Commit | Line | Data |
---|---|---|
e37aec65 JB |
1 | \documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book} |
2 | ||
3 | ||
4 | %%%%%Packages | |
5 | ||
de30386e | 6 | |
e37aec65 | 7 | \usepackage{latexsym} |
66a4e4ad JB |
8 | \usepackage{amsmath} |
9 | \usepackage{mathtools} | |
e37aec65 JB |
10 | \usepackage{amssymb} |
11 | \usepackage[utf8]{inputenc} | |
12 | \usepackage[francais]{babel} | |
13 | \usepackage{color} | |
14 | \usepackage{geometry} | |
15 | \usepackage{graphicx} | |
16 | \usepackage{amsfonts} | |
17 | \usepackage[T1]{fontenc} | |
18 | \usepackage{multirow} | |
19 | \usepackage{fancyhdr} | |
20 | \usepackage{tocbibind} | |
21 | \usepackage{lmodern} | |
22 | ||
23 | ||
24 | %%%%%Marges & en-t\^etes | |
25 | ||
26 | \geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm} | |
27 | \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis | |
28 | \fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas | |
29 | \fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut | |
30 | \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut | |
31 | \addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet | |
66a4e4ad | 32 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} % filet en bas |
e37aec65 JB |
33 | |
34 | ||
35 | %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions | |
36 | ||
37 | \newtheorem{Def}{D\'efinition} | |
38 | \newtheorem{Not}[Def]{Notation} | |
39 | \newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme} | |
40 | \newtheorem{Prop}[Th]{Proposition} | |
41 | \newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire} | |
42 | \newtheorem{Rmq}{Remarque} | |
43 | ||
66a4e4ad | 44 | \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1\right\Vert} |
e37aec65 JB |
45 | |
46 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
47 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
48 | ||
49 | \begin{document} | |
50 | ||
51 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
52 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
53 | ||
54 | %%%%%Page de garde | |
55 | ||
56 | \begin{center} | |
57 | ||
b0927d0a | 58 | %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\ |
cec1e8f8 | 59 | \includegraphics[scale=0.5]{polytech.png}\\ |
b0927d0a JB |
60 | |
61 | \vspace*{0.5cm} | |
62 | ||
63 | \footnotesize{ | |
64 | \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\ | |
65 | \large \bf 5ème année\\ | |
66 | } | |
67 | ||
68 | \vspace*{0.5cm} | |
69 | ||
70 | %\large{Master 2 Professionnel\\ | |
71 | %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\} | |
72 | ||
73 | \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\} | |
74 | ||
75 | \vspace*{0.7cm} | |
76 | ||
77 | \begin{tabular}{c} | |
78 | \hline | |
aa023e1c JB |
79 | ~ \\ |
80 | \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique} \\ | |
81 | \LARGE\textbf {en} \\ | |
cec1e8f8 | 82 | \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\ |
aa023e1c | 83 | ~ \\ |
b0927d0a JB |
84 | \hline |
85 | \end{tabular} | |
86 | ||
87 | \vspace*{0.7cm} | |
88 | ||
89 | \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\ | |
90 | ||
91 | \vspace*{0.5cm} | |
92 | ||
93 | \large par\\ | |
94 | ||
95 | %\large \bsc{}\\ | |
96 | %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\ | |
97 | ||
98 | \vspace*{0.2cm} | |
91df3de1 | 99 | \large {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\ |
b0927d0a JB |
100 | |
101 | %\vspace*{0.1cm} | |
102 | ||
103 | % \large sous la direction de \\ | |
104 | ||
105 | %\vspace*{0.1cm} | |
106 | ||
107 | %Eric Audureau et Thierry Masson | |
108 | ||
109 | %\vspace*{1cm} | |
110 | ||
111 | \vspace*{1cm} | |
112 | ||
113 | %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année} | |
114 | \normalsize{Année 2018-2019} | |
e37aec65 JB |
115 | |
116 | \end{center} | |
117 | ||
118 | \thispagestyle{empty} | |
119 | ||
120 | \newpage | |
121 | ||
122 | ||
123 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
124 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
125 | ||
126 | ||
127 | \pagestyle{plain} | |
128 | \frontmatter | |
129 | ||
130 | ||
131 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
132 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
133 | ||
134 | ||
e37aec65 JB |
135 | %%%%%Table des mati\`eres |
136 | ||
137 | \tableofcontents | |
138 | ||
139 | \begin{figure}[!b] | |
b0927d0a JB |
140 | \begin{center} |
141 | %\includegraphics{logo_fac2} | |
142 | \includegraphics[scale=0.04]{amu} | |
143 | \end{center} | |
e37aec65 JB |
144 | \end{figure} |
145 | ||
146 | \newpage | |
147 | ||
148 | ||
149 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
150 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
151 | ||
152 | ||
153 | \mainmatter | |
154 | \pagestyle{fancy} | |
155 | ||
