More fixlets.
[Projet_Recherche_Operationnelle.git] / rapport / ProjetOptimRO.tex
... / ...
CommitLineData
1\documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book}
2
3
4%%%%%Packages
5
6
7\usepackage{latexsym}
8\usepackage{amsmath}
9\usepackage{amsthm}
10\usepackage{mathtools}
11\usepackage{amssymb}
12\usepackage[utf8]{inputenc}
13\usepackage[francais]{babel}
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18\usepackage[T1]{fontenc}
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22\usepackage{lmodern}
23\usepackage{enumitem}
24\usepackage{algorithm2e}
25\usepackage{algorithmic}
26
27
28%%%%%Marges & en-t\^etes
29
30\geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm}
31\fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
32\fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
33\fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
34\renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut
35\addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet
36\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} % filet en bas
37
38
39%%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions
40
41\newtheorem{Def}{D\'efinition}
42\newtheorem{Not}[Def]{Notation}
43\newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme}
44\newtheorem{Prop}[Th]{Proposition}
45\newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire}
46\newtheorem{Rmq}{Remarque}
47
48\newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
49
50%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
51%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
52
53\begin{document}
54
55%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
56%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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58%%%%%Page de garde
59
60\begin{center}
61
62 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
63 \includegraphics[scale=0.5]{polytech.png}\\
64
65 \vspace*{0.5cm}
66
67 \footnotesize{
68 \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
69 \large \bf 5ème année\\
70 }
71
72 \vspace*{0.5cm}
73
74 %\large{Master 2 Professionnel\\
75 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}
76
77 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\}
78
79 \vspace*{0.7cm}
80
81 \begin{tabular}{c}
82 \hline
83 ~ \\
84 \LARGE\textbf {Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS} \\
85 \LARGE\textbf {en} \\
86 \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\
87 ~ \\
88 \hline
89 \end{tabular}
90
91 \vspace*{0.7cm}
92
93 \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\
94
95 \vspace*{0.5cm}
96
97 \large par\\
98
99 %\large \bsc{}\\
100 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\
101
102 \vspace*{0.2cm}
103 \large {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\
104
105 %\vspace*{0.1cm}
106
107 % \large sous la direction de \\
108
109 %\vspace*{0.1cm}
110
111 %Eric Audureau et Thierry Masson
112
113 %\vspace*{1cm}
114
115 \vspace*{1cm}
116
117 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
118 \normalsize{Année 2018-2019}
119
120\end{center}
121
122\thispagestyle{empty}
123
124\newpage
125
126
127%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
128%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
129
130
131\pagestyle{plain}
132\frontmatter
133
134
135%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
136%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
137
138
139%%%%%Table des mati\`eres
140
141\tableofcontents
142
143\begin{figure}[!b]
144 \begin{center}
145 %\includegraphics{logo_fac2}
146 \includegraphics[scale=0.04]{amu}
147 \end{center}
148\end{figure}
149
150\newpage
151
152
153%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
154%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
155
156
157\mainmatter
158\pagestyle{fancy}
159
160
161%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
162\chapter{Introduction générale}
163
164L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS.
165\newline
166Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet.
167
168\vspace{.5em}
169
170\section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?}
171
172\subsection{Présentation rapide}
173
174La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
175\newline
176On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.
177
178\subsection{Définition de la problèmatique}
179
180Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
181\begin{Def}
182 Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
183 \newline
184 La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par :
185 $$
186 \mathcal{P} \left \{
187 \begin{array}{l}
188 \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
189 g(x) \leq 0 \\
190 h(x) = 0
191 \end{array}
192 \right .
193 $$
194\end{Def}
195\begin{Def}
196 On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
197 $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
198\end{Def}
199Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $ et $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $ défini dans $ \mathcal{C} $) ainsi que de construction d'une solution dans $ \mathcal{C} $.
200
201\section{Qu'est-ce que l'optimisation?}
202
203\subsection{Définition}
204
205La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation.
206\newline
207Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science.
208
209\subsection{Quelques définitions annexes}
210
211Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
212\begin{Def}
213 On définit le Lagrangien associé à $ \mathcal{P} $ par :
214 $$ \begin{array}{r c l}
215 L : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^q \times \mathbb{R}_+^p & \longrightarrow & \mathbb{R} \\
216 (x,\lambda,\mu) & \longmapsto & L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i h_i(x) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu_j g_j(x) \\
217 & & L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \langle \lambda,h(x) \rangle_{\mathbb{R}^q} + \langle \mu,g(x) \rangle_{\mathbb{R}^p}
218 \end{array} $$
219 où l’on note $ \lambda $ et $ \mu $ les vecteurs de coordonnées respectives $ (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
220\end{Def}
221\begin{Def}
222 Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
223 \newline
224 On dit que $ x^\ast $ est \textbf{intérieur} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $ \mathring{A} $.
225\end{Def}
226\begin{Rmq}
227 $ A \subset \mathbb{R}^n $ est un ouvert $ \iff A = \mathring{A} $.
