From: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
Date: Tue, 16 Oct 2018 10:49:03 +0000 (+0200)
Subject: Refine the definitions.
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Refine the definitions.

Signed-off-by: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
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index 31657f5..00d6562 100644
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@@ -166,27 +166,34 @@ On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la
 
 \subsection{Définition de la problèmatique}
 
-Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, deux fonctions $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ et $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$, une fonction $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$;
+Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite {\it objectif} $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
 \newline
-On définit le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle :
-\newline
-\begin{center}
+Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle :
+\begin{Def}
 $
  \mathcal{P} \left \{
               \begin{array}{r c l}
-              \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
+              \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \\
               g(x) \leq 0 \\
               h(x) = 0
               \end{array}
              \right .
 $
-\end{center}
-
+\end{Def}
+où $ \mathcal{C} $ est l'ensemble des contraintes défini par :
+\begin{Def}
+ $ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n | g(x) \leq 0, h(x) = 0 \right \} $
+\end{Def}
+Elle doit résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une ou des solution(s).
 
 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?}
 
-Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
-Nous utiliserons aussi l'ouvrage de  Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.
+La recherche d'une solution optimale au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
+\newline
+Elle
+
+% Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
+% Nous utiliserons aussi l'ouvrage de  Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.
 
 
 %{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème  édition, puf, 2000, \cite{Mavr};