From: Jérôme Benoit Date: Tue, 16 Oct 2018 17:47:24 +0000 (+0200) Subject: Refine the definitions. X-Git-Url: https://git.piment-noir.org/?p=Projet_Recherche_Operationnelle.git;a=commitdiff_plain;h=5e4341d1528558c8fb07a31ae54ef0b03c89f99f Refine the definitions. Now the skeleton is good enough for cut&paste. Signed-off-by: Jérôme Benoit --- diff --git a/.gitignore b/.gitignore index 8501fa7..299f3e3 100644 --- a/.gitignore +++ b/.gitignore @@ -4,6 +4,9 @@ *.fdb_latexmk *.fls *.log +*.nav +*.out *.pdf +*.snm *.synctex.* *.toc diff --git a/rapport/ProjetOptimRO.tex b/rapport/ProjetOptimRO.tex index 647de29..d70fd98 100644 --- a/rapport/ProjetOptimRO.tex +++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex @@ -166,11 +166,12 @@ On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la \subsection{Définition de la problèmatique} -Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite {\it objectif} $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$. -\newline -Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle : +Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle. \begin{Def} - $ + Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$. + \newline + La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par : + $$ \mathcal{P} \left \{ \begin{array}{r c l} \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ @@ -178,19 +179,30 @@ Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la h(x) = 0 \end{array} \right . - $ + $$ \end{Def} -On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par : \begin{Def} - $ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n | g(x) \leq 0, h(x) = 0 \right \} $ + On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par : + $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$ \end{Def} -Elle doit résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une ou des solution(s). +Elle doit résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une solution. \section{Qu'est-ce que l'optimisation?} -La recherche d'une solution optimale au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation. +\begin{Def} + Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable. + \newline + Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par : + \[ + \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast)) + \] +\end{Def} + +La recherche d'un optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation. \newline -Elle +Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues, +une condition suffisante pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums +est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $ % Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}. % Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.