156 | ||
157 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
158 | \chapter{Introduction générale} | |
159 | ||
e37aec65 JB |
160 | \vspace{.5em} |
161 | ||
162 | \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?} | |
163 | ||
64f7c064 JB |
164 | \subsection{Présentation rapide} |
165 | ||
e7e85554 JB |
166 | La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement l'analyse numérique, les probabilités, la statistique et l'algorithmie. |
167 | \newline | |
168 | On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. | |
91df3de1 | 169 | |
64f7c064 JB |
170 | \subsection{Définition de la problèmatique} |
171 | ||
5e4341d1 | 172 | Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle. |
6ec0df37 | 173 | \begin{Def} |
5e4341d1 JB |
174 | Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$. |
175 | \newline | |
176 | La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par : | |
177 | $$ | |
aa023e1c JB |
178 | \mathcal{P} \left \{ |
179 | \begin{array}{r c l} | |
180 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ | |
181 | g(x) \leq 0 \\ | |
182 | h(x) = 0 | |
183 | \end{array} | |
184 | \right . | |
5e4341d1 | 185 | $$ |
6ec0df37 | 186 | \end{Def} |
6ec0df37 | 187 | \begin{Def} |
5e4341d1 JB |
188 | On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par : |
189 | $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$ | |
6ec0df37 | 190 | \end{Def} |
de30386e | 191 | Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une solution. |
64f7c064 | 192 | |
e37aec65 JB |
193 | \section{Qu'est-ce que l'optimisation?} |
194 | ||
d17ef079 JB |
195 | La recherche d'une valeur optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation. |
196 | \begin{Def} | |
197 | Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $. | |
198 | \newline | |
199 | On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application | |
200 | $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$ | |
201 | définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $. | |
202 | \newline | |
203 | Dans ce cas on note | |
204 | $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$ | |
205 | cette dérivée. | |
206 | \end{Def} | |
66a4e4ad JB |
207 | \begin{Def} |
208 | Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ | |
209 | et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $. | |
d17ef079 | 210 | \newline |
66a4e4ad JB |
211 | On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que |
212 | \[ | |
213 | f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h}) | |
214 | \] | |
215 | Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ | |
216 | telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et | |
217 | \[ | |
218 | f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h) | |
219 | \] | |
d17ef079 | 220 | On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $. |
66a4e4ad | 221 | \end{Def} |
d17ef079 JB |
222 | \begin{Rmq} |
223 | On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$. | |
224 | \end{Rmq} | |
5e4341d1 JB |
225 | \begin{Def} |
226 | Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable. | |
227 | \newline | |
228 | Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par : | |
229 | \[ | |
de30386e | 230 | \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast)) |
5e4341d1 JB |
231 | \] |
232 | \end{Def} | |
d17ef079 JB |
233 | \begin{Rmq} |
234 | $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $ | |
235 | \end{Rmq} | |
236 | Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), une condition suffisante et nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums local ou global est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $. | |
de30386e | 237 | \newline |
66a4e4ad | 238 | Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle. |
6ec0df37 JB |
239 | |
240 | % Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}. | |
241 | % Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}. | |
b0927d0a | 242 | |
b0927d0a JB |
243 | %{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème édition, puf, 2000, \cite{Mavr}; |
244 | %ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}. | |
e37aec65 JB |
245 | |
246 | ||
e37aec65 JB |
247 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
248 | ||
de30386e JB |
249 | \chapter{Méthodes de programmation quadratique séquentielle} |
250 | ||
251 | % \section{Cahier des charges} | |
252 | % | |
253 | % Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera | |
254 | % à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe). | |
255 | % | |
256 | % \vspace{.5em} | |
257 | % | |
258 | % Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée | |
259 | % (citations en note de bas de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...). | |