228\end{Rmq}
229\begin{Def}
230 Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
231 \newline
232 On dit que $ x^\ast $ est \textbf{adhérent} à $ A $ si et seulement si $ \forall V \in \mathcal{V}(x^\ast) \ A \cap V \neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $ \overline{A} $.
233\end{Def}
234\begin{Rmq}
235 $ A \subset \mathbb{R}^n $ est un fermé $ \iff A = \overline{A} $.
236\end{Rmq}
237\begin{Def}
238 Soient $ f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ S \subset \mathbb{R}^n $. On définit $ \mathrm{argmin} $ de $ f $ sur $ S $ par :
239 $$ \underset{x \in S}{\mathrm{argmin}} f(x) = \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ x \in S \land \forall y \in S \ f(y) \geq f(x) \} $$
240\end{Def}
241\begin{Def}
242 Soient une fonction $ f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
243 \newline
244 On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si
245 $$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$
246\end{Def}
247\begin{Def}
248 Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $.
249 \newline
250 On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application
251 $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$
252 définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $.
253 \newline
254 Dans ce cas on note
255 $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$
256 cette dérivée.
257\end{Def}
258\begin{Def}
259 Soient une fonction $ f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $
260 et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $.
261 \newline
262 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que
263 \[
264 f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h})
265 \]
266 Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $
267 telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et
268 \[
269 f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h)
270 \]
271 On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $.
272\end{Def}
273\begin{Rmq}
274 On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$.
275\end{Rmq}
276\begin{Def}
277 Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
278 \newline
279 Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
280 \[
281 \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
282 \]
283\end{Def}
284\begin{Rmq}
285 $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle = \nabla f(x^\ast)^\top h $
286\end{Rmq}
287\begin{Def}
288 Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $.
289 On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^\ast $ par :
290 $$ H[f](x^\ast) =
291 \begin{pmatrix}
292 \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x^\ast) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x^\ast) \\
293 \vdots & & \vdots \\
294 \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x^\ast) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(x^\ast)
295 \end{pmatrix} $$
296\end{Def}
297\begin{Prop}
298 \begin{enumerate}
299 \item $ H[f](x^\ast) $ est une matrice symétrique (Théorème de symétrie de Schwarz).
300 \item On a le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 en $ x^\ast $ suivant :
301 $$ f(x^\ast + v) = f(x^\ast) + \langle \nabla f(x^\ast),v \rangle + \frac{1}{2} v^\top H[f](x^\ast) v + \varepsilon(v) $$
302 ou
303 $$ f(x^\ast + v) = f(x^\ast) + \langle \nabla f(x^\ast),v \rangle + \frac{1}{2} \langle H[f](x^\ast)v,v \rangle + \varepsilon(v) $$
304 avec $ \frac{|\varepsilon(v)|}{\norme{v}} \rightarrow 0 $ quand $ \norme{v} \rightarrow 0 $.
305 \end{enumerate}
306\end{Prop}
307\begin{proof}
308 Elle repose entièrement sur deux autres théorèmes dont les preuves sont connues et de la réécriture de formulation de résultat.
309\end{proof}
310
311\subsection{Conditions d'existence d'un extremum}
312
313On peut démontrer que $ \mathcal{C}$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
314On peut en déduire $ \mathcal{C} $ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $.
315\begin{Th}[Théorème de Weierstrass]
316 Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue.
317 \newline
318 Alors : $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$
319 Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
320 \newline
321 De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
322\end{Th}
323Si $ J $ est continue, on en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues \cite{LJK,RON}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ permet d'explorer l'unicité de la solution \cite{LJK,RON}.
324
325\subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum}
326
327Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), la recherche du mimimum consiste à faire des descentes par gradient [section \ref{descente}] de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i = \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \norme{\nabla J(x_i)} < \varepsilon $, $ i \in \mathbb{N} $ \cite{FEA}.
328\newline
329On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\ast \in \mathring{\mathcal{C}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $ \nabla J(x^\ast) = 0 $. Mais si $ x^\ast \in \overline{\mathcal{C}}\setminus\mathring{\mathcal{C}} $ (la frontière de $ \mathcal{C} $) alors $ \nabla J(x^\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum local \cite{FEA,WAL}.
330
331\subsubsection{Conditions nécessaires de Karuch-Kuhn-Tucker ou \textit{KKT}}\label{KKT}
332
333\begin{Th}
334 Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
335 \newline
336 Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
337 \begin{center}
338 $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.
