1 \documentclass[12pt,oneside,
a4paper]{book
}
10 \usepackage{mathtools
}
12 \usepackage[utf8
]{inputenc}
13 \usepackage[francais
]{babel
}
18 \usepackage[T1]{fontenc}
21 \usepackage{tocbibind
}
24 \usepackage{algorithm2e
}
25 \usepackage{algorithmic
}
28 %%%%%Marges & en-t\^etes
30 \geometry{hmargin=
2.3cm, vmargin=
3cm
}
31 \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
32 \fancyhead[FC
]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
33 \fancyhead[HC
]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
34 \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt
} % filet en haut
35 \addtolength{\headheight}{0.5pt
} % espace pour le filet
36 \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt
} % filet en bas
39 %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions
41 \newtheorem{Def
}{D\'efinition
}
42 \newtheorem{Not
}[Def
]{Notation
}
43 \newtheorem{Th
}{Th\'eor\`eme
}
44 \newtheorem{Prop
}[Th
]{Proposition
}
45 \newtheorem{Cor
}[Th
]{Corollaire
}
46 \newtheorem{Rmq
}{Remarque
}
48 \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
50 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
51 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
55 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
56 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
62 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
63 \includegraphics[scale=
0.5]{polytech.png
}\\
68 \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
69 \large \bf 5ème année\\
74 %\large{Master 2 Professionnel\\
75 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}
77 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\
}
84 \LARGE\textbf {Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS
} \\
86 \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes
} \\
93 \includegraphics[scale=
0.4]{CE.PNG
}\\
100 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\
103 \large {\bf Jérôme
\bsc{Benoit
} et Sylvain
\bsc{Papa
}}\\
107 % \large sous la direction de \\
111 %Eric Audureau et Thierry Masson
117 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
118 \normalsize{Année
2018-
2019}
122 \thispagestyle{empty
}
127 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
128 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
135 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
136 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
139 %%%%%Table des mati\`eres
145 %\includegraphics{logo_fac2}
146 \includegraphics[scale=
0.04]{amu
}
153 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
154 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
161 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
162 \chapter{Introduction générale
}
164 L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS.
166 Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet.
170 \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
}
172 \subsection{Présentation rapide
}
174 La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
176 On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.
178 \subsection{Définition de la problèmatique
}
180 Définissons le problème central $
\mathcal{P
} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
182 Soient $(n, p, q)
\in \mathbb{N
}^
3$, $x
\in \mathbb{R
}^n$, une fonction $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}$.
184 La problèmatique $
\mathcal{P
} $ se définit par :
188 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
196 On définit $
\mathcal{C
} $ l'ensemble des contraintes par :
197 $$
\mathcal{C
} =
\left \
{ x
\in \mathbb{R
}^n \ | \ g(x)
\leq 0 \land h(x) =
0 \right \
} $$
199 Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($
\mathcal{C
} \neq \emptyset $ et $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $ défini dans $
\mathcal{C
} $) ainsi que de construction d'une solution dans $
\mathcal{C
} $.
201 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?
}
203 \subsection{Définition
}
205 La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est l'activité principale de l'optimisation.
207 Si la modélisation de la problèmatique $
\mathcal{P
} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est, elle, une science.
209 \subsection{Quelques définitions annexes
}
211 Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
213 On définit le Lagrangien associé à $
\mathcal{P
} $ par :
214 $$
\begin{array
}{r c l
}
215 L :
\mathbb{R
}^n
\times \mathbb{R
}^q
\times \mathbb{R
}_+^p &
\longrightarrow &
\mathbb{R
} \\
216 (x,
\lambda,
\mu) &
\longmapsto & L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_i h_i(x) +
\sum\limits_{j=
1}^
{p
} \mu_j g_j(x) \\
217 & & L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\langle \lambda,h(x)
\rangle_{\mathbb{R
}^q
} +
\langle \mu,g(x)
\rangle_{\mathbb{R
}^p
}
219 où l’on note $
\lambda $ et $
\mu $ les vecteurs de coordonnées respectives $ (
\lambda_1,
\ldots,
\lambda_q) $ et $ (
\mu_1,
\ldots,
\mu_p) $.
222 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
224 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{intérieur
} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^
\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $
\mathring{A
} $.
227 $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ est un ouvert $
\iff A =
\mathring{A
} $.
230 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
232 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{adhérent
} à $ A $ si et seulement si $
\forall V
\in \mathcal{V
}(x^
\ast) \ A
\cap V
\neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $
\overline{A
} $.
235 $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ est un fermé $
\iff A =
\overline{A
} $.
238 Soient $ f :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $ S
\subset \mathbb{R
}^n $. On définit $
\mathrm{argmin
} $ de $ f $ sur $ S $ par :
239 $$
\underset{x
\in S
}{\mathrm{argmin
}} f(x) = \
{ x
\in \mathbb{R
}^n \ | \ x
\in S
\land \forall y
\in S \ f(y)
\geq f(x) \
} $$
242 Soient une fonction $ f :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
244 On dit que $ f $ est continue en $ x^
\ast $ si
245 $$
\forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\exists \alpha \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\norme{x - x^
\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^
\ast)|
\leq \varepsilon $$
248 Soient $ k
\in \
{ 1,
\ldots,n \
} $ et une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $.
250 On dit que la $ k^
{ième
} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $ si l’application
251 $$ t
\longmapsto f(x^
\ast_1,
\ldots,x^
\ast_{k-
1},x^
\ast_k + t,x^
\ast_{k+
1},
\ldots,x^
\ast_n) $$
252 définie sur un voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
} $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $ est dérivable en $
0 $.
