast $.
\hline
& le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\
\hline
- & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
+ & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
\hline
& pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
\hline
\caption {Algorithme PQS pour $ \mathcal{P} $}
\begin{algorithmic}
\REQUIRE $\varepsilon = 0.01$, $g(x,y,z)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$, $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1, 1)$, $r = 40$ et $r_1 = r_2 = 10$.
- \ENSURE $\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline
+ \ENSURE $\displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline
$g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $
\STATE \textbf{Data :}
\STATE {//Première itération :}
\STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
- \STATE $\nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (160,40,120) $
+ \STATE $\nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (160,40,120)$
\STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $ :}
\STATE $\nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$
\STATE $ k \leftarrow k+1$ \hfill $ //résultat : 1$
\STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
- \STATE $\nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0,0,0) $
+ \STATE $\nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
\STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $ :}
\STATE $\nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$
repositories / Projet_Recherche_Operationnelle.git / commitdiff
