From: Jérôme Benoit Date: Sat, 3 Nov 2018 08:49:41 +0000 (+0100) Subject: Fix some maths formula. X-Git-Url: https://git.piment-noir.org/?a=commitdiff_plain;h=8a00a10788150c85cf3f388fc3752352c88ba636;p=Projet_Recherche_Operationnelle.git Fix some maths formula. Signed-off-by: Jérôme Benoit --- diff --git a/rapport/ProjetOptimRO.tex b/rapport/ProjetOptimRO.tex index 7370bba..533615f 100644 --- a/rapport/ProjetOptimRO.tex +++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex @@ -196,7 +196,7 @@ Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{ La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation. \newline -Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est une science. +Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science. \subsection{Quelques définitions annexes} @@ -271,13 +271,16 @@ On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\as Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $. \newline Une condition nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local est : -$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$ -et $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants. \newline \newline +\centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.} +\newline +\newline +et +$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$ On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange. \end{Th} -Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i = 0 \Longleftrightarrow \exists g_i \ g_i \leq 0 \land g_i \geq 0 $. +Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \Longleftrightarrow h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $. \newline \newline Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.