339 \end{center}
340 et
341 \begin{center}
342 $ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} $ tels que :
343 \end{center}
344 \begin{center}
345 $ \nabla J(x^\ast) + \sum\limits_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum\limits_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $
346 \end{center}
347 \begin{center}
348 $ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
349 \end{center}
350 On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
351 \newline
352 On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
353\end{Th}
354\begin{proof}
355 Elle repose sur le lemme de Farkas \cite{FEA,RON}.
356\end{proof}
357Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \iff h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $ \cite{FEA}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $ \mathcal{P} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions \textit{KKT} à vérifier mais rajoute $ 2q $ conditions d'inégalités et donc $ 2q $ multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
358\begin{Def}
359 On appelle un point admissible $ x^\ast \in \mathcal{C} $ un point critique de $ \mathcal{P} $ si il statisfait les conditions \textit{KKT}.
360\end{Def}
361
362\subsubsection{Conditions suffisantes du deuxième ordre}
363
364\begin{Th}
365 Les conditions suffisantes en plus de celles \textit{KKT} pour que $ x^\ast \in \mathcal{C} $ soit un minimum local de $ J $ sont :
366 \begin{enumerate}[label=(\roman*)]
367 \item relâchement complémentaire dual\footnote{La définition de cette notion ne sera pas donnée car elle n'est pas nécessaire pour l'étude de la méthode PQS.} strict en $ x^\ast $.
368 \item $ \forall v \in \mathbb{R}^n \land v \neq 0 \ \langle H_x[L](x^\ast,\lambda,\mu)v,v \rangle > 0 $.
369 \end{enumerate}
370\end{Th}
371
372%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
373
374\chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle}
375
376Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS.
377
378\vspace{.5em}
379
380\section{Methode de descente}\label{descente}
381
382Nous supposons que le domaine des contraintes de $ \mathcal{P} $ est un ouvert de $ \mathbb{R}^n $ (c'est à dire que nous n'avons pas de contraintes) et $ J $ est une fonction définie sur $ \mathbb{R}^n $ à valeurs réelles supposée différentiable, voire même deux fois différentiable. Les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre expriment le fait qu’il n’est pas possible de “descendre” à partir d’un point de minimum (local ou global). Cette observation va servir de point de départ à l’élaboration des méthodes dites de descente.
383
384Partant d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ définie par :
385$$ x_{k+1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k \in \mathbb{R}_{+}^{*},d_k \in \mathbb{R}^n $ et avec
386$$ \forall k \in \mathbb{N} \ J(x_{k+1}) \leq J(x_k) $$
387Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée \textit{recherche linéaire}.
388
389\subsection{Définition d'une direction de descente}
390
391Un vecteur $ d \in \mathbb{R}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ si $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ est strictement décroissante en $ t = 0 $, c’est-à-dire :
392$$ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
393Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines directions.
394\begin{Prop}
395 Soient $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable et $ d \in \mathbb{R}^n $.
396 \newline
397 d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ ssi :
398 $$ \nabla J(x_0)^\top d < 0 $$
399 De plus
400 $$ \forall \beta < 1 \in \mathbb{R}_{+} \ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t\beta \nabla J(x_0)^\top d < J(x_0) $$
401\end{Prop}
402\begin{proof}
403 Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre 1.
404\end{proof}
405Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $, est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :
406
407\hrulefill
408\newline
409ALGORITHME DE DESCENTE GÉNÉRIQUE.
410\newline
411\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire.
412\newline
413\textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $.
414\begin{enumerate}
415 \item $ k := 0 $.
416 \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
417 \begin{enumerate}
418 \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $ \nabla J(x_k)^\top d_k < 0 $.
419 \item \textit{Recherche linéaire} : Choisir un pas $ s_k > 0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$
420 \item Mise à jour : $ x_{k+1} = x_k + s_kd_k; \ k := k + 1 $.
421 \end{enumerate}
422 \item Retourner $ x_k $.
423\end{enumerate}
424
425\hrulefill
426
427\subsection{Choix de la direction de descente}
428
429Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de descente :
430\begin{itemize}
431 \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}.
432 \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}.
433\end{itemize}
434Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($ \iff \nabla J(x_k) = 0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas étudiées dans le cadre de ce projet.
435
436\subsection{Critère d’arrêt}
437
438Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente générique, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
439\newline
440En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^\ast $.
441
442Soit $ \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable sans contrainte, on testera si
443$$ \norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon, $$
444auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.
445
446En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à d’autres critères fondés sur l’expérience du numérique :
447\begin{itemize}
448 \item Stagnation de la solution : $ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $.
449 \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $.
450 \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
451\end{itemize}
452et généralement une combinaison de ces critères :
453\newline
454\newline
455Critère d’arrêt =
456\begin{tabular}{l}
457 Test d’optimalité satisfait \\
458 OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
459 OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
460\end{tabular}
461
462\subsection{La recherche linéaire}
463
464Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
465\newline
466Soit $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s > 0 $ de sorte que :
467$$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
468Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.
469
470\hrulefill
471\newline
472RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_{k-1} $
473
474\hrulefill
475
476\hrulefill
477\newline
478RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $ \displaystyle\min_{s \in \mathbb{R}_{+}^{*}} J(x_k + sd_k) $
479
480\hrulefill
481\newline
482Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont acceptables et ceux qui ne le sont pas.
