-Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), une condition suffisante et nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums local ou global est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $.
-\newline
-Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.
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-% Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
-% Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.
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-%{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème édition, puf, 2000, \cite{Mavr};
-%ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}.
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-\chapter{Méthodes de programmation quadratique séquentielle}
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-% \section{Cahier des charges}
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-% Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera
-% à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe).
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-% \vspace{.5em}
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-% Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée
-% (citations en note de bas de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...).
-% Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document).
-% L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances.
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-% \vspace{.5em}
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-% Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance
-% et d'objectivité scientifique. Le document ne devra pas excéder 10 pages.
-% On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document.
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-% \section{Proposition de sujets}
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-% \subsection{Analyse numérique}
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-% 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires).
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-% 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables.
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-% 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc....
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-% \vspace{.5em}
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-\section{Optimisation}
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-% \subsubsection{Optimisation sans contrainte}
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-% {\bf A- Algorithmes déterministes}
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-% 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés).
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-% 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal).
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-% \vspace{.5em}
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-% 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema.
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-% 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général)
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-% 5) Méthode de relaxation
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-% {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques}
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-% 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov)
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-% 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis)
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-\subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes}
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-% 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) .
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-% \vspace{.5em}
-%
-% 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT).
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-% \vspace{.5em}
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-% 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité,
-% méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation,
-% méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming),
-% méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc...
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-% \vspace{.5em}
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-% \subsection{Recherche opérationnelle}
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-% \vspace{.5em}
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-% \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)}
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-% 1) Méthode d'énumération.
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-% 2) Méthode du simplexe.
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-% 3) Application à des problèmes de R.O:
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-% \vspace{.5em}
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-% \hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}.
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-% \vspace{.5em}
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-% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
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-% \vspace{.5em}
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-% \hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice?
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-% \vspace{.5em}
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-% \hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant :
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-% \vspace{.5em}
-%
-% \begin{center}
-% $
-% \begin{array}{|c|c|c|c|}
-% \hline
-% Atelier & A & B & C \\
-% \hline
-% Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\
-% \hline
-% Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\
-% \hline
-% \end{array}
-% $
-% \end{center}
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-% \vspace{.5em}
-%
-% Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines.
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-% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
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-% \vspace{.5em}
-%
-% \hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique?
-%
-% \vspace{.5em}
-
-\bibliographystyle{plain}
-\bibliography{stdlib_sbphilo}
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-
-\end{document}
+\begin{Def}
+ Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ un fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $.
+ On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^\ast $ par :
+ $$ H[f](x^\ast) =
+ \begin{pmatrix}
+ \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x^\ast) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x^\ast) \\
+ \vdots & & \vdots \\
+ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x^\ast) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(x^\ast)
+ \end{pmatrix} $$
+\end{Def}
+\begin{Prop}
+ \begin{enumerate}
+ \item $ H[f](x^\ast) $ est une matrice symétrique (Théorème de symétrie de Schwarz).
+ \item On a le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 en $ x^\ast $ suivant :
+ $$ f(x^\ast + v) = f(x^\ast) + \langle \nabla f(x^\ast),v \rangle + \frac{1}{2} v^\top H[f](x^\ast) v + \varepsilon(v) $$
+ ou
+ $$ f(x^\ast + v) = f(x^\ast) + \langle \nabla f(x^\ast),v \rangle + \frac{1}{2} \langle H[f](x^\ast)v,v \rangle + \varepsilon(v) $$
+ avec $ \frac{|\varepsilon(v)|}{\norme{v}} \rightarrow 0 $ quand $ \norme{v} \rightarrow 0 $.
+ \end{enumerate}
+\end{Prop}
+\begin{proof}
+ Elle repose entièrement sur deux autres théorèmes dont les preuves sont connues et de la réécriture de formulation de résultat.
+\end{proof}
+
+\subsection{Conditions d'existence d'un extremum}
+
+On peut démontrer que $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
+On peut en déduire que si $ J $ est continue, $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $.
+\begin{Th}[Théorème de Weierstrass]
+ Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue.
+ \newline
+ Alors : $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$
+ Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
+ \newline
+ De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
+\end{Th}
+On en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues \cite{LJK,RON}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ permet d'explorer l'unicité de la solution \cite{LJK,RON}.