Commit | Line | Data |
---|---|---|
f471c8ba JB |
1 | \documentclass[9pt,blackandwhite,roman,handout]{beamer} |
2 | \usepackage{etex} | |
3 | ||
4 | \usefonttheme{professionalfonts} | |
5 | ||
f471c8ba JB |
6 | % Setup appearance: |
7 | %\usetheme{Warsaw} | |
8 | \usetheme{Darmstadt} | |
9 | ||
10 | %\usecolortheme{seahorse} | |
11 | %\usecolortheme{dove} | |
12 | \usecolortheme{seagull} | |
13 | %\usefonttheme[onlylarge]{structurebold} | |
14 | %\setbeamerfont*{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries} | |
15 | %\setbeamertemplate{navigation symbols}{} | |
16 | ||
17 | ||
18 | ||
19 | % Standard packages | |
20 | %\usepackage[frenchb]{babel} | |
21 | %\usepackage[english]{babel} | |
22 | \usepackage[utf8]{inputenc} | |
23 | %\usepackage[T1]{fontenc} | |
24 | \usepackage{cmbright} | |
25 | \usepackage[sans]{dsfont} | |
26 | \usepackage{pifont} | |
27 | %calscaled=.94, | |
28 | %frakscaled=.97, | |
29 | \usepackage[cal=euler,scr=rsfso]{mathalfa}%bb=cm, | |
30 | %frak=mma, | |
31 | %scr=esstix | |
32 | \usepackage{mathrsfs} % pour faire des majuscules calligraphiées \mathcal{blabla} | |
33 | %\usepackage[french,lined]{algorithm2e} % rajouter linesnumbered dans les arguments pour numéroter les lignes des algos, boxed pour l'encadrement | |
34 | %\usepackage{extsizes} | |
35 | %\usepackage{MnSymbol} | |
36 | \usepackage{graphicx} | |
37 | \usepackage{mathabx} | |
38 | \usepackage[all]{xy} | |
39 | \usepackage{ulem} | |
40 | ||
41 | \usepackage{DotArrow} | |
42 | %\usepackage[varg]{txfonts} | |
43 | %\usepackage{matptmx} | |
44 | \usepackage{extpfeil} | |
45 | %\usepackage{MyMnSymbol} | |
46 | \usepackage{comment} | |
47 | %\usepackage{etex} | |
3f5da2c3 | 48 | %\usepackage{mathtools} |
f471c8ba JB |
49 | %\usepackage{fourier} |
50 | ||
51 | \usepackage{ragged2e} | |
f471c8ba JB |
52 | |
53 | % Setup TikZ | |
54 | \usepackage{tikz} | |
55 | \usetikzlibrary{matrix,arrows} | |
56 | \tikzstyle{block}=[draw opacity=0.7,line width=1.4cm] | |
57 | ||
58 | \newcommand{\gk}{$g_k = \left \{ \begin{array}{ll} | |
59 | q^k+q^{k-1}-q^\frac{k+1}{2} - 2q^\frac{k-1}{2}+1 & \mbox{si } k \equiv 1 \pmod 2,\\ | |
60 | q^k+q^{k-1}-\frac{1}{2}q^{\frac{k}{2}+1} - \frac{3}{2}q^{\frac{k}{2}}-q^{\frac{k}{2}-1} +1& \mbox{si } k \equiv 0 \pmod 2. | |
61 | \end{array} \right .$} | |
62 | ||
63 | \newcommand{\ext}{\xymatrix{ | |
64 | \FF= \Fq(x)(y) \ar@{-}[d]^{<\infty} \\ \Fq(x) \ar@{-}[d] \\ \Fq} } | |
65 | ||
66 | \newcommand{\twoheaddownarrow}{% | |
67 | \mathrel{\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{-90}{$\xtwoheadrightarrow[ \; ]{ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{-90}{$\pi_Q \ $}} \ \ }$}}}} | |
68 | ||
69 | \newcommand{\longdownmapsto}{% | |
70 | \mathrel{\reflectbox{\rotatebox[origin=c]{-90}{$\xmapsto{ \ \ \ \reflectbox{\rotatebox[origin=c]{-90}{$\pi_Q \ $}} \ \ \ }$}}}} | |
71 | ||
72 | \newcommand{\bigubrace}[1]{\underbrace{\mbox{}f(P_i), f'(P_i), \ldots, f^{(\ell_i-1)}(P_i)\vphantom{\sum_0^0}\hspace{#1}\mbox{}}_?} | |
73 | ||
74 | \newcommand{\myubrace}[2]{\rotatebox[origin=c]{90}{$ | |
75 | \rotatebox[origin=c]{-90}{#1} \left \{ | |
76 | \begin{array}{l} | |
77 | \vspace{#2} \\ | |
78 | \end{array} | |
79 | \right . \hspace{-1em} | |
80 | $}} | |
81 | ||
82 | \newcommand{\bluebrace}{{\color{blue}\left\{}} | |
83 | ||
3f5da2c3 | 84 | \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert} |
f471c8ba JB |
85 | |
