+\begin{Def}
+Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
+\newline
+On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si
+$$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \Longrightarrow |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $.
+ \newline
+ On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application
+ $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$
+ définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $.
+ \newline
+ Dans ce cas on note
+ $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$
+ cette dérivée.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $
+ et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $.
+ \newline
+ On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que
+ \[
+ f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h})
+ \]
+ Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $
+ telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et
+ \[
+ f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h)
+ \]
+ On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $.
+\end{Def}
+\begin{Rmq}
+ On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$.
+\end{Rmq}
+\begin{Def}
+ Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
+ \newline
+ Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
+ \[
+ \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
+ \]
+\end{Def}
+\begin{Rmq}
+ $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $
+\end{Rmq}
+
+\subsection{Conditions d'existence d'un extremum}
+
+On peut démontrer que $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
+On peut en déduire que si $ J $ est continue, $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $.
+\begin{Th}[Théorème de Weierstrass]
+Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue.
+\newline
+Alors $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$
+Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
+\newline
+De la même façon, il existe maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
+\end{Th}
+On en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues.
+\subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum}