+\section{Methode de descente}\label{descente}
+
+Nous supposons que le domaine des contraintes de $ \mathcal{P} $ est un ouvert de $ \mathbb{R}^n $ (c'est à dire que nous n'avons pas de contraintes) et $ J $ est une fonction définie sur $ \mathbb{R}^n $ à valeurs réelles supposée différentiable, voire même deux fois différentiable. Les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre expriment le fait qu’il n’est pas possible de “descendre” à partir d’un point de minimum (local ou global). Cette observation va servir de point de départ à l’élaboration des méthodes dites de descente.
+
+Partant d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ définie par :
+$$ x_{k+1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k \in \mathbb{R}_{+}^{*},d_k \in \mathbb{R}^n $ et avec
+$$ \forall k \in \mathbb{N} \ J(x_{k+1}) \leq J(x_k) $$
+Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée \textit{recherche linéaire}.
+
+\subsection{Définition d'une direction de descente}
+
+Un vecteur $ d \in \mathbb{R}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ si $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ est strictement décroissante en $ t = 0 $, c’est-à-dire :
+$$ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
+Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines directions.
+\begin{Prop}
+ Soient $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable et $ d \in \mathbb{R}^n $.
+ \newline
+ d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ ssi :
+ $$ \nabla J(x_0)^\top d < 0 $$
+ De plus
+ $$ \forall \beta < 1 \in \mathbb{R}_{+} \ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t\beta \nabla J(x_0)^\top d < J(x_0) $$
+\end{Prop}
+\begin{proof}
+ Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre 1.
+\end{proof}
+Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $, est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :
+
+\hrulefill
+\newline
+ALGORITHME DE DESCENTE GÉNÉRIQUE.
+\newline
+\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire.
+\newline
+\textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $.
+\begin{enumerate}
+ \item $ k := 0 $.
+ \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
+ \begin{enumerate}
+ \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $ \nabla J(x_k)^\top d_k < 0 $.
+ \item \textit{Recherche linéaire} : Choisir un pas $ s_k > 0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$
+ \item Mise à jour : $ x_{k+1} = x_k + s_kd_k; \ k := k + 1 $.
+ \end{enumerate}
+ \item Retourner $ x_k $.
+\end{enumerate}
+
+\hrulefill
+
+\subsection{Choix de la direction de descente}
+
+Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de descente :
+\begin{itemize}
+ \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}.
+ \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}.
+\end{itemize}
+Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($ \iff \nabla J(x_k) = 0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas étudiées dans le cadre de ce projet.
+
+\subsection{Critère d’arrêt}
+
+Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente générique, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
+\newline
+En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^\ast $.
+
+Soit $ \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable sans contrainte, on testera si
+$$ \norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon, $$
+auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.
+
+En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à d’autres critères fondés sur l’expérience du numérique :
+\begin{itemize}
+ \item Stagnation de la solution : $ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $.
+ \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $.
+ \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
+\end{itemize}
+et généralement une combinaison de ces critères :
+\newline
+\newline
+Critère d’arrêt =
+\begin{tabular}{l}
+ Test d’optimalité satisfait \\
+ OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
+ OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
+\end{tabular}
+
+\subsection{La recherche linéaire}
+
+Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
+\newline
+Soit $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s > 0 $ de sorte que :
+$$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
+Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.
+
+\hrulefill
+\newline
+RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_{k-1} $
+
+\hrulefill
+
+\hrulefill
+\newline
+RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $ \displaystyle\min_{s \in \mathbb{R}_{+}^{*}} J(x_k + sd_k) $
+
+\hrulefill
+\newline
+Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont acceptables et ceux qui ne le sont pas.