255 $$
\frac{\partial f
}{\partial x_k
}(x^
\ast) $$ ou $$
\partial_k f(x^
\ast) $$
259 Soient une fonction $ f :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $
260 et $ x^
\ast, h
\in \mathbb{R
}^n $.
262 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^
\ast $ si il existe une application linéraire $ d_
{x^
\ast}f $ de $
\mathbb{R
}^n $ dans $
\mathbb{R
} $ telle que
264 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\underset{h
\rightarrow 0}{\mathrm{o
}}(
\norme{h
})
266 Autrement dit il existe une application $
\varepsilon_{x^
\ast} $ définie sur le voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
}^n $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $
267 telle que $
\lim\limits_{h
\rightarrow 0} \varepsilon_{x^
\ast}(h) =
0 $ et
269 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\norme{h
}\varepsilon_{x^
\ast}(h)
271 On appelle $ d_
{x^
\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^
\ast $.
274 On peut démontrer que : $$ d_
{x^
\ast}f =
\sum_{i=
1}^n
\frac{\partial f
}{\partial x_i
}(x^
\ast) $$.
277 Soit une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable.
279 Le gradient de $ f $, noté $
\nabla f$, en $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n$ se définit par :
281 \nabla f(x^
\ast) = (
\frac{\partial f
}{\partial x_1
}(x^
\ast),
\ldots,
\frac{\partial f
}{\partial x_n
}(x^
\ast))
285 $
\forall h
\in \mathbb{R
}^n \ d_
{x^
\ast}f(h) =
\langle \nabla f(x^
\ast),h
\rangle =
\nabla f(x^
\ast)^
\top h $
288 Soit $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ une fonction de classe $
\mathcal{C
}^
2 $.
289 On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^
\ast $ par :
292 \frac{\partial^
2 f
}{\partial x_1^
2}(x^
\ast) &
\cdots &
\frac{\partial^
2 f
}{\partial x_1
\partial x_n
}(x^
\ast) \\
294 \frac{\partial^
2 f
}{\partial x_n
\partial x_1
}(x^
\ast) &
\cdots &
\frac{\partial^
2 f
}{\partial x_n^
2}(x^
\ast)
299 \item $ H
[f
](x^
\ast) $ est une matrice symétrique (Théorème de symétrie de Schwarz).
300 \item On a le développement de Taylor-Young à l'ordre
2 en $ x^
\ast $ suivant :
301 $$ f(x^
\ast + v) = f(x^
\ast) +
\langle \nabla f(x^
\ast),v
\rangle +
\frac{1}{2} v^
\top H
[f
](x^
\ast) v +
\varepsilon(v) $$
303 $$ f(x^
\ast + v) = f(x^
\ast) +
\langle \nabla f(x^
\ast),v
\rangle +
\frac{1}{2} \langle H
[f
](x^
\ast)v,v
\rangle +
\varepsilon(v) $$
304 avec $
\frac{|
\varepsilon(v)|
}{\norme{v
}} \rightarrow 0 $ quand $
\norme{v
} \rightarrow 0 $.
308 Elle repose entièrement sur deux autres théorèmes dont les preuves sont connues et de la réécriture de formulation de résultat.
311 \subsection{Conditions d'existence d'un extremum
}
313 On peut démontrer que $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé de $
\mathbb{R
}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
314 On peut en déduire $
\mathcal{C
} $ est un ensemble fermé et borné de $
\mathbb{R
}^n $.
315 \begin{Th
}[Théorème de Weierstrass
]
316 Soient $
\mathcal{C
} \neq \emptyset \subset \mathbb{R
}^n $ un fermé borné et $ f :
\mathcal{C
} \longrightarrow \mathbb{R
} $ une fonction continue.
318 Alors : $$
\exists x^
\ast \in \mathcal{C
} \
\forall x
\in \mathcal{C
} \ f(x)
\geq f(x^
\ast) $$
319 Autrement dit $ x^
\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
321 De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
323 Si $ J $ est continue, on en déduit que $
\mathcal{P
} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues
\cite{LJK,RON
}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ permet d'explorer l'unicité de la solution
\cite{LJK,RON
}.
325 \subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum
}
327 Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $
\mathcal{C
}^
1 $), la recherche du mimimum consiste à faire des descentes par gradient
[section
\ref{descente
}] de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i =
\displaystyle\min_{x
\in \mathcal{C
}} J(x)
\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\norme{\nabla J(x_i)
} <
\varepsilon $, $ i
\in \mathbb{N
} $
\cite{FEA
}.
329 On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^
\ast \in \mathring{\mathcal{C
}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $
\nabla J(x^
\ast) =
0 $. Mais si $ x^
\ast \in \overline{\mathcal{C
}}\setminus\mathring{\mathcal{C
}} $ (la frontière de $
\mathcal{C
} $) alors $
\nabla J(x^
\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum local
\cite{FEA,WAL
}.
331 \subsubsection{Conditions nécessaires de Karuch-Kuhn-Tucker ou
\textit{KKT
}}\label{KKT
}
334 Soient $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $, $ I = \
{ 1,
\ldots,p \
} $ et $ J = \
{ 1,
\ldots,q \
} $.
336 Les conditions nécessaires pour que $ x^
\ast \in \mathcal{C
}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
339 \centerline{$ \
{ \nabla g_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla g_p(x^
\ast),
\nabla h_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla h_q(x^
\ast) \
} $ sont linéairement indépendants.
