X-Git-Url: https://git.piment-noir.org/?p=Projet_Recherche_Operationnelle.git;a=blobdiff_plain;f=rapport%2FProjetOptimRO.tex;fp=rapport%2FProjetOptimRO.tex;h=adf023a43c3bc050a2ae6d5cd48f4992e86923ff;hp=85ec36eaedc21ee8a665d2c8ac7a828d83df3cb4;hb=09448b62fdf29dbdf5137bafb6120d36f2e97ff4;hpb=e173772d73eae2aa041835260794b78b627f94a1 diff --git a/rapport/ProjetOptimRO.tex b/rapport/ProjetOptimRO.tex index 85ec36e..adf023a 100644 --- a/rapport/ProjetOptimRO.tex +++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex @@ -334,13 +334,19 @@ On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\as Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $. \newline Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont : - \newline - \newline - \centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.} - \newline - \newline + \begin{center} + $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants. + \end{center} et - $$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$ + \begin{center} + $ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} $ tels que : + \end{center} + \begin{center} + $ \nabla J(x^\ast) + \sum\limits_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum\limits_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ + \end{center} + \begin{center} + $ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $. + \end{center} On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange. \newline On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre. @@ -400,7 +406,7 @@ Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ \hrulefill \newline -ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE. +ALGORITHME DE DESCENTE GÉNÉRIQUE. \newline \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire. \newline @@ -429,7 +435,7 @@ Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($ \iff \nabla J(x_k) = 0 $) \subsection{Critère d’arrêt} -Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $. +Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente générique, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $. \newline En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^\ast $. @@ -531,7 +537,7 @@ Les propriétés remarquables de cet algorithme sont : \hline & le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\ \hline - & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\ + & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\ \hline & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\ \hline @@ -828,7 +834,7 @@ $ L((80,20,60),(1,1)) = 21800. $ \caption {Algorithme PQS pour $ \mathcal{P} $} \begin{algorithmic} \REQUIRE $\varepsilon = 0.01$, $g(x,y,z)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$, $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1, 1)$, $r = 40$ et $r_1 = r_2 = 10$. - \ENSURE $\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline + \ENSURE $\displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $ \STATE \textbf{Data :} @@ -846,7 +852,7 @@ $ L((80,20,60),(1,1)) = 21800. $ \STATE {//Première itération :} \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :} - \STATE $\nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (160,40,120) $ + \STATE $\nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (160,40,120)$ \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $ :} \STATE $\nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$ @@ -868,7 +874,7 @@ $ L((80,20,60),(1,1)) = 21800. $ \STATE $ k \leftarrow k+1$ \hfill $ //résultat : 1$ \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :} - \STATE $\nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0,0,0) $ + \STATE $\nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$ \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $ :} \STATE $\nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$