From: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
Date: Fri, 19 Oct 2018 21:10:44 +0000 (+0200)
Subject: Refine some more the preliminar definitions.
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Refine some more the preliminar definitions.

Signed-off-by: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
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index 13426c0..8bbbec2 100644
--- a/rapport/ProjetOptimRO.tex
+++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex
@@ -192,10 +192,22 @@ Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{
 
 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?}
 
-La recherche d'un optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
+La recherche d'une valeur optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
+\begin{Def}
+ Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $.
+ \newline
+ On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application
+ $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$
+ définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $.
+ \newline
+ Dans ce cas on note
+ $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$
+ cette dérivée.
+\end{Def}
 \begin{Def}
  Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $
  et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $.
+ \newline
  On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que
  \[
   f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h})
@@ -205,8 +217,11 @@ La recherche d'un optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principal
  \[
   f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h)
  \]
+ On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $.
 \end{Def}
-On peut confondre la somme des dérivées partielles et la fonction linéaire $ d_{x^\ast}f $.   
+\begin{Rmq}
+ On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$.
+\end{Rmq}
 \begin{Def}
  Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
  \newline
@@ -215,8 +230,10 @@ On peut confondre la somme des dérivées partielles et la fonction linéaire $
   \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
  \]
 \end{Def}
-Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues (ou de classe $ \mathcal{C}^1 $),
-une condition suffisante et nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums local ou global est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $.
+\begin{Rmq}
+ $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $
+\end{Rmq}
+Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), une condition suffisante et nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums local ou global est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $.
 \newline
 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.