}
343 $$
\forall i
\in I \
\exists \mu_i \in \mathbb{R
}_
{+
} \land \forall j
\in J \
\exists \lambda_j \in \mathbb{R
} \
\nabla J(x^
\ast) +
\sum_{i
\in I
}\mu_i{\nabla g_i(x^
\ast)
} +
\sum_{j
\in J
}\lambda_j{\nabla h_j(x^
\ast)
} =
0 \land \forall i
\in I \
\mu_i \nabla g_i(x^
\ast) =
0 $$
344 On appelle $ (
\mu_i)_
{i
\in I
}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (
\lambda_j)_
{j
\in J
}$ les multiplicateurs de Lagrange.
346 On nomme également les conditions
\textit{KTT
} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
349 Elle repose sur le lemme de Farkas
\cite{FEA,RON
}.
351 Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\forall i
\in \
{ 1,
\ldots,q \
} \ h_i(x) =
0 \iff h_i(x)
\leq 0 \land h_i(x)
\geq 0 $
\cite{FEA
}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $
\mathcal{P
} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions
\textit{KKT
} à vérifier mais rajoute $
2q $ conditions d'inégalités et donc $
2q $ multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
353 On appelle un point admissible $ x^
\ast \in \mathcal{C
} $ un point critique de $
\mathcal{P
} $ si il statisfait les conditions
\textit{KKT
}.
356 \subsubsection{Conditions suffisantes du deuxième ordre
}
359 Les conditions suffisantes en plus de celles
\textit{KKT
} pour que $ x^
\ast \in \mathcal{C
} $ soit un minimum local de $ J $ sont :
360 \begin{enumerate
}[label=(
\roman*)
]
361 \item relâchement complémentaire dual
\footnote{La définition de cette notion ne sera pas donnée car elle n'est pas nécessaire pour l'étude de la méthode PQS.
} strict en $ x^
\ast $.
362 \item $
\forall v
\in \mathbb{R
}^n
\land v
\neq 0 \
\langle H_x
[L
](x^
\ast,
\lambda,
\mu)v,v
\rangle >
0 $.
366 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
368 \chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle
}
370 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS.
374 \section{Methode de descente
}\label{descente
}
376 Nous supposons que le domaine des contraintes de $
\mathcal{P
} $ est un ouvert de $
\mathbb{R
}^n $ (c'est à dire que nous n'avons pas de contraintes) et $ J $ est une fonction définie sur $
\mathbb{R
}^n $ à valeurs réelles supposée différentiable, voire même deux fois différentiable. Les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre expriment le fait qu’il n’est pas possible de “descendre” à partir d’un point de minimum (local ou global). Cette observation va servir de point de départ à l’élaboration des méthodes dites de descente.
378 Partant d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ de $
\mathbb{R
}^n $ définie par :
379 $$ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
},d_k
\in \mathbb{R
}^n $ et avec
380 $$
\forall k
\in \mathbb{N
} \ J(x_
{k+
1})
\leq J(x_k) $$
381 Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée
\textit{recherche linéaire
}.
383 \subsection{Définition d'une direction de descente
}
385 Un vecteur $ d
\in \mathbb{R
}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ si $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ est strictement décroissante en $ t =
0 $, c’est-à-dire :
386 $$
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
387 Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines directions.
389 Soient $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable et $ d
\in \mathbb{R
}^n $.
391 d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ ssi :
392 $$
\nabla J(x_0)^
\top d <
0 $$
394 $$
\forall \beta <
1 \in \mathbb{R
}_
{+
} \
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t
\beta \nabla J(x_0)^
\top d < J(x_0) $$
397 Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre
1.
399 Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $, est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :
403 ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
405 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire.
407 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème : $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $.
410 \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
412 \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $
\nabla J(x_k)^
\top d_k <
0 $.
413 \item \textit{Recherche linéaire
} : Choisir un pas $ s_k >
0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$
414 \item Mise à jour : $ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k; \ k := k +
1 $.
416 \item Retourner $ x_k $.
421 \subsection{Choix de la direction de descente
}
423 Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de descente :
425 \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -
\nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes de gradient
}.
426 \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes Newtoniens
}.
428 Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($
\iff \nabla J(x_k) =
0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas étudiées dans le cadre de ce projet.
430 \subsection{Critère d’arrêt
}
432 Soit $ x^
\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^
\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,
\ldots,x_k,
\ldots $ de points de $
\mathbb{R
}^n $ qui converge vers $ x^
\ast $.
434 En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^
\ast $.
436 Soit $
\varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable sans contrainte, on testera si
437 $$
\norme{\nabla J(x_k)
} <
\varepsilon, $$
438 auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.
440 En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à d’autres critères fondés sur l’expérience du numérique :
442 \item Stagnation de la solution : $
\norme{x_
{k+
1} - x_k
} <
\varepsilon(
1 +
\norme{x_k
}) $.
443 \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_
{k+
1}) - J(x_k)| <
\varepsilon(
1 + |J (x_k)|) $.
444 \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
446 et généralement une combinaison de ces critères :
451 Test d’optimalité satisfait \\
452 OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
453 OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
456 \subsection{La recherche linéaire
}
458 Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
460 Soit $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s >
0 $ de sorte que :
461 $$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
462 Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.
466 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_
{k-
1} $
472 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $
\displaystyle\min_{s
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
}} J(x_k + sd_k) $
476 Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont acceptables et ceux qui ne le sont pas.
478 On appelle $
\varphi : s
\in \mathbb{R
} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
481 Dans le cas où $ J $ est différentiable sur $
\mathcal{C
} $, on dit que un algorithme de descente converge ssi
482 $$
\forall x_0
\in \mathbb{R
}^n
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
485 \subsubsection{Principe de démonstration de convergence
}
487 Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence globale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du type :
488 $$ J(x_k) - J(x_
{k+
1})
\geq c
\norme{\nabla J(x_k)
}^
2, $$
489 où $ c $ est une constante réelle.