+\begin{Def}
+ On appelle $ \varphi : s \in \mathbb{R} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ Dans le cas où $ J $ est différentiable sur $ \mathcal{C} $, on dit que un algorithme de descente converge ssi
+ $$ \forall x_0 \in \mathbb{R}^n \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$
+\end{Def}
+
+\subsubsection{Principe de démonstration de convergence}
+
+Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence globale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du type :
+$$ J(x_k) - J(x_{k+1}) \geq c\norme{\nabla J(x_k)}^2, $$
+où $ c $ est une constante réelle.
+\newline
+En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $ 0 $ à $ N - 1 $, on obtient :
+$$ \forall N \in \mathbb{N} \ J(x_0) - J(x_N) \geq c \sum_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2 $$
+Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (\sum\limits_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2)_{N \in \mathbb{N}} $ converge, ce qui implique :
+$$ \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$
+\begin{Def}
+ On considère $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $, la suite des itérés donnés par un algorithme convergent. On note $ x^\ast $ la limite de la suite $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et on suppose que $ x_k \neq x^\ast $, pour tout $ k \in \mathbb{N} $. La convergence de l’algorithme est alors dite :
+ \begin{itemize}
+ \item linéaire si l'erreur décroît linéairement i.e. :
+ $$ \exists \tau \in ]0,1[ \ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}} = \tau $$
+ \item superlinéaire si :
+ $$ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}} = 0 $$
+ \item d'ordre $ p $ si :
+ $$ \exists \tau \geq 0 \ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}^p} = \tau $$
+ En particulier, si $ p = 2 $, la convergence est dite quadratique.
+ \end{itemize}
+\end{Def}
+L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $ \varphi $ ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.
+
+\section{Méthode Newtonienne}
+
+Les hypothèses sur $ \mathcal{P} $ de la section précédente restent les mêmes dans cette section. L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) = 0 $. En optimisation sans contrainte, l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
+$$ \nabla J(x) = 0, $$
+autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
+\newline
+En supposant $ J $ de classe $ \mathcal{C}^2 $ et la matrice hessienne $ H[J](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
+$$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$
+où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
+$$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$
+Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
+À condition que la matrice $ H[J](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $ 1 $.
+\newline
+Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
+
+\begin{tabular}{|p{20em}|p{20em}|}
+ \hline
+ Avantages & Inconvénients \\
+ \hline
+ sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par 2 à chaque itération). & \\
+ \hline
+ & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H[J](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\
+ \hline
+ & le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\
+ \hline
+ & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
+ \hline
+ & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
+ \hline
+\end{tabular}
+\newline
+La question que l’on se pose est donc : comment forcer la convergence globale de l’algorithme de Newton ? L’idée des méthodes de type Newton consiste à reprendre l’algorithme de Newton en remplaçant les itérations par :
+$$ x_{k+1} = x_k - s_k H_k^{-1} \nabla J(x_k), $$
+où
+\begin{itemize}
+ \item la matrice $ H_k $ est une approximation de la hessienne $ H[J](x_k) $.
+ \item $ s_k > 0 $ est le pas calculé par une recherche linéaire bien choisie.
+\end{itemize}
+Plusieurs questions se posent alors :
+\begin{itemize}
+ \item Comment déterminer une matrice $ H_k $ qui soit une “bonne” approximation de la hessienne à l’itération $ k $ sans utiliser les informations de second ordre et garantir que $ H_k^{-1} \nabla J(x_k) $ soit bien une direction de descente de $ J $ en $ x_k $, sachant que la direction de Newton, si elle existe, n’en est pas nécessairement une ?
+ \item Comment conserver les bonnes propriétés de l’algorithme de Newton ?
+\end{itemize}
+Nous ne répondrons pas à ces questions qui sont hors du cadre de ce projet. Cette section permet d'introduire certains prérequis pour l'étude de la méthode PQS et de rendre compte de sa filiation.
+
+\section{Méthode PQS (ou SQP)}
+
+Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $ \mathcal{C}^1 $. Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste à déterminer un point optimal $ x^\ast $ et des multiplicateurs associés $ (\lambda^\ast,\mu^\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^\ast $, les multiplicateurs $ (\lambda,\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche des multiplicateurs en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par \textit{dualité}.
