From 84af1fe2dcc2efa9b733793be73a818e60e5379b Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: =?utf8?q?J=C3=A9r=C3=B4me=20Benoit?= Date: Wed, 7 Nov 2018 13:22:33 +0100 Subject: [PATCH] Add more needed computation on the SQP example. MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=utf8 Content-Transfer-Encoding: 8bit Signed-off-by: Jérôme Benoit --- rapport/ProjetOptimRO.tex | 26 ++++++++++++++++---------- 1 file changed, 16 insertions(+), 10 deletions(-) diff --git a/rapport/ProjetOptimRO.tex b/rapport/ProjetOptimRO.tex index 11ede70..b129b91 100644 --- a/rapport/ProjetOptimRO.tex +++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex @@ -283,7 +283,7 @@ Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle = \nabla f(x^\ast)^\top h $ \end{Rmq} \begin{Def} - Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ un fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $. + Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $. On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^\ast $ par : $$ H[f](x^\ast) = \begin{pmatrix} @@ -759,25 +759,31 @@ $$ \right . $$ où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$ -\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ \lambda_0 = $ multiplicateur initial. +\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = $ multiplicateur initial. \newline -Le Lagrangien de $ \mathcal{P} $ : $ L(x,y,z,\lambda) = $ +Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$ \newline -Le gradient de $ J $ : $ \nabla J(x,y,z) = (\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)) = $ +Le gradient de $ J $ : $$ \nabla J(x,y,z) = (\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)) = (2x,2y,2z). $$ \newline -Le gradient de $ g $ : $ \nabla g(x,y,z) = (\nabla g_1(x,y,z),\nabla g_2(x,z,z)) = $ +Le gradient de $ g $ : $$ \nabla g(x,y,z) = (\nabla g_1(x,y,z),\nabla g_2(x,z,z)) $$ +$$ = ((\frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial z}(x,y,z)),(\frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial z}(x,y,z)) $$ +$$ = ((2x,2y,0),(2x,0,2z)). $$ \newline -La matrice hessienne de $ J $ : $ H[J](x,y,z) = +Le gradient du Lagrangien $ L $ : +$$ \nabla L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x,y,z) + \lambda_1 \nabla g_1(x,y,z) + \lambda_2 \nabla g_2(x,y,z)) $$ +\newline +La matrice hessienne de $ J $ : $$ H[J](x,y,z) = \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 J}{\partial^2 x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial z}(x,y,z) \\ \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial z}(x,y,z) \\ \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 z}(x,y,z) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - & & \\ - & & \\ - & & \\ - \end{pmatrix} $ + 2 & 0 & 0 \\ + 0 & 2 & 0 \\ + 0 & 0 & 2 \\ + \end{pmatrix} = 2Id_{\mathbb{R}^3} $$ + On en déduit que $ H[J](x,y,z) $ est inversible et que $ H[J](x,y,z)^{-1} = \frac{1}{2}Id_{\mathbb{R}^3} $. \bibliographystyle{plain} \bibliography{stdlib_sbphilo} -- 2.34.1