491 En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $
0 $ à $ N -
1 $, on obtient :
492 $$
\forall N
\in \mathbb{N
} \ J(x_0) - J(x_N)
\geq c
\sum_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2 $$
493 Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (
\sum\limits_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2)_
{N
\in \mathbb{N
}} $ converge, ce qui implique :
494 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
496 On considère $ (x_n)_
{n
\in \mathbb{N
}} $, la suite des itérés donnés par un algorithme convergent. On note $ x^
\ast $ la limite de la suite $ (x_n)_
{n
\in \mathbb{N
}} $ et on suppose que $ x_k
\neq x^
\ast $, pour tout $ k
\in \mathbb{N
} $. La convergence de l’algorithme est alors dite :
498 \item linéaire si l'erreur décroît linéairement i.e. :
499 $$
\exists \tau \in ]0,
1[ \
\lim_{k
\rightarrow +
\infty} \frac{\norme{x_
{k+
1} - x^
\ast}}{\norme{x_k - x^
\ast}} =
\tau $$
500 \item superlinéaire si :
501 $$
\lim_{k
\rightarrow +
\infty} \frac{\norme{x_
{k+
1} - x^
\ast}}{\norme{x_k - x^
\ast}} =
0 $$
502 \item d'ordre $ p $ si :
503 $$
\exists \tau \geq 0 \
\lim_{k
\rightarrow +
\infty} \frac{\norme{x_
{k+
1} - x^
\ast}}{\norme{x_k - x^
\ast}^p
} =
\tau $$
504 En particulier, si $ p =
2 $, la convergence est dite quadratique.
507 L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $
\varphi $ ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.
509 \section{Méthode Newtonienne
}
511 Les hypothèses sur $
\mathcal{P
} $ de la section précédente restent les mêmes dans cette section. L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) =
0 $. En optimisation sans contrainte, l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
512 $$
\nabla J(x) =
0, $$
513 autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
515 En supposant $ J $ de classe $
\mathcal{C
}^
2 $ et la matrice hessienne $ H
[J
](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
516 $$ x_
{k+
1} = x_k - H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
517 où $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
518 $$
\underset{d
\in \mathbb{R
}^n
}{\mathrm{argmin
}} \ J(x_k) +
\langle \nabla J(x_k),d
\rangle +
\frac{1}{2}\langle H
[J
](x_k)d,d
\rangle $$
519 Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
520 À condition que la matrice $ H
[J
](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $
1 $.
522 Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
524 \begin{tabular
}{|p
{20em
}|p
{20em
}|
}
526 Avantages & Inconvénients \\
528 sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par
2 à chaque itération). & \\
530 & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H
[J
](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\
532 & le coût de résolution du système linéaire $ H
[J
](x_k )(x_
{k+
1} - x_k) =
\nabla J(x_k) $. \\
534 & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
536 & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
540 La question que l’on se pose est donc : comment forcer la convergence globale de l’algorithme de Newton ? L’idée des méthodes de type Newton consiste à reprendre l’algorithme de Newton en remplaçant les itérations par :
541 $$ x_
{k+
1} = x_k - s_k H_k^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
544 \item la matrice $ H_k $ est une approximation de la hessienne $ H
[J
](x_k) $.
545 \item $ s_k >
0 $ est le pas calculé par une recherche linéaire bien choisie.
547 Plusieurs questions se posent alors :
549 \item Comment déterminer une matrice $ H_k $ qui soit une “bonne” approximation de la hessienne à l’itération $ k $ sans utiliser les informations de second ordre et garantir que $ H_k^
{-
1} \nabla J(x_k) $ soit bien une direction de descente de $ J $ en $ x_k $, sachant que la direction de Newton, si elle existe, n’en est pas nécessairement une ?
550 \item Comment conserver les bonnes propriétés de l’algorithme de Newton ?
552 Nous ne répondrons pas à ces questions qui sont hors du cadre de ce projet. Cette section permet d'introduire certains prérequis pour l'étude de la méthode PQS et de rendre compte de sa filiation.
554 \section{Méthode PQS (ou SQP)
}
556 Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $
\mathcal{C
}^
1 $. Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste à déterminer un point optimal $ x^
\ast $ et des multiplicateurs associés $ (
\lambda^
\ast,
\mu^
\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^
\ast $, les multiplicateurs $ (
\lambda,
\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^
\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche des multiplicateurs en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par
\textit{dualité
}.
558 \subsection{Problème quadratique sous contraintes linéaires
}
560 Nous introduisons les différentes approches développées pour la résolution des problèmes de programmation quadratique avec contraintes d'égalités et d’inégalités linéaires.
562 Ce type de problème quadratique se pose sous la forme :
564 \mathcal{PQ
} \left \
{
566 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} c^
\top x +
\frac{1}{2} x^
\top \mathcal{Q
} x \\
567 A^
\top x + b
\leq 0 \\
568 A^
{\prime^
\top} x + b^
\prime =
0
572 où $$
\mathcal{Q
} \in \mathcal{M
}_n(
\mathbb{R
}) \ symétrique, c
\in \mathbb{R
}^n, A
\in \mathcal{M
}_
{n,p
}(
\mathbb{R
}), b
\in \mathbb{R
}^p, A^
\prime \in \mathcal{M
}_
{n,q
}(
\mathbb{R
}), b^
\prime \in \mathbb{R
}^q $$
574 $$ A^
{\prime^
\top} x + b^
\prime =
0 \iff A^
{\prime^
\top} x + b^
\prime \leq 0 \land -A^
{\prime^
\top} x - b^
\prime \leq 0 $$
575 Donc le problème se ramène à :
577 \subsubsection{Algorithme
1}
579 \subsubsection{Algorithme
2}
581 \subsection{Algorithmes Newtoniens
}
583 Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $
1 $. Ces algorithmes sont
\textit{primaux-duaux
} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_
{k
\in \mathbb{N
}} $ convergeant vers une solution $
\overline{x
} $ du problème considéré, et une suite duale $ (
\lambda_k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ (resp. $ ((
\lambda_k,
\mu_k))_
{k
\in \mathbb{N
}} $) de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $
\overline{\lambda} $ (resp. $ (
\overline{\lambda},
\overline{\mu})) $ associé à $
\overline{x
} $.