483\begin{Def}
484 On appelle $ \varphi : s \in \mathbb{R} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
485\end{Def}
486\begin{Def}
487 Dans le cas où $ J $ est différentiable sur $ \mathcal{C} $, on dit que un algorithme de descente converge ssi
488 $$ \forall x_0 \in \mathbb{R}^n \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$
489\end{Def}
490
491\subsubsection{Principe de démonstration de convergence}
492
493Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence globale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du type :
494$$ J(x_k) - J(x_{k+1}) \geq c\norme{\nabla J(x_k)}^2, $$
495où $ c $ est une constante réelle.
496\newline
497En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $ 0 $ à $ N - 1 $, on obtient :
498$$ \forall N \in \mathbb{N} \ J(x_0) - J(x_N) \geq c \sum_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2 $$
499Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (\sum\limits_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2)_{N \in \mathbb{N}} $ converge, ce qui implique :
500$$ \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$
501\begin{Def}
502 On considère $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $, la suite des itérés donnés par un algorithme convergent. On note $ x^\ast $ la limite de la suite $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et on suppose que $ x_k \neq x^\ast $, pour tout $ k \in \mathbb{N} $. La convergence de l’algorithme est alors dite :
503 \begin{itemize}
504 \item linéaire si l'erreur décroît linéairement i.e. :
505 $$ \exists \tau \in ]0,1[ \ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}} = \tau $$
506 \item superlinéaire si :
507 $$ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}} = 0 $$
508 \item d'ordre $ p $ si :
509 $$ \exists \tau \geq 0 \ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}^p} = \tau $$
510 En particulier, si $ p = 2 $, la convergence est dite quadratique.
511 \end{itemize}
512\end{Def}
513L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $ \varphi $ ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.
514
515\section{Méthode Newtonienne}
516
517Les hypothèses sur $ \mathcal{P} $ de la section précédente restent les mêmes dans cette section. L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) = 0 $. En optimisation sans contrainte, l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
518$$ \nabla J(x) = 0, $$
519autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
520\newline
521En supposant $ J $ de classe $ \mathcal{C}^2 $ et la matrice hessienne $ H[J](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
522$$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$
523où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
524$$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$
525Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
526À condition que la matrice $ H[J](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $ 1 $.
527\newline
528Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
529
530\begin{tabular}{|p{20em}|p{20em}|}
531 \hline
532 Avantages & Inconvénients \\
533 \hline
534 sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par 2 à chaque itération). & \\
535 \hline
536 & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H[J](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\
537 \hline
538 & le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\
539 \hline
540 & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
541 \hline
542 & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
543 \hline
544\end{tabular}
545\newline
546La question que l’on se pose est donc : comment forcer la convergence globale de l’algorithme de Newton ? L’idée des méthodes de type Newton consiste à reprendre l’algorithme de Newton en remplaçant les itérations par :
547$$ x_{k+1} = x_k - s_k H_k^{-1} \nabla J(x_k), $$
548
549\begin{itemize}
550 \item la matrice $ H_k $ est une approximation de la hessienne $ H[J](x_k) $.
551 \item $ s_k > 0 $ est le pas calculé par une recherche linéaire bien choisie.
552\end{itemize}
553Plusieurs questions se posent alors :
554\begin{itemize}
555 \item Comment déterminer une matrice $ H_k $ qui soit une “bonne” approximation de la hessienne à l’itération $ k $ sans utiliser les informations de second ordre et garantir que $ H_k^{-1} \nabla J(x_k) $ soit bien une direction de descente de $ J $ en $ x_k $, sachant que la direction de Newton, si elle existe, n’en est pas nécessairement une ?
556 \item Comment conserver les bonnes propriétés de l’algorithme de Newton ?
557\end{itemize}
558Nous ne répondrons pas à ces questions qui sont hors du cadre de ce projet. Cette section permet d'introduire certains prérequis pour l'étude de la méthode PQS et de rendre compte de sa filiation.
559
560\section{Méthode PQS (ou SQP)}
561
562Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $ \mathcal{C}^1 $. Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste à déterminer un point optimal $ x^\ast $ et des multiplicateurs associés $ (\lambda^\ast,\mu^\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^\ast $, les multiplicateurs $ (\lambda,\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche des multiplicateurs en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par \textit{dualité}.
563
564\subsection{Problème quadratique sous contraintes linéaires}
565
566Nous introduisons les différentes approches développées pour la résolution des problèmes de programmation quadratique avec contraintes d'égalités et d’inégalités linéaires.
567\newline
568Ce type de problème quadratique se pose sous la forme :
569$$
570 \mathcal{PQ} \left \{
571 \begin{array}{l}
572 \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} c^\top x + \frac{1}{2} x^\top \mathcal{Q} x \\
573 A^\top x + b \leq 0 \\
574 A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0
575 \end{array}
576 \right .