86 | \definecolor{mycvblue}{rgb}{0.302,0.537,0.737} | |
87 | ||
f471c8ba JB |
88 | \setbeamercolor{structure}{fg=mycvblue} |
89 | \setbeamercolor{palette primary}{fg=mycvblue} | |
90 | \setbeamercolor{subsection in head/foot}{parent=palette primary} | |
91 | ||
92 | \setbeamertemplate{navigation symbols}{ | |
93 | % \insertslidenavigationsymbol | |
94 | % \insertframenavigationsymbol | |
95 | % \insertsubsectionnavigationsymbol | |
96 | % \insertsectionnavigationsymbol | |
97 | % \insertdocnavigationsymbol | |
98 | % \insertbackfindforwardnavigationsymbol | |
99 | } | |
100 | ||
101 | %\renewcommand{\item}{\item[$\bullet$]} | |
102 | ||
3f5da2c3 | 103 | \title[]{\LARGE{\textsc{Méthode de Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS\\ en\\ Optimisation non linéraire sous contraintes}}} |
f471c8ba | 104 | |
3f5da2c3 | 105 | \author[Jérôme {\textsc Benoit} \& Sylvain {\textsc Papa}]{\textbf{Jérôme {\textsc Benoit}\\ \textbf{Sylvain {\textsc Papa}}}} |
f471c8ba | 106 | |
3f5da2c3 | 107 | \date[]{{\bf HUGo}\\ {\bf Polytech'Marseille} \\{\small Novembre 2018}} |
f471c8ba JB |
108 | |
109 | \newtheorem{defin}{Définition} | |
110 | \newtheorem{theoreme}{Théorème} | |
111 | \newtheorem{lemme}{Lemme} | |
112 | \newtheorem{corollaire}{Corollaire} | |
113 | \newtheorem{proposition}{Proposition} | |
114 | \newtheorem{propriete}{Propriété} | |
115 | %\newtheorem{exemple}[definition]{Exemple} | |
116 | ||
117 | \newcommand{\NN}{\ensuremath{\mathbb{N}}} | |
118 | \newcommand{\CC}{\ensuremath{\mathbb{C}}} | |
119 | \newcommand{\ZZ}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} | |
120 | \newcommand{\PF}{\mathbf{P}_F} | |
121 | \newcommand{\DF}{\mathsf{Div}(F)} | |
122 | \newcommand{\Jac}{\ensuremath{\mathcal{J}\mathsf{ac}(F/\Fq)}} | |
123 | \newcommand{\Fqr}[2][q]{\mathds{F}_{\!{#1}^{#2}}} | |
124 | \newcommand{\Fq}{\Fqr{}} | |
125 | \newcommand{\F}{\mathds{F}} | |
126 | \newcommand{\FF}{\mathsf{F}} | |
127 | \newcommand{\Fqn}{\Fqr{n}} | |
128 | \newcommand{\D}[1][D]{\ensuremath{\mathcal{#1}}} | |
129 | \newcommand{\Ld}[1][\D]{\ensuremath{\mathscr{L}\!\!\left(#1\right)}} % utilisation : \Ld ou \Ld[A] pour un diviseur A au lieu de D | |
130 | \newcommand{\Ak}[1][k]{\ensuremath{\mathbb{A}_{#1}}} | |
131 | \newcommand{\A}{\ensuremath{\mathsf{A}}} | |
132 | \newcommand{\Cl}{\ensuremath{\mathsf{Cl}}} | |
133 | \newcommand{\mus}{\ensuremath{\mu^\mathsf{sym}}} | |
134 | \newcommand{\Ms}{\ensuremath{M^\mathsf{sym}}} | |
135 | \newcommand{\ms}{\ensuremath{m^\mathsf{sym}}} | |
136 | \newcommand{\chch}{{C}hudnovsky-{C}hudnovsky} | |
137 | \newcommand{\ch}{{C}hudnovsky} | |
138 | ||
f471c8ba | 139 | \addtobeamertemplate{footline}{\texttt{\hfill\insertframenumber/{\inserttotalframenumber}}} |
3f5da2c3 JB |
140 | |
141 | % \AtBeginSubsection[] { | |
142 | % \begin{frame}<beamer> | |
143 | % \frametitle{Plan} | |
144 | % \tableofcontents[currentsection,currentsubsection] | |
145 | % \end{frame} | |
146 | % } | |
147 | % \AtBeginSection[] { | |
148 | % \begin{frame}<beamer> | |
149 | % \frametitle{Plan} | |
150 | % \tableofcontents[currentsection]%,currentsubsection] | |
151 | % \end{frame} | |
152 | % } | |
f471c8ba JB |
153 | |
154 | \setbeamertemplate{sections/subsections in toc}[sections numbered] | |
155 | %\setbeamertemplate{sections in toc}[sections numbered] | |
156 | ||
157 | \begin{document} | |
158 | ||
159 | % \begin{frame}[plain] | |
160 | % | |
161 | % \begin{center} | |
162 | % | |