585 \subsection{Algorithme PQS
}
587 \subsubsection{Contraintes d’égalité
}
589 Considérons un problème d’optimisation différentiable $
\mathcal{P
} $ avec contraintes d’égalité :
593 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
598 où $ J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ sont supposées au moins différentiables.
600 Les conditions d’optimalité de Lagrange (ou
\textit{KKT
}) s’écrivent :
601 $$
\nabla J(x) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_i \nabla h_i(x) =
0 \iff \nabla L(x,
\lambda) =
0 $$
602 donc $
\mathcal{P
} $ devient :
604 \nabla J(x) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_i \nabla h_i(x) \\
606 \end {pmatrix
} =
0 $$
607 Pour résoudre ce système d’équations, utilisons la méthode de Newton dont une itération s’écrit ici :
608 $$ H
[L
](x_k,
\lambda_k)
\begin{pmatrix
}
610 \lambda_{k+
1} -
\lambda_k
611 \end{pmatrix
} = -
\nabla L(x_k,
\lambda_k) $$
614 H_x
[L
](x_k,
\lambda_k) & D_h(x_k)^
\top \\
616 \end{pmatrix
} \begin{pmatrix
}
618 \lambda_{k+
1} -
\lambda_k
619 \end{pmatrix
} = -
\begin{pmatrix
}
620 \nabla_x L(x_k,
\lambda_k) \\
623 où $ D_h(x) $ désigne la matrice jacobienne de l’application $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ définie par :
624 $$ D_h(x)^
\top =
\begin{bmatrix
} \nabla h_1(x)^
\top\ldots\nabla h_q(x)^
\top \end{bmatrix
} $$
625 Posons : $ H_k = H_x
[L
](x_k,
\lambda_k), \ d = x_
{k+
1} - x_k $ et $
\mu =
\lambda_{k+
1} $. L'itération s'écrit donc :
627 H_k & D_h(x_k)^
\top \\
629 \end{pmatrix
} \begin{pmatrix
}
632 \end{pmatrix
} = -
\begin{pmatrix
}
633 \nabla_x L(x_k,
\lambda_k) \\
636 et est bien définie à condition que la matrice $ H_x
[L
](x_k,
\lambda_k) $ soit inversible. Ce sera le cas si :
637 \begin{enumerate
}[label=(
\roman*)
]
638 \item Les colonnes $
\nabla h_1(x_k)^
\top,
\ldots,
\nabla h_q(x_k)^
\top $ de $ D_h(x_k)^
\top $ sont linéairement indépendants : c’est la condition première de
\textit{KTT
} ou condition de qualification des contraintes.
639 \item Quel que soit $ d
\neq 0 $ tel que $ D_h(x_k)d =
0, \ d^
\top H_k d >
0 $ : c’est la condition suffisante d’optimalité du second ordre dans le cas de contraintes d’égalité.
641 Revenons à l’itération. Elle s’écrit encore :
645 H_kd +
\sum\limits_{i=
1}^q(
\mu_i -
\lambda_{k_i
})
\nabla h_i(x_k) & = & -
\nabla_x L(x_k,
\lambda_k) \\
646 \nabla h_i(x_k)^
\top d + h_i(x_k) & = &
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
650 Or $
\nabla_x L(x_k,
\lambda_k) =
\nabla J(x_k) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_{k_i
} \nabla h_i(x_k) $, d'où :
654 H_kd +
\sum\limits_{i=
1}^q
\mu_i\nabla h_i(x_k) & = & -
\nabla J(x_k) \\
655 \nabla h_i(x_k)^
\top d + h_i(x_k) & = &
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
659 On reconnait dans le système ci-dessus les conditions d’optimalité de Lagrange du problème quadratique suivant :
661 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
663 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
664 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
668 Le problème $
\mathcal{PQ
}_k $ peut être vu comme la minimisation d’une approximation quadratique du Lagrangien de $
\mathcal{P
} $ avec une approximation linéaire des contraintes.
670 Comme son nom l’indique, la méthode PQS consiste à remplacer le problème initial par une suite de problèmes quadratiques sous contraintes linéaires plus faciles à résoudre. L’algorithme est le suivant :
674 ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ.
676 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ différentiables, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire, $
\lambda_0 \in \mathbb{R
}^q $ multiplicateur initial, $
\varepsilon >
0 $ précision demandée.
678 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème $
\mathcal{P
} $.
681 \item Tant que $
\norme{\nabla L(x_k,
\lambda_k)
} >
\varepsilon $,
683 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
685 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
687 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
688 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
692 et obtenir la solution primale $ d_k $ et le multiplicateur $
\lambda^
{\prime} $ associé à la contrainte d’égalité.
693 \item $ x_
{k+
1} = x_k + d_k; \
\lambda_{k+
1} =
\lambda^
{\prime}; \ k := k +
1 $.