577$$
578où $$ \mathcal{Q} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \ symétrique, c \in \mathbb{R}^n, A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^p, A^\prime \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R}), b^\prime \in \mathbb{R}^q $$
579Or
580$$ A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0 \iff A^{\prime^\top} x + b^\prime \leq 0 \land -A^{\prime^\top} x - b^\prime \leq 0 $$
581Donc le problème se ramène à :
582
583\subsubsection{Algorithme 1}
584
585\subsubsection{Algorithme 2}
586
587\subsection{Algorithmes Newtoniens}
588
589Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $ 1 $. Ces algorithmes sont \textit{primaux-duaux} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_{k \in \mathbb{N}} $ convergeant vers une solution $ \overline{x} $ du problème considéré, et une suite duale $ (\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}} $ (resp. $ ((\lambda_k, \mu_k))_{k \in \mathbb{N}} $) de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $ \overline{\lambda} $ (resp. $ (\overline{\lambda},\overline{\mu}) $) associé à $ \overline{x} $.
590
591\subsection{Algorithme PQS}
592
593\subsubsection{Contraintes d’égalité}
594
595Considérons un problème d’optimisation différentiable $ \mathcal{P} $ avec contraintes d’égalité :
596$$
597 \mathcal{P} \left \{
598 \begin{array}{l}
599 \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
600 h(x) = 0
601 \end{array}
602 \right .
603$$
604où $ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ sont supposées au moins différentiables.
605\newline
606Les conditions d’optimalité de Lagrange (ou \textit{KKT}) s’écrivent :
607$$ \nabla J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i \nabla h_i(x) = 0 \iff \nabla L(x,\lambda) = 0 $$
608donc $ \mathcal{P} $ devient :
609$$ \begin{pmatrix}
610 \nabla J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i \nabla h_i(x) \\
611 h(x)
612 \end {pmatrix} = 0 $$
613Pour résoudre ce système d’équations, utilisons la méthode de Newton dont une itération s’écrit ici :
614$$ H[L](x_k,\lambda_k)\begin{pmatrix}
615 x_{k+1} - x_k \\
616 \lambda_{k+1} - \lambda_k
617 \end{pmatrix} = -\nabla L(x_k,\lambda_k) $$
618soit :
619$$ \begin{pmatrix}
620 H_x[L](x_k,\lambda_k) & D_h(x_k)^\top \\
621 D_h(x_k) & 0
622 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
623 x_{k+1} - x_k \\
624 \lambda_{k+1} - \lambda_k
625 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}
626 \nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\
627 h(x_k)
628 \end{pmatrix} $$
629où $ D_h(x) $ désigne la matrice jacobienne de l’application $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ définie par :
630$$ D_h(x)^\top = \begin{bmatrix} \nabla h_1(x)^\top\ldots\nabla h_q(x)^\top \end{bmatrix} $$
631Posons : $ H_k = H_x[L](x_k,\lambda_k), \ d = x_{k+1} - x_k $ et $ \mu = \lambda_{k+1} $. L'itération s'écrit donc :
632$$ \begin{pmatrix}
633 H_k & D_h(x_k)^\top \\
634 D_h(x_k) & 0
635 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
636 d \\
637 \mu - \lambda_k
638 \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}
639 \nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\
640 h(x_k)
641 \end{pmatrix} $$
642et est bien définie à condition que la matrice $ H_x[L](x_k,\lambda_k) $ soit inversible. Ce sera le cas si :
643\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
644 \item Les colonnes $ \nabla h_1(x_k)^\top,\ldots,\nabla h_q(x_k)^\top $ de $ D_h(x_k)^\top $ sont linéairement indépendants : c’est la condition première de \textit{KTT} ou condition de qualification des contraintes.
645 \item Quel que soit $ d \neq 0 $ tel que $ D_h(x_k)d = 0, \ d^\top H_k d > 0 $ : c’est la condition suffisante d’optimalité du second ordre dans le cas de contraintes d’égalité.
646\end{enumerate}
647Revenons à l’itération. Elle s’écrit encore :
648$$
649 \left \{
650 \begin{array}{r c l}
651 H_kd + \sum\limits_{i=1}^q(\mu_i - \lambda_{k_i})\nabla h_i(x_k) & = & -\nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\
652 \nabla h_i(x_k)^\top d + h_i(x_k) & = & 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
653 \end{array}
654 \right .
655$$
656Or $ \nabla_x L(x_k,\lambda_k) = \nabla J(x_k) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_{k_i} \nabla h_i(x_k) $, d'où :
657$$
658 \left \{
659 \begin{array}{r c l}
660 H_kd + \sum\limits_{i=1}^q\mu_i\nabla h_i(x_k) & = & -\nabla J(x_k) \\
661 \nabla h_i(x_k)^\top d + h_i(x_k) & = & 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
662 \end{array}
663 \right .