163 | % {\bf Institut de Mathématiques de Marseille}\\ | |
164 | % | |
165 | % {\bf Equipe Analyse, Géométrie et Topologie (AGT) }\\ | |
166 | % | |
167 | % \vspace{2em} | |
168 | % | |
169 | % {\bf Séminaire de Géométrie Complexe}\\ | |
170 | % Mardi 12 Juin 2018 | |
171 | % \end{center} | |
172 | % | |
173 | % \begin{center} | |
174 | % | |
175 | % \end{center} | |
176 | % | |
177 | % \end{frame} | |
178 | ||
179 | \begin{frame}[plain] | |
180 | ||
181 | \titlepage | |
182 | ||
183 | \end{frame} | |
184 | ||
185 | \begin{frame}[plain]{Plan} | |
186 | ||
187 | \tableofcontents | |
188 | ||
189 | \end{frame} | |
190 | ||
191 | \section{Introduction} | |
192 | ||
c207a96f | 193 | \subsection{Définition de la problèmatique} |
f471c8ba JB |
194 | |
195 | %%%%% SLIDE 1 | |
c207a96f JB |
196 | \begin{frame}{Définition de la problèmatique} |
197 | \begin{defin} | |
198 | Résoudre le problème $ \mathcal{P} $ : | |
199 | $$ | |
200 | \mathcal{P} \left \{ | |
201 | \begin{array}{l} | |
202 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ | |
203 | g(x) \leq 0 \\ | |
204 | h(x) = 0 | |
205 | \end{array} | |
206 | \right . | |
207 | $$ | |
208 | où $$ g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p,\ h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q\ et\ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $$ | |
209 | \end{defin} | |
210 | \centerline{à l'aide de méthodes numériques itératives.} | |
211 | \end{frame} | |
212 | ||
213 | \section{Méthode de descente} | |
214 | ||
215 | \subsection{Définition} | |
216 | ||
217 | %%%%% SLIDE 2 | |
218 | \begin{frame}{Définition d'une méthode de descente} | |
219 | \begin{defin} | |
220 | Générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ avec : | |
221 | \centerline{$ x_0 \in \mathbb{R}^n $ arbitraire,} | |
222 | \centerline{$ x_{k+1} = x_k + s_kd_k $ où $ s_k \in \mathbb{R}_{+}^{*},d_k \in \mathbb{R}^n $} | |
223 | et | |
224 | $$ \forall k \in \mathbb{N} \ J(x_{k+1}) \leq J(x_k) $$ | |
225 | \end{defin} | |
226 | \end{frame} | |
227 | ||
228 | \subsection{Algorithme} | |
229 | ||
230 | %%%%% SLIDE 3 | |
231 | \begin{frame}{Algorithme de descente modèle} | |
232 | \begin{block}{ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.} | |
233 | \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire. | |
234 | \newline | |
235 | \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $. | |
236 | \begin{enumerate} | |
237 | \item $ k := 0 $. | |
238 | \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait, | |
239 | \begin{enumerate} | |
240 | \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $ \nabla J(x_k)^\top d_k < 0 $. | |
241 | \item \textit{Recherche linéaire} : Choisir un pas $ s_k > 0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$ | |
242 | \item Mise à jour : $ x_{k+1} = x_k + s_kd_k; \ k := k + 1 $. | |
243 | \end{enumerate} | |
244 | \item Retourner $ x_k $. | |
245 | \end{enumerate} | |
246 | \end{block} | |
247 | \end{frame} | |
248 | ||
249 | \subsubsection{Direction de descente} | |
250 | ||
251 | %%%%% SLIDE 4 | |
252 | \begin{frame}{Direction de descente} | |
253 | Deux grandes stratégies : | |
254 | \begin{itemize} | |
255 | \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}. | |
256 | \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}. | |
257 | \end{itemize} | |
258 | \end{frame} | |
259 | ||
260 | \subsubsection{Critère d'arrêt} | |
261 | ||
262 | %%%%% SLIDE 5 | |