695 \item Retourner $ x_k $.
700 \subsubsection{Contraintes d’inégalité
}
702 Intéressons nous maintenant aux problèmes avec contraintes d’égalité et d’inégalité :
706 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
712 où $ J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$ et $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ sont supposées au moins différentiables.
714 Selon le même principe qu’avec contraintes d’égalité seules, on linéarise les contraintes et on utilise une approximation quadratique du Lagrangien à l'aide de développements de Taylor-Young en $ x_k $ et $ (x_k,
\lambda_k,
\mu_k) $ respectivement :
715 $$ L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\lambda^
\top g(x) +
\mu^
\top h(x), \
\lambda \in \mathbb{R
}_+^p
\land \mu \in \mathbb{R
}^q $$
716 Soit à l'ordre
2 pour le Lagrangien :
717 $$ L(x,
\lambda,
\mu)
\approx L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k) +
\nabla L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k)^
\top (x - x_k) +
\frac{1}{2} (x - x_k)^
\top H
[L
](x_k,
\lambda_k,
\mu_k) (x - x_k) $$
718 et à l'ordre
1 pour les contraintes :
719 $$ g(x)
\approx g(x_k) +
\nabla g(x_k)^
\top(x - x_k) $$
720 $$ h(x)
\approx h(x_k) +
\nabla h(x_k)^
\top(x - x_k) $$
721 En posant $ d = x - x_k $ et $ H_k = H
[L
](x_k,
\lambda_k,
\mu_k) $, on obtient le sous problème quadratique $
\mathcal{PQ
}_k $ :
725 ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INEGALITÉ.
727 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$, $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ différentiables, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire, $
\lambda_0 \in \mathbb{R
}_+^p $ et $
\mu_0 \in \mathbb{R
}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $
\varepsilon >
0 $ précision demandée.
729 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème $
\mathcal{P
} $.
732 \item Tant que $
\norme{\nabla L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k)
} >
\varepsilon $,
734 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
736 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
738 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
739 g_j(x_k) +
\nabla g_j(x_k)^
\top d
\leq 0 \\, \
\forall j
\in \
{1,
\ldots,p\
} \\
740 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
744 et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $
\lambda^
{\prime} $ et $
\mu^
{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement.
745 \item $ x_
{k+
1} = x_k + d_k; \
\lambda_{k+
1} =
\lambda^
{\prime}; \
\mu_{k+
1} =
\mu^
{\prime}; \ k := k +
1 $.
747 \item Retourner $ x_k $.
752 Afin que le sous-programme quadratique $
\mathcal{PQ
}_k $ admette une unique solution, la plupart des implémentations actuelles de PQS utilisent une approximation du hessien $ H_k $ du Lagrangien qui soit définie positive, en particulier celle fournie par les techniques quasi-newtonienne (BFGS) par exemple.
754 Etant une méthode newtonienne, l’algorithme PQS converge localement quadratiquement pourvu que les points initiaux $ (x_0,
\lambda_0 ) $ (resp. $ (x_0,
\lambda_0,
\mu_0) $) soient dans un voisinage d’un point stationnaire $
\overline{x
} $ et de ses multiplicateurs associés $
\overline{\lambda} $ (resp. $ (
\overline{\lambda},
\overline{\mu}) $). Bien entendu, il est possible de globaliser l’algorithme en ajoutant une étape de recherche linéaire.
756 \subsection{Stratégie d'approximation de la hessienne
}
758 \subsubsection{Équation de sécante et approximation
}
760 L'approximation $ H_k $ de la hessienne du Lagrangien peut être obtenu par la relation :
761 $$
\nabla L(x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1}) -
\nabla L(x_
{k
},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1})
\approx H
[L
](x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1})(x_
{k+
1} - x_k) $$
762 On construit une approximation $ H_
{k+
1} $ de $ H
[L
](x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1}) $ comme solution de l’équation :
763 $$ H_
{k+
1}(x_
{k+
1} - x_k) =
\nabla L(x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1}) -
\nabla L(x_
{k
},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1}) $$
764 appelée équation de sécante ou équation de quasi-Newton.
766 De façon similaire, on peut construire une approximation $ B_
{k+
1} $ de $ H
[L
](x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1})^
{-
1} $ comme solution de l’équation :
767 $$ B_
{k+
1}(
\nabla L(x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1}) -
\nabla L(x_
{k
},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1})) = x_
{k+
1} - x_k $$
768 Dans les deux cas, les équations de quasi-Newton forment un système sous-déterminé à $ n $ équations et $ n^
2 $ inconnues. Il existe donc une infinité de matrices $ H_
{k+
1} $ pouvant convenir.
770 Une stratégie commune est de calculer $ (x_
{k+
1},
\lambda_{k+
1},
\mu_{k+
1}) $ pour une matrice $ H_k $ donnée et faire une mise à jour de $ H_k $ de rang
1 ou
2 :
771 $$ H_
{k+
1} = H_k + U_k $$
773 \subsubsection{Mises à jour DFP et BFGS
}
775 \subsection{Exemple d'utilisation de PQS
}
777 Considérons le problème $
\mathcal{P
} $ suivant :
781 \displaystyle\min_{(x,y,z)
\in \mathbb{R
}^
3} J(x,y,z) = x^
2 + y^
2 + z^
2 -r^
2 \\
782 g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^
2 + y^
2 - r_1^
2, x^
2 + z^
2 -r_2^
2)
\leq 0 \\
786 où $$ (r,r_1,r_2)
\in \mathbb{R
}_+^
3. $$
787 \textit{Entrées
} : $ J $ et $ g $ de classe $
\mathcal{C
}^
2 $, $
\varepsilon =
0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (
\lambda_{0_1
},
\lambda_{0_2
}) = $ multiplicateur initial.
