%%%%%Packages
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\usepackage{latexsym}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
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%%%%%Table des mati\`eres
\tableofcontents
On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
$$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
\end{Def}
-Elle doit résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une solution.
+Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une solution.
\section{Qu'est-ce que l'optimisation?}
\newline
Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
\[
- \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
+ \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
\]
\end{Def}
-
La recherche d'un optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
\newline
Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues,
une condition suffisante pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums
-est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $
+est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $.
+\newline
+Dans ce projet nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.
% Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
% Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.
-
%{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème édition, puf, 2000, \cite{Mavr};
%ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}.
-
-
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-\chapter{Sujets d'étude en travaux dirigés}
-
-\section{Cahier des charges}
-
-Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera
-à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe).
-
-\vspace{.5em}
-
-Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée
-(citations en note de bas de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...).
-Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document).
-L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances.
-
-\vspace{.5em}
-
-Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance
-et d'objectivité scientifique. Le document ne devra pas excéder 10 pages.
-On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document.
-
-\section{Proposition de sujets}
-
-\subsection{Analyse numérique}
-
-\vspace{.5em}
-
-1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires).
-
-\vspace{.5em}
-
-2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables.
-
-\vspace{.5em}
-
-3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc....
-
-\vspace{.5em}
-
-\subsection{Optimisation}
-
-\vspace{.5em}
-
-\subsubsection{Optimisation sans contrainte}
-
-{\bf A- Algorithmes déterministes}
-
-\vspace{.5em}
-
-1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés).
-
-\vspace{.5em}
-
-2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal).
-
-\vspace{.5em}
-
-3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema.
-
-\vspace{.5em}
-
-4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général)
-
-\vspace{.5em}
-
-5) Méthode de relaxation
-
-\vspace{.5em}
-
-{\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques}
-
-\vspace{.5em}
-
-1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov)
-
-\vspace{.5em}
-
-2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis)
-
-\vspace{.5em}
+\chapter{Méthodes de programmation quadratique séquentielle}
+
+% \section{Cahier des charges}
+%
+% Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera
+% à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe).
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+%
+% Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée
+% (citations en note de bas de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...).
+% Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document).
+% L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances.
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+% \vspace{.5em}
+%
+% Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance
+% et d'objectivité scientifique. Le document ne devra pas excéder 10 pages.
+% On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document.
+%
+% \section{Proposition de sujets}
+%
+% \subsection{Analyse numérique}
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+% \vspace{.5em}
+%
+% 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires).
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+% \vspace{.5em}
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+% 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables.
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+% \vspace{.5em}
+%
+% 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc....
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+% \vspace{.5em}
+
+\section{Optimisation}
+
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+% \subsubsection{Optimisation sans contrainte}
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+% {\bf A- Algorithmes déterministes}
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+%
+% 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés).
+%
+% \vspace{.5em}
+%
+% 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal).
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+% 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema.
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+% 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général)
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+% 5) Méthode de relaxation
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+% {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques}
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+% 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov)
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+% 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis)
+%
+% \vspace{.5em}
\subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes}
-\vspace{.5em}
-
-1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) .
-
-\vspace{.5em}
-
-2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT).
-
-\vspace{.5em}
-
-3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité,
-méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation,
-méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming),
-méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc...
-
-\vspace{.5em}
-
-\subsection{Recherche opérationnelle}
-
-\vspace{.5em}
-
-\subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)}
-
-1) Méthode d'énumération.
-
-\vspace{.5em}
-
-2) Méthode du simplexe.
-
-\vspace{.5em}
-
-3) Application à des problèmes de R.O:
-
-\vspace{.5em}
-
-\hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}.
-
-\vspace{.5em}
-
-\hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
-
-\vspace{.5em}
-
-\hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice?
-
-\vspace{.5em}
-
-\hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant :
-
-\vspace{.5em}
-
-\begin{center}
- $
- \begin{array}{|c|c|c|c|}
- \hline
- Atelier & A & B & C \\
- \hline
- Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\
- \hline
- Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\
- \hline
- \end{array}
- $
-\end{center}
-
-\vspace{.5em}
-
-Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines.
-
-\hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
-
-\vspace{.5em}
-
-\hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique?
-
-\vspace{.5em}
+% \vspace{.5em}
+%
+% 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) .
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+% 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT).
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+% 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité,
+% méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation,
+% méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming),
+% méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc...
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+% \vspace{.5em}
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+% \subsection{Recherche opérationnelle}
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+% \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)}
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+% 1) Méthode d'énumération.
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+% 2) Méthode du simplexe.
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+% 3) Application à des problèmes de R.O:
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+% \hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}.
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+% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
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+% \hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice?
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+% \hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant :
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+% \begin{center}
+% $
+% \begin{array}{|c|c|c|c|}
+% \hline
+% Atelier & A & B & C \\
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+% Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\
+% \hline
+% Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\
+% \hline
+% \end{array}
+% $
+% \end{center}
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+% Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines.
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+% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
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+% \hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique?
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\bibliographystyle{plain}
\bibliography{stdlib_sbphilo}
%\bibitem[2]{Aspect} {\bf Alain Aspect}, Présentation naïve des inégalités de Bell, 2004.\\
- \bibitem[3]{Basda} {\bf Jean-Louis Basdevant et Manuel Joffre}, Mécanique Quantique, Les éditions de l'Ecole Polytechnique, 2006.\\
+ % \bibitem[3]{Basda} {\bf Jean-Louis Basdevant et Manuel Joffre}, Mécanique Quantique, Les éditions de l'Ecole Polytechnique, 2006.\\
%\bibitem[4]{Diu} {\bf Bernard Diu}, Le congrès de Solvay de 1927: petite chronique d'un grand évènement, Bibnum.\\
repositories / Projet_Recherche_Operationnelle.git / commitdiff
