From: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
Date: Sun, 25 Nov 2018 20:54:06 +0000 (+0100)
Subject: Fix the PQS execution trace.
X-Git-Url: https://git.piment-noir.org/?a=commitdiff_plain;h=a11e6dde602eeac077a33c18893aa39709893250;p=Projet_Recherche_Operationnelle.git

Fix the PQS execution trace.

Signed-off-by: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
---

diff --git a/rapport/ProjetOptimRO.tex b/rapport/ProjetOptimRO.tex
index ac17118..489e6c8 100644
--- a/rapport/ProjetOptimRO.tex
+++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex
@@ -818,248 +818,240 @@ On en déduit que $ H[J](x,y,z) $ est inversible et que $ H[J](x,y,z)^{-1} = \fr
 
 \newpage
 
-\subsection{Trace d'éxécution de PQS avec contrainte}
-%\includegraphics[scale=0.2]{figure_sphere_avec_contrainte.png}\\
-\begin{center}
-\includegraphics[scale=0.2]{sphere2.jpg}\\
+\subsection{Trace d'éxécution de l'algorithme PQS}
 
-\footnotesize{
- \small \it Fig : Exemple de la sphère\\
- \vspace*{0.5cm}
-}
+\begin{center}
+ \includegraphics[scale=0.2]{sphere2.jpg} \\
+ \footnotesize{
+  \small \it Fig : Exemple de la sphère \\
+  \vspace*{0.5cm}
+ }
 \end{center}
 
-Utilisons le problème $ \mathcal{P} $ précédent :
+En utilisant le problème $ \mathcal{P} $ précédent :
 
-$$
- \mathcal{P} \left \{
- \begin{array}{l}
-  \displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2       \\
-  g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 \\
- \end{array}
- \right .
-$$
-où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$
-\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (100, 100 ,0)$  et $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1 , 1)$, les rayons : $r= 100$  et $r1 = r2 = 10$.
+\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (100, 100 ,0)$  et $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1 , 1)$, les rayons : $r = 100$ et $r_1 = r_2 = 10$.
 \newline
-Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$
+Calcul du Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ en $(x_0,y_0,z_0)$ :
 \newline
-Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ avec les valeurs :
- $ L((100,100,0),(1,1)) = 100^2 + 100^2 + 0^2 -100^2 + 1 * (100^2 +100^2 - 10^2) + \lambda_2(100^2 + 100^2 -10^2). $
- $ L((100,100,0),(1,1)) = 1000 + 1000 - 1000 + (1000 + 1000 - 100) + (1000 + 1000 -100). $
- $ L((100,100,0),(1,1)) = 4800. $
+$ L((100,100,0),(1,1)) = 100^2 + 100^2 + 0^2 -100^2 + 1 * (100^2 +100^2 - 10^2) + 1 * (100^2 + 100^2 -10^2). $
+$ L((100,100,0),(1,1)) = 1000 + 1000 - 1000 + (1000 + 1000 - 100) + (1000 + 1000 -100). $
+$ L((100,100,0),(1,1)) = 4800. $
 
 \newpage
-\begin{algorithmfloat}[#Algo 1]
- \caption {Trace d'éxécution du PQS du problème $ \mathcal{P} $}
- \begin{algorithmic}
- \REQUIRE $g(x_0,y_0,z_0)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (10, 10 ,10)$
- \ENSURE $\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $
- \STATE \textbf{Data :}
- \STATE $k \leftarrow 0, (x_k, y_k, z_k)  \leftarrow (100, 100, 0), r \leftarrow 100$
- \STATE $r_1 = r2 \leftarrow 10, \varepsilon \leftarrow 0.01$
- \STATE $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$
- \STATE $ H[J](x,y,z)^{-1}\leftarrow  \begin{pmatrix}
-  0.5 & 0 & 0 \\
-  0 & 0.5 & 0 \\
-  0 & 0 & 0.5 \\ \end{pmatrix} $
-\newline
-
- \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (100,100,0) $
-\newline
- \STATE {//calcule des deux sous partie de du gradient de $ g $: }
- \STATE $ \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) = ((2x_a,2y_a,0)$  \hfill $ //résultat : (20, 20, 0)$
- \STATE $ \nabla g_2(x_a,y_a,z_a) = (2x_a,0,2z_a))$  \hfill $ //résultat : (20, 0, 20)$
- \STATE $ \nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
-\newline
- \WHILE{$ (\norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $ or k $ \leq 10)$}
-
- \STATE { //première itération :}
-
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (220, 220, 40)$
- \STATE $  \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = (x_L , y_L, z_L) $
-\newline
- \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(50,50,0))$
- \newline
- \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (50,50,0)$
- \newline
- \STATE {//Incrémentation de k}
- \STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 1$
-\newline
-
- \STATE {//Deuxième itération :}
- \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (100,100,0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (120, 120, 0)$
- \STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
- \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(25,25,0))$
- \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (25,25,0)$
- \newline
- \STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 2$
-\newline
-
-\STATE {//Troisième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (50,50,0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (70, 70, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(12.5,12.5,0))$
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\newline
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (12.5,12.5,0)$
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 3$
-\newline
-
-\STATE {//Quatrième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (25,25,0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (45, 45, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(6.25,6.25,0))$
-\newline
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0)$
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\newline
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 4$
-\STATE $ $
-
-\STATE {//Cinquième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (12.5,12.5,0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (32.5, 32.5, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(3.125,3.125,0))$
-\newline
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (3.125,3.125,0)$
-\newline
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 5$
-\newline
-
-\STATE {//Sixième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (6.25,6.25,0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (26.25, 26.25, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(1.5625,1.5625,0))$
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\newline
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (1.5625,1.5625,0)$
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\newline
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 6$
-\newline
 