664$$
665On reconnait dans le système ci-dessus les conditions d’optimalité de Lagrange du problème quadratique suivant :
666$$
667 \mathcal{PQ}_k \left \{
668 \begin{array}{l}
669 \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
670 h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
671 \end{array}
672 \right .
673$$
674Le problème $ \mathcal{PQ}_k $ peut être vu comme la minimisation d’une approximation quadratique du Lagrangien de $ \mathcal{P} $ avec une approximation linéaire des contraintes.
675\newline
676Comme son nom l’indique, la méthode PQS consiste à remplacer le problème initial par une suite de problèmes quadratiques sous contraintes linéaires plus faciles à résoudre. L’algorithme est le suivant :
677
678\hrulefill
679\newline
680ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ.
681\newline
682\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}^q $ multiplicateur initial, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
683\newline
684\textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $.
685\begin{enumerate}
686 \item $ k := 0 $.
687 \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k)} > \varepsilon $,
688 \begin{enumerate}
689 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
690 $$
691 \mathcal{PQ}_k \left \{
692 \begin{array}{l}
693 \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
694 h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
695 \end{array}
696 \right .
697 $$
698 et obtenir la solution primale $ d_k $ et le multiplicateur $ \lambda^{\prime} $ associé à la contrainte d’égalité.
699 \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ k := k + 1 $.
700 \end{enumerate}
701 \item Retourner $ x_k $.
702\end{enumerate}
703
704\hrulefill
705
706\subsubsection{Contraintes d’inégalité}
707
708Intéressons nous maintenant aux problèmes avec contraintes d’égalité et d’inégalité :
709$$
710 \mathcal{P} \left \{
711 \begin{array}{l}
712 \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
713 g(x) \leq 0 \\
714 h(x) = 0
715 \end{array}
716 \right .
717$$
718où $ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ et $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ sont supposées au moins différentiables.
719\newline
720Selon le même principe qu’avec contraintes d’égalité seules, on linéarise les contraintes et on utilise une approximation quadratique du Lagrangien à l'aide de développements de Taylor-Young en $ x_k $ et $ (x_k,\lambda_k,\mu_k) $ respectivement :
721$$ L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \lambda^\top g(x) + \mu^\top h(x), \ \lambda \in \mathbb{R}_+^p \land \mu \in \mathbb{R}^q $$
722Soit à l'ordre 2 pour le Lagrangien :
723$$ L(x,\lambda,\mu) \approx L(x_k,\lambda_k,\mu_k) + \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$
724et à l'ordre 1 pour les contraintes :
725$$ g(x) \approx g(x_k) + \nabla g(x_k)^\top(x - x_k) $$
726$$ h(x) \approx h(x_k) + \nabla h(x_k)^\top(x - x_k) $$
727En posant $ d = x - x_k $ et $ H_k = H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) $, on obtient le sous problème quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ :
728
729\hrulefill
730\newline
731ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.
732\newline
733\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
734\newline
735\textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $.
736\begin{enumerate}
737 \item $ k := 0 $.
738 \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $,
739 \begin{enumerate}
740 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
741 $$
742 \mathcal{PQ}_k \left \{
743 \begin{array}{l}
744 \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
745 g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
746 h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
747 \end{array}
748 \right .
749 $$
750 et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $ \lambda^{\prime} $ et $ \mu^{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement.
751 \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ \mu_{k+1} = \mu^{\prime}; \ k := k + 1 $.
752 \end{enumerate}
753 \item Retourner $ x_k $.
754\end{enumerate}
755
756\hrulefill
757\newline
758Afin que le sous-programme quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ admette une unique solution, la plupart des implémentations actuelles de PQS utilisent une approximation du hessien $ H_k $ du Lagrangien qui soit définie positive, en particulier celle fournie par les techniques quasi-newtonienne (BFGS) par exemple.
759\newline
760Etant une méthode newtonienne, l’algorithme PQS converge localement quadratiquement pourvu que les points initiaux $ (x_0,\lambda_0 ) $ (resp. $ (x_0,\lambda_0,\mu_0) $) soient dans un voisinage d’un point stationnaire $ \overline{x} $ et de ses multiplicateurs associés $ \overline{\lambda} $ (resp. $ (\overline{\lambda},\overline{\mu}) $). Bien entendu, il est possible de globaliser l’algorithme en ajoutant une étape de recherche linéaire.
761
762\subsection{Stratégie d'approximation de la hessienne}
763
764\subsubsection{Équation de sécante et approximation}
765
766L'approximation $ H_k $ de la hessienne du Lagrangien peut être obtenu par la relation :
767$$ \nabla L(x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) - \nabla L(x_{k},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) \approx H[L](x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1})(x_{k+1} - x_k) $$
768On construit une approximation $ H_{k+1} $ de $ H[L](x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) $ comme solution de l’équation :
769$$ H_{k+1}(x_{k+1} - x_k) = \nabla L(x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) - \nabla L(x_{k},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) $$
770appelée équation de sécante ou équation de quasi-Newton.