789 Le Lagrangien $ L $ de $
\mathcal{P
} $ : $$ L((x,y,z),(
\lambda_1,
\lambda_2)) = x^
2 + y^
2 + z^
2 -r^
2 +
\lambda_1(x^
2 + y^
2 - r_1^
2) +
\lambda_2(x^
2 + z^
2 -r_2^
2). $$
791 Le gradient de $ J $ : $$
\nabla J(x,y,z) = (
\frac{\partial J
}{\partial x
}(x,y,z),
\frac{\partial J
}{\partial y
}(x,y,z),
\frac{\partial J
}{\partial z
}(x,y,z)) = (
2x,
2y,
2z). $$
793 Le gradient de $ g $ : $$
\nabla g(x,y,z) = (
\nabla g_1(x,y,z),
\nabla g_2(x,y,z)) $$
794 $$ = ((
\frac{\partial g_1
}{\partial x
}(x,y,z),
\frac{\partial g_1
}{\partial y
}(x,y,z),
\frac{\partial g_1
}{\partial z
}(x,y,z)),(
\frac{\partial g_2
}{\partial x
}(x,y,z),
\frac{\partial g_2
}{\partial y
}(x,y,z),
\frac{\partial g_2
}{\partial z
}(x,y,z)) $$
795 $$ = ((
2x,
2y,
0),(
2x,
0,
2z)). $$
797 Le gradient du Lagrangien $ L $ :
798 $$
\nabla L((x,y,z),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x,y,z) +
\lambda_1 \nabla g_1(x,y,z) +
\lambda_2 \nabla g_2(x,y,z)) $$
800 La matrice hessienne de $ J $ : $$ H
[J
](x,y,z) =
802 \frac{\partial^
2 J
}{\partial^
2 x
}(x,y,z) &
\frac{\partial^
2 J
}{\partial x
\partial y
}(x,y,z) &
\frac{\partial^
2 J
}{\partial x
\partial z
}(x,y,z) \\
803 \frac{\partial^
2 J
}{\partial y
\partial x
}(x,y,z) &
\frac{\partial^
2 J
}{\partial^
2 y
}(x,y,z) &
\frac{\partial^
2 J
}{\partial y
\partial z
}(x,y,z) \\
804 \frac{\partial^
2 J
}{\partial z
\partial x
}(x,y,z) &
\frac{\partial^
2 J
}{\partial z
\partial y
}(x,y,z) &
\frac{\partial^
2 J
}{\partial^
2 z
}(x,y,z) \\
810 \end{pmatrix
} =
2Id_
{\mathbb{R
}^
3} $$
811 On en déduit que $ H
[J
](x,y,z) $ est inversible et que $ H
[J
](x,y,z)^
{-
1} =
\frac{1}{2}Id_
{\mathbb{R
}^
3} $.
815 \subsection{Trace d'éxécution de PQS
}
817 Utilisons le problème $
\mathcal{P
} $ précédent :
822 \displaystyle\min_{(x,y,z)
\in \mathbb{R
}^
3} J(x,y,z) = x^
2 + y^
2 + z^
2 -r^
2 \\
823 g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^
2 + y^
2 - r_1^
2, x^
2 + z^
2 -r_2^
2)
\leq 0 \\
827 où $$ (r,r_1,r_2)
\in \mathbb{R
}_+^
3. $$
828 \textit{Entrées
} : $ J $ et $ g $ de classe $
\mathcal{C
}^
2 $, $
\varepsilon =
0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (
100,
100 ,
0)$ et $(
\lambda_{0_1
},
\lambda_{0_2
}) = (
1 ,
1)$, les rayons : $r=
100$ et $r1 = r2 =
10$.
830 Le Lagrangien $ L $ de $
\mathcal{P
} $ : $$ L((x,y,z),(
\lambda_1,
\lambda_2)) = x^
2 + y^
2 + z^
2 -r^
2 +
\lambda_1(x^
2 + y^
2 - r_1^
2) +
\lambda_2(x^
2 + z^
2 -r_2^
2). $$
832 Le Lagrangien $ L $ de $
\mathcal{P
} $ avec les valeurs :
833 $ L((
100,
100,
0),(
1,
1)) =
100^
2 +
100^
2 +
0^
2 -
100^
2 +
1 * (
100^
2 +
100^
2 -
10^
2) +
\lambda_2(
100^
2 +
100^
2 -
10^
2). $
834 $ L((
100,
100,
0),(
1,
1)) =
1000 +
1000 -
1000 + (
1000 +
1000 -
100) + (
1000 +
1000 -
100). $
835 $ L((
100,
100,
0),(
1,
1)) =
4800. $
838 \begin{algorithmfloat
}[#Algo
1]
839 \caption {Trace d'éxécution du PQS du problème $
\mathcal{P
} $
}
841 \REQUIRE $g(x_0,y_0,z_0)
\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (
10,
10 ,
10)$
842 \ENSURE $
\min_{(x,y,z)
\in \mathbb{R
}^
3} J(x,y,z) = x^
2 + y^
2 + z^
2 -r^
2$ and
\newline $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^
2 + y^
2 - r_1^
2, x^
2 + z^
2 -r_2^
2)
\leq 0 $
843 \STATE \textbf{Data :
}
844 \STATE $k
\leftarrow 0, (x_k, y_k, z_k)
\leftarrow (
100,
100,
0), r
\leftarrow 100$
845 \STATE $r_1 = r2
\leftarrow 10,
\varepsilon \leftarrow 0.01$
846 \STATE $
\lambda_1 =
\lambda_2 =
1$
847 \STATE $ H
[J
](x,y,z)^
{-
1}\leftarrow \begin{pmatrix
}
850 0 &
0 &
0.5 \\
\end{pmatrix
} $
853 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
854 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
100,
100,
0) $
856 \STATE {//calcule des deux sous partie de du gradient de $ g $:
}
857 \STATE $
\nabla g_1(x_a,y_a,z_a) = ((
2x_a,
2y_a,
0)$
\hfill $ //résultat : (
20,
20,
0)$
858 \STATE $
\nabla g_2(x_a,y_a,z_a) = (
2x_a,
0,
2z_a))$
\hfill $ //résultat : (
20,
0,
20)$
859 \STATE $
\nabla g(x_k,y_k,z_k) = (
\nabla g_1(x_k,y_k,z_k),
\nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
861 \WHILE{$ (
\norme{\nabla L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k)
} >
\varepsilon $ or k $
\leq 10)$
}
863 \STATE { //première itération :
}
865 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
866 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
220,
220,
40)$
867 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) = (x_L , y_L, z_L) $
869 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
870 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
50,
50,
0))$
872 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
873 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
50,
50,
0)$
875 \STATE {//Incrémentation de k
}
876 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
1$
879 \STATE {//Deuxième itération :
}
880 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
881 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
100,
100,
0) $
883 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
884 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
120,
120,
0)$
885 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
887 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
888 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
25,
25,
0))$
889 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
890 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
25,
25,
0)$
892 \STATE {//Incrémentation de k
}
893 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
2$
896 \STATE {//Troisième itération :
}
897 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
898 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
50,
50,
0) $
900 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
901 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
70,
70,
0)$
902 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
904 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
905 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
12.5,
12.5,
0))$
906 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