260 | % Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document). | |
261 | % L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances. | |
262 | % | |
263 | % \vspace{.5em} | |
264 | % | |
265 | % Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance | |
266 | % et d'objectivité scientifique. Le document ne devra pas excéder 10 pages. | |
267 | % On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document. | |
268 | % | |
269 | % \section{Proposition de sujets} | |
270 | % | |
271 | % \subsection{Analyse numérique} | |
272 | % | |
273 | % \vspace{.5em} | |
274 | % | |
275 | % 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires). | |
276 | % | |
277 | % \vspace{.5em} | |
278 | % | |
279 | % 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables. | |
280 | % | |
281 | % \vspace{.5em} | |
282 | % | |
283 | % 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc.... | |
284 | % | |
285 | % \vspace{.5em} | |
286 | ||
287 | \section{Optimisation} | |
288 | ||
289 | % \vspace{.5em} | |
290 | ||
291 | % \subsubsection{Optimisation sans contrainte} | |
292 | % | |
293 | % {\bf A- Algorithmes déterministes} | |
294 | % | |
295 | % \vspace{.5em} | |
296 | % | |
297 | % 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés). | |
298 | % | |
299 | % \vspace{.5em} | |
300 | % | |
301 | % 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal). | |
302 | % | |
303 | % \vspace{.5em} | |
304 | % | |
305 | % 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema. | |
306 | % | |
307 | % \vspace{.5em} | |
308 | % | |
309 | % 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général) | |
310 | % | |
311 | % \vspace{.5em} | |
312 | % | |
313 | % 5) Méthode de relaxation | |
314 | % | |
315 | % \vspace{.5em} | |
316 | % | |
317 | % {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques} | |
318 | % | |
319 | % \vspace{.5em} | |
320 | % | |
321 | % 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov) | |
322 | % | |
323 | % \vspace{.5em} | |
324 | % | |
325 | % 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis) | |
326 | % | |
327 | % \vspace{.5em} | |
e37aec65 JB |
328 | |
329 | \subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes} | |
330 | ||
de30386e JB |
331 | % \vspace{.5em} |
332 | % | |
333 | % 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) . | |
334 | % | |
335 | % \vspace{.5em} | |
336 | % | |
337 | % 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT). | |
338 | % | |
339 | % \vspace{.5em} | |
340 | % | |
341 | % 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité, | |
342 | % méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation, | |
343 | % méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming), | |
344 | % méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc... | |
345 | % | |
346 | % \vspace{.5em} | |
347 | % | |
348 | % \subsection{Recherche opérationnelle} | |
349 | % | |
350 | % \vspace{.5em} | |
351 | % | |
352 | % \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)} | |
353 | % | |
354 | % 1) Méthode d'énumération. | |
355 | % | |
356 | % \vspace{.5em} | |
357 | % | |
358 | % 2) Méthode du simplexe. | |
359 | % | |
360 | % \vspace{.5em} | |
361 | % | |
362 | % 3) Application à des problèmes de R.O: | |
363 | % | |
364 | % \vspace{.5em} | |
365 | % | |
366 | % \hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}. | |
367 | % | |
368 | % \vspace{.5em} | |
369 | % | |
370 | % \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire. | |
371 | % | |
372 | % \vspace{.5em} | |
373 | % | |
374 | % \hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice? | |
375 | % | |
376 | % \vspace{.5em} | |
377 | % | |
378 | % \hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant : | |
379 | % | |
380 | % \vspace{.5em} | |
381 | % | |
382 | % \begin{center} | |
383 | % $ | |
384 | % \begin{array}{|c|c|c|c|} | |
385 | % \hline | |
386 | % Atelier & A & B & C \\ | |
387 | % \hline | |
388 | % Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\ | |
389 | % \hline | |
390 | % Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\ | |
391 | % \hline | |
392 | % \end{array} | |
393 | % $ | |
394 | % \end{center} | |
395 | % | |
396 | % \vspace{.5em} | |
397 | % | |
398 | % Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines. | |
399 | % | |
400 | % \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire. | |
401 | % | |
402 | % \vspace{.5em} | |
403 | % | |
404 | % \hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique? | |
405 | % | |
406 | % \vspace{.5em} | |
e37aec65 | 407 | |
e37aec65 JB |
408 | \bibliographystyle{plain} |
409 | \bibliography{stdlib_sbphilo} | |
410 | ||
411 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
412 | ||
413 | \end{document} | |
414 | ||
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