771\newline
772De façon similaire, on peut construire une approximation $ B_{k+1} $ de $ H[L](x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1})^{-1} $ comme solution de l’équation :
773$$ B_{k+1}(\nabla L(x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) - \nabla L(x_{k},\lambda_{k+1},\mu_{k+1})) = x_{k+1} - x_k $$
774Dans les deux cas, les équations de quasi-Newton forment un système sous-déterminé à $ n $ équations et $ n^2 $ inconnues. Il existe donc une infinité de matrices $ H_{k+1} $ pouvant convenir.
775\newline
776Une stratégie commune est de calculer $ (x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) $ pour une matrice $ H_k $ donnée et faire une mise à jour de $ H_k $ de rang 1 ou 2 :
777$$ H_{k+1} = H_k + U_k $$
778% \subsubsection{Mises à jour DFP et BFGS}
779Les méthodes de mise à jour DFP et BFGS suivent par exemple cette stratégie.
780
781\subsection{Exemple d'utilisation de PQS}
782
783Considérons le problème $ \mathcal{P} $ suivant :
784$$
785 \mathcal{P} \left \{
786 \begin{array}{l}
787 \displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 \\
788 g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 \\
789 \end{array}
790 \right .
791$$
792où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^{*^3} \land r < r_1 \land r < r_2. $$
793\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = $ multiplicateur initial.
794\newline
795Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$
796\newline
797Le gradient de $ J $ : $$ \nabla J(x,y,z) = (\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)) = (2x,2y,2z). $$
798\newline
799Le gradient de $ g $ : $$ \nabla g(x,y,z) = (\nabla g_1(x,y,z),\nabla g_2(x,y,z)) $$
800$$ = ((\frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial z}(x,y,z)),(\frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial z}(x,y,z)) $$
801$$ = ((2x,2y,0),(2x,0,2z)). $$
802\newline
803Le gradient du Lagrangien $ L $ :
804$$ \nabla L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x,y,z) + \lambda_1 \nabla g_1(x,y,z) + \lambda_2 \nabla g_2(x,y,z)) $$
805\newline
806La matrice hessienne de $ J $ : $$ H[J](x,y,z) =
807 \begin{pmatrix}
808 \frac{\partial^2 J}{\partial^2 x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial z}(x,y,z) \\
809 \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial z}(x,y,z) \\
810 \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 z}(x,y,z) \\
811 \end{pmatrix} =
812 \begin{pmatrix}
813 2 & 0 & 0 \\
814 0 & 2 & 0 \\
815 0 & 0 & 2 \\
816 \end{pmatrix} = 2Id_{\mathbb{R}^3} $$
817On en déduit que $ H[J](x,y,z) $ est inversible et que $ H[J](x,y,z)^{-1} = \frac{1}{2}Id_{\mathbb{R}^3} $.
818
819\newpage
820
821\subsection{Trace d'éxécution de l'algorithme PQS}
822
823\begin{center}
824 \includegraphics[scale=0.2]{sphere2.jpg} \\
825 \footnotesize{
826 \small \it Fig : Exemple de la sphère \\
827 \vspace*{0.5cm}
828 }
829\end{center}
830
831En utilisant le problème $ \mathcal{P} $ précédent :
832
833\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (100, 100 ,0)$ et $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1 , 1)$, les rayons : $r = 100$ et $r_1 = r_2 = 10$.