908 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
12.5,
12.5,
0)$
909 \STATE {//Incrémentation de k
}
910 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
3$
913 \STATE {//Quatrième itération :
}
914 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
915 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
25,
25,
0) $
917 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
918 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
45,
45,
0)$
919 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
921 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
922 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
6.25,
6.25,
0))$
924 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
925 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
6.25,
6.25,
0)$
926 \STATE {//Incrémentation de k
}
928 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
4$
931 \STATE {//Cinquième itération :
}
932 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
933 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
12.5,
12.5,
0) $
935 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
936 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
32.5,
32.5,
0)$
937 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
939 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
940 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
3.125,
3.125,
0))$
942 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
943 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
3.125,
3.125,
0)$
945 \STATE {//Incrémentation de k
}
946 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
5$
949 \STATE {//Sixième itération :
}
950 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
951 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
6.25,
6.25,
0) $
953 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
954 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
26.25,
26.25,
0)$
955 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
957 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
958 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
1.5625,
1.5625,
0))$
959 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
961 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
1.5625,
1.5625,
0)$
962 \STATE {//Incrémentation de k
}
964 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
6$
967 \STATE {//Septième itération :
}
968 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
969 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
3.125,
3.125,
0) $
971 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
972 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
23.125,
23.125,
0)$
973 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
975 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
976 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
0.78125,
0.78125,
0))$
977 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
979 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
0.78125,
0.78125,
0)$
980 \STATE {//Incrémentation de k
}
982 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
7$
985 \STATE {//Huitième itération :
}
986 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
987 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
1.5625,
1.5625,
0) $
989 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
990 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
21.5625,
21.5625,
0)$
991 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
993 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
994 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
0.390625,
0.390625,
0))$
996 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
997 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
0.390625,
0.390625,
0)$
999 \STATE {//Incrémentation de k
}
1000 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
8$
1003 \STATE {//neuvième itération :
}
1004 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
1005 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
0.78125,
0.78125,
0) $
1007 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
1008 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
20.78125,
20.78125,
0)$
1009 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
1011 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
1012 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
0.1953125,
0.1953125,
0))$
1014 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
1015 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
0.1953125,
0.1953125,
0)$
1017 \STATE {//Incrémentation de k
}
1018 \STATE $ k
\leftarrow k+
1 \hfill //k =
9$
1021 \STATE {//Dixième itération :
}
1022 \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :
}
1023 \STATE $
\nabla J(x,y,z) = (
2x_k,
2y_k,
2z_k)$
\hfill $ // résultat : (
0.390625,
0.390625,
0) $
1025 \STATE {//Calcule du gradient de $ L $ :
}
1026 \STATE $
\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2)) =
\nabla J(x_k,y_k,z_k) +
\lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) +
\lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $
\hfill $// résultat : (
20.390625,
20.390625,
0)$
1027 \STATE $
\varepsilon _1 =
\norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(
\lambda_1,
\lambda_2))
}$
1029 \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) :
}
1030 \STATE $ d_k = -H
[J
](x,y,z)^
{-
1}* J(x,y,z)$
\hfill $ //résultat : (-(
0.097665625,
0.097665625,
0))$
1032 \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées
}
1033 \STATE $ (x_
{k+
1},y_
{k+
1},z_
{k+
1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $
\hfill $ //résultat : (
0.097665625,
0.097665625,
0)$
1035 \STATE {//Incrémentation de k
}
1036 \STATE $ k
\leftarrow k+
1$
\hfill $ //k =
10$
1038 \STATE {// Fin de la boucle "while" car nous avons atteint k =
10, condition mettant fin à la //boucle
}
1044 \end{algorithmfloat
}
1049 \bibliographystyle{plain
}
1050 \bibliography{stdlib_sbphilo
}
1052 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%