-\STATE {//Septième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (3.125, 3.125, 0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (23.125, 23.125, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.78125,0.78125,0))$
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\newline
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.78125,0.78125,0)$
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\newline
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 7$
-\newline
-
-\STATE {//Huitième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (1.5625, 1.5625, 0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (21.5625, 21.5625, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.390625,0.390625,0))$
-\newline
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.390625,0.390625,0)$
-\newline
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 8$
-\newline
-
-\STATE {//neuvième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (0.78125, 0.78125, 0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (20.78125, 20.78125, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.1953125,0.1953125,0))$
-\newline
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.1953125,0.1953125,0)$
-\newline
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1 \hfill  //k = 9$
-\newline
-
-\STATE {//Dixième itération :}
-\STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
-\STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$  \hfill $  // résultat : (0.390625, 0.390625, 0) $
-\newline
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (20.390625, 20.390625, 0)$
-\STATE $  \varepsilon _1 = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
-\newline
-\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
-\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.097665625,0.097665625,0))$
-\newline
-\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
-\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.097665625,0.097665625,0)$
-\newline
-\STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 10$
-\newline
-\STATE {// Fin de la boucle "while" car nous avons atteint k =10, condition mettant fin à la //boucle}
-\newline
-
- \ENDWHILE
-
-\end{algorithmic}
-\end{algorithmfloat}
-
-
-\hrulefill
+% \begin{algorithmfloat}[#Algo 1]
+\begin{algorithm}
+ \caption {Trace d'éxécution de l'algorithme PQS}
+ \begin{algorithmic}
+  \REQUIRE $g(x_0,y_0,z_0)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (10, 10 ,10)$
+  \ENSURE $\displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $
+  \STATE \textbf{Data :}
+  \STATE $k \leftarrow 0, (x_k, y_k, z_k) \leftarrow (100, 100, 0), r \leftarrow 100$
+  \STATE $r_1 = r_2 \leftarrow 10, \varepsilon \leftarrow 0.01$
+  \STATE $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$
+  \STATE $ H[J](x,y,z)^{-1} \leftarrow
+   \begin{pmatrix}
+    0.5 & 0   & 0   \\
+    0   & 0.5 & 0   \\
+    0   & 0   & 0.5 \\
+   \end{pmatrix} $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $: }
+  \STATE $ \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (20, 20, 0)$
+  \STATE $ \nabla g_2(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,0,2z_k))$ \hfill $ //résultat : (20, 0, 20)$
+  \STATE $ \nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
+  \newline
+
+  \WHILE{$ (\norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $ or k $ \leq 10)$}
+
+  \STATE {//Première itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (100,100,0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (220, 220, 40)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  % \STATE $ \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = (x_L , y_L, z_L) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(50,50,0))$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (50,50,0)$
+  \newline
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 1$
+  \newline
+
+  \STATE {//Deuxième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (100,100,0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (120, 120, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(25,25,0))$
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (25,25,0)$
+  \newline
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $ }
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 2$
+  \newline
+
+  \STATE {//Troisième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (50,50,0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (70, 70, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(12.5,12.5,0))$
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \newline
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (12.5,12.5,0)$
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 3$
+  \newline
+
+  \STATE {//Quatrième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (25,25,0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (45, 45, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcule de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(6.25,6.25,0))$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0)$
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \newline
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 4$
+  \STATE $ $
+  \newline
+
+  \STATE {//Cinquième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (12.5,12.5,0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (32.5, 32.5, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(3.125,3.125,0))$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (3.125,3.125,0)$
+  \newline
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 5$
+  \newline
+
+  \STATE {//Sixième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (26.25, 26.25, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(1.5625,1.5625,0))$
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \newline
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (1.5625,1.5625,0)$
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \newline
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 6$
+  \newline
+
+  \STATE {//Septième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (3.125, 3.125, 0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (23.125, 23.125, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.78125,0.78125,0))$
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \newline
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.78125,0.78125,0)$
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \newline
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 7$
+  \newline
+
+  \STATE {//Huitième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (1.5625, 1.5625, 0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (21.5625, 21.5625, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.390625,0.390625,0))$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.390625,0.390625,0)$
+  \newline
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résulat : k = 8$
+  \newline
+
+  \STATE {//Neuvième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.78125, 0.78125, 0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (20.78125, 20.78125, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.1953125,0.1953125,0))$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.1953125,0.1953125,0)$
+  \newline
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1 \hfill //résultat : k = 9$
+  \newline
+
+  \STATE {//Dixième itération :}
+  \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+  \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.390625, 0.390625, 0) $
+  \newline
+  \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
+  \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (20.390625, 20.390625, 0)$
+  \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+  \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.097665625,0.097665625,0))$
+  \newline
+  \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
+  \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.097665625,0.097665625,0)$
+  \newline
+  \STATE {//Incrémentation de $ k $}
+  \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 10$
+  \newline
+  \STATE {//Fin de la boucle "while" car nous avons atteint $ k = 10 $, condition mettant fin à la //boucle}
+  \newline
+
+  \ENDWHILE
+
+ \end{algorithmic}
+ % \end{algorithmfloat}
+\end{algorithm}
 
 \bibliographystyle{plain}
 \bibliography{stdlib_sbphilo}