263 | \begin{frame}{Critère d'arrêt} | |
264 | \centerline{Critère d’arrêt =} | |
265 | \begin{tabular}{c} | |
266 | Test d’optimalité satisfait($\norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon$) \\ | |
267 | OU (Stagnation de la valeur courante($ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $) \\ | |
268 | ET Stagnation de la solution($ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $)) \\ | |
269 | OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé($ k < IterMax $) | |
270 | \end{tabular} | |
271 | \end{frame} | |
272 | ||
273 | \subsubsection{Recherche linéaire} | |
274 | ||
275 | %%%%% SLIDE 6 | |
276 | \begin{frame}{Recherche linéaire} | |
277 | \begin{block}{RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE.} | |
278 | $ s_k = s_{k-1} $ | |
279 | \end{block} | |
280 | \begin{block}{RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL.} | |
281 | $ s_k $ solution du problème $ \displaystyle\min_{s \in \mathbb{R}_{+}^{*}} J(x_k + sd_k) $ | |
282 | \end{block} | |
283 | \end{frame} | |
284 | ||
285 | \subsubsection{Méthode Newtonienne} | |
286 | ||
287 | %%%%% SLIDE 7 | |
288 | \begin{frame}{Méthode Newtonienne I} | |
289 | Choix de la direction de descente $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ solution unique du problème : | |
290 | ||
291 | $$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$ | |
292 | ||
293 | $ \iff d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $. | |
294 | \end{frame} | |
295 | ||
296 | %%%%% SLIDE 8 | |
297 | \begin{frame}{Méthode Newtonienne II} | |
298 | \begin{tabular}{|p{15em}|p{15em}|} | |
299 | \hline | |
300 | Avantages & Inconvénients \\ | |
301 | \hline | |
302 | sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par 2 à chaque itération). & \\ | |
303 | \hline | |
304 | & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H[J](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\ | |
305 | \hline | |
306 | & le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\ | |
307 | \hline | |
308 | & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\ | |
309 | \hline | |
310 | & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\ | |
311 | \hline | |
312 | \end{tabular} | |
313 | \end{frame} | |
314 | ||
315 | \section{Méthode PQS} | |
316 | ||
317 | \subsection{Principe général} | |
318 | ||
319 | %%%%% SLIDE 9 | |
3f5da2c3 JB |
320 | \begin{frame}{Principe général I} |
321 | \begin{defin} | |
322 | Résoudre le problème $ \mathcal{P} $ : | |
323 | $$ | |
324 | \mathcal{P} \left \{ | |
325 | \begin{array}{l} | |
326 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ | |
327 | g(x) \leq 0 \\ | |
328 | h(x) = 0 | |
329 | \end{array} | |
330 | \right . | |
331 | $$ | |
332 | où $$ g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p,\ h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q\ et\ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}\ de\ classe\ \mathcal{C}^2. $$ | |
333 | \end{defin} | |
f471c8ba JB |
334 | \end{frame} |
335 | ||
c207a96f | 336 | %%%%% SLIDE 10 |
3f5da2c3 JB |
337 | \begin{frame}{Principe général II} |
338 | \begin{enumerate} | |
339 | \item Conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité d'une solution (\textit{KKT}, $ H[J] $ définie positive et convexité de $ \mathcal{P} $). | |
340 | \item Approximation quadratique du Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ par Taylor-Young à l'ordre 2 en $ x_k $: | |