834\newline
835Calcul du Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ en $(x_0,y_0,z_0)$ :
836\newline
837$ L((100,100,0),(1,1)) = 100^2 + 100^2 + 0^2 -100^2 + 1 * (100^2 +100^2 - 10^2) + 1 * (100^2 + 100^2 -10^2). $
838$ L((100,100,0),(1,1)) = 1000 + 1000 - 1000 + (1000 + 1000 - 100) + (1000 + 1000 -100). $
839$ L((100,100,0),(1,1)) = 4800. $
840
841\newpage
842
843% \begin{algorithmfloat}[#Algo 1]
844\begin{algorithm}
845 \caption {Trace d'éxécution de l'algorithme PQS}
846 \begin{algorithmic}
847 \REQUIRE $g(x_0,y_0,z_0)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (10, 10 ,10)$
848 \ENSURE $\displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $
849 \STATE \textbf{Data :}
850 \STATE $k \leftarrow 0, (x_k, y_k, z_k) \leftarrow (100, 100, 0), r \leftarrow 100$
851 \STATE $r_1 = r_2 \leftarrow 10, \varepsilon \leftarrow 0.01$
852 \STATE $\lambda_1 = \lambda_2 \leftarrow 1$
853 \STATE $ H[J](x,y,z)^{-1} \leftarrow
854 \begin{pmatrix}
855 0.5 & 0 & 0 \\
856 0 & 0.5 & 0 \\
857 0 & 0 & 0.5 \\
858 \end{pmatrix} $
859 \newline
860 \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $:}
861 \STATE $ \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (20, 20, 0)$
862 \STATE $ \nabla g_2(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,0,2z_k))$ \hfill $ //résultat : (20, 0, 20)$
863 \STATE $ \nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
864 \newline
865
866 \WHILE{$ (\norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $ or k $ \leq 10)$}
867
868 \STATE {//Première itération :}
869 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
870 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (100,100,0) $
871 \newline
872 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
873 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (220, 220, 40)$
874 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
875 % \STATE $ \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = (x_L , y_L, z_L) $
876 \newline
877 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
878 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(50,50,0))$
879 \newline
880 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
881 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (50,50,0)$
882 \newline
883 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
884 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 1$
885 \newline
886
887 \STATE {//Deuxième itération :}
888 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
889 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (100,100,0) $
890 \newline
891 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
892 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (120, 120, 0)$
893 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
894 \newline
895 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
896 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(25,25,0))$
897 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
898 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (25,25,0)$
899 \newline
900 \STATE {//Incrémentation de $ k $ }
901 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 2$
902 \newline
903
904 \STATE {//Troisième itération :}
905 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
906 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (50,50,0) $
907 \newline
908 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
909 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (70, 70, 0)$
910 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
911 \newline
912 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
913 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(12.5,12.5,0))$
914 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
915 \newline
916 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (12.5,12.5,0)$
917 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
918 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 3$
919 \newline
920
921 \STATE {//Quatrième itération :}
922 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
923 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (25,25,0) $
924 \newline
925 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
926 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (45, 45, 0)$
927 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
928 \newline
929 \STATE {//Calcule de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
930 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(6.25,6.25,0))$
931 \newline
932 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
933 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0)$
934 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
935 \newline
936 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 4$
937 \STATE $ $
938 \newline
939
940 \STATE {//Cinquième itération :}
941 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
942 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (12.5,12.5,0) $
943 \newline
944 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
945 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (32.5, 32.5, 0)$
946 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
947 \newline
948 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
949 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(3.125,3.125,0))$
950 \newline
951 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
952 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (3.125,3.125,0)$
953 \newline
954 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
955 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 5$
956 \newline
957
958 \STATE {//Sixième itération :}
959 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
960 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0) $
961 \newline
962 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
963 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (26.25, 26.25, 0)$
964 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
965 \newline
966 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
967 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(1.5625,1.5625,0))$
968 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
969 \newline
970 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (1.5625,1.5625,0)$
971 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
972 \newline
973 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 6$
974 \newline
975
976 \STATE {//Septième itération :}
977 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
978 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (3.125, 3.125, 0) $
979 \newline
980 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
981 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (23.125, 23.125, 0)$
982 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
983 \newline
984 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
985 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.78125,0.78125,0))$
986 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
987 \newline
988 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.78125,0.78125,0)$
989 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
990 \newline
991 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 7$
992 \newline
993
994 \STATE {//Huitième itération :}
995 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
996 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (1.5625, 1.5625, 0) $
997 \newline
998 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
999 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (21.5625, 21.5625, 0)$
1000 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
1001 \newline
1002 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
1003 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.390625,0.390625,0))$
1004 \newline
1005 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
1006 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.390625,0.390625,0)$
1007 \newline
1008 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
1009 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résulat : k = 8$
1010 \newline
1011
1012 \STATE {//Neuvième itération :}
1013 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
1014 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.78125, 0.78125, 0) $
1015 \newline
1016 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
1017 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (20.78125, 20.78125, 0)$
1018 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
1019 \newline
1020 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
1021 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.1953125,0.1953125,0))$
1022 \newline
1023 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
1024 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.1953125,0.1953125,0)$
1025 \newline
1026 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
1027 \STATE $ k \leftarrow k + 1 \hfill //résultat : k = 9$
1028 \newline
1029
1030 \STATE {//Dixième itération :}
1031 \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
1032 \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.390625, 0.390625, 0) $
1033 \newline
1034 \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
1035 \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (20.390625, 20.390625, 0)$
1036 \STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
1037 \newline
1038 \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
1039 \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.097665625,0.097665625,0))$
1040 \newline
1041 \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
1042 \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.097665625,0.097665625,0)$
1043 \newline
1044 \STATE {//Incrémentation de $ k $}
1045 \STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 10$
1046 \newline
1047 \STATE {//Fin de la boucle "while" car nous avons atteint $ k = 10 $, condition mettant fin à la //boucle}
1048 \newline
1049
1050 \ENDWHILE
1051
1052 \end{algorithmic}
1053 % \end{algorithmfloat}
1054\end{algorithm}
1055
1056\bibliographystyle{plain}
1057\bibliography{stdlib_sbphilo}
1058
1059%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
1060
1061\end{document}