341 | $$ L(x,\lambda,\mu) \approx L(x_k,\lambda_k,\mu_k) + \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) $$ | |
342 | $$ + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$ | |
343 | \item Approximation linéaire de $ g $ et $ h $ par Taylor-Young à l'ordre 1 en $ x_k $ : | |
344 | $$ g(x) \approx g(x_k) + \nabla g(x_k)^\top(x - x_k) $$ | |
345 | $$ h(x) \approx h(x_k) + \nabla h(x_k)^\top(x - x_k) $$ | |
c207a96f JB |
346 | \item Condition d'optimalité sur le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : |
347 | $$ \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$ | |
3f5da2c3 | 348 | \end{enumerate} |
f471c8ba JB |
349 | \end{frame} |
350 | ||
c207a96f | 351 | %%%%% SLIDE 11 |
3f5da2c3 | 352 | \begin{frame}{Principe général III} |
3f5da2c3 JB |
353 | \begin{block}{} |
354 | Résoudre le sous-problème quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ avec contraintes linéaires : | |
355 | $$ | |
356 | \mathcal{PQ}_k \left \{ | |
357 | \begin{array}{l} | |
358 | \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ | |
359 | g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\ | |
360 | h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} | |
361 | \end{array} | |
362 | \right . | |
363 | $$ | |
364 | où $ d = x - x_k $ et $ H_k = H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) $ symétrique (Schwarz). | |
365 | \end{block} | |
c207a96f | 366 | \centerline{$ \implies $ La solution $ d_k $ est la valeur optimale de direction de descente.} |
f471c8ba JB |
367 | \end{frame} |
368 | ||
c207a96f | 369 | \subsection{Algorithme PQS} |
3f5da2c3 | 370 | |
c207a96f | 371 | %%%%% SLIDE 12 |
3f5da2c3 JB |
372 | \begin{frame}{Algorithme PQS} |
373 | \begin{block}{ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.} | |
374 | \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée. | |
375 | \newline | |
376 | \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $. | |
377 | \begin{enumerate} | |
378 | \item $ k := 0 $. | |
379 | \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $, | |
380 | \begin{enumerate} | |
381 | \item Résoudre le sous-problème quadratique : | |
382 | $$ | |
383 | \mathcal{PQ}_k \left \{ | |
384 | \begin{array}{l} | |
385 | \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ | |
386 | g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\ | |
387 | h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} | |
388 | \end{array} | |
389 | \right . | |
390 | $$ | |
391 | et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $ \lambda^{\prime} $ et $ \mu^{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement. | |
392 | \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ \mu_{k+1} = \mu^{\prime}; \ k := k + 1 $. | |
393 | \end{enumerate} | |
394 | \item Retourner $ x_k $. | |
395 | \end{enumerate} | |
396 | \end{block} | |
f471c8ba JB |
397 | \end{frame} |
398 | ||
f471c8ba JB |
399 | %%%%% SLIDE DE FIN |
400 | ||
401 | \begin{frame}[plain] | |
402 | \begin{beamerboxesrounded}% | |
403 | [lower=block title, % | |
404 | upper=block title,% | |
405 | shadow=true]{} | |
406 | \begin{center} | |
3f5da2c3 | 407 | {\Large \textbf{{\color{mycvblue}Merci pour votre attention.}}}\\ |
f471c8ba JB |
408 | \vspace{3em} |
409 | {\Large \textbf{{\color{mycvblue}Questions?}}}\\ | |
410 | \end{center} | |
411 | \end{beamerboxesrounded} | |
f471c8ba JB |
412 | \end{frame} |
413 | ||
414 | \end{document} |