+
+\subsection{Problème quadratique sous contraintes linéaires}
+
+Nous introduisons les différentes approches développées pour la résolution des problèmes de programmation quadratique avec contraintes d'égalités et d’inégalités linéaires.
+\newline
+Ce type de problème quadratique se pose sous la forme :
+$$
+ \mathcal{PQ} \left \{
+ \begin{array}{l}
+ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} c^\top x + \frac{1}{2} x^\top \mathcal{Q} x \\
+ A^\top x + b \leq 0 \\
+ A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0
+ \end{array}
+ \right .
+$$
+où $$ \mathcal{Q} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \ symétrique, c \in \mathbb{R}^n, A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^p, A^\prime \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R}), b^\prime \in \mathbb{R}^q $$
+Or
+$$ A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0 \iff A^{\prime^\top} x + b^\prime \leq 0 \land -A^{\prime^\top} x - b^\prime \leq 0 $$
+Donc le problème se ramène à :
+
+\subsubsection{Algorithme 1}
+
+\subsubsection{Algorithme 2}
+
+\subsection{Algorithmes Newtoniens}
+
+Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $ 1 $. Ces algorithmes sont \textit{primaux-duaux} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_{k \in \mathbb{N}} $ convergeant vers une solution $ \overline{x} $ du problème considéré, et une suite duale $ (\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}} $ (resp. $ ((\lambda_k, \mu_k))_{k \in \mathbb{N}} $) de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $ \overline{\lambda} $ (resp. $ (\overline{\lambda},\overline{\mu}) $) associé à $ \overline{x} $.
+
+\subsection{Algorithme PQS}
+
+\subsubsection{Contraintes d’égalité}
+
+Considérons un problème d’optimisation différentiable $ \mathcal{P} $ avec contraintes d’égalité :
+$$
+ \mathcal{P} \left \{
+ \begin{array}{l}
+ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
+ h(x) = 0
+ \end{array}
+ \right .
+$$
+où $ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ sont supposées au moins différentiables.
+\newline
+Les conditions d’optimalité de Lagrange (ou \textit{KKT}) s’écrivent :
+$$ \nabla J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i \nabla h_i(x) = 0 \iff \nabla L(x,\lambda) = 0 $$
+donc $ \mathcal{P} $ devient :
+$$ \begin{pmatrix}
+ \nabla J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i \nabla h_i(x) \\
+ h(x)
+ \end {pmatrix} = 0 $$
+Pour résoudre ce système d’équations, utilisons la méthode de Newton dont une itération s’écrit ici :
+$$ H[L](x_k,\lambda_k)\begin{pmatrix}
+ x_{k+1} - x_k \\
+ \lambda_{k+1} - \lambda_k
+ \end{pmatrix} = -\nabla L(x_k,\lambda_k) $$
+soit :
+$$ \begin{pmatrix}
+ H_x[L](x_k,\lambda_k) & D_h(x_k)^\top \\
+ D_h(x_k) & 0
+ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
+ x_{k+1} - x_k \\
+ \lambda_{k+1} - \lambda_k
+ \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}
+ \nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\
+ h(x_k)
+ \end{pmatrix} $$
+où $ D_h(x) $ désigne la matrice jacobienne de l’application $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ définie par :
+$$ D_h(x)^\top = \begin{bmatrix} \nabla h_1(x)^\top\ldots\nabla h_q(x)^\top \end{bmatrix} $$
+Posons : $ H_k = H_x[L](x_k,\lambda_k), \ d = x_{k+1} - x_k $ et $ \mu = \lambda_{k+1} $. L'itération s'écrit donc :
+$$ \begin{pmatrix}
+ H_k & D_h(x_k)^\top \\
+ D_h(x_k) & 0
+ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}
+ d \\
+ \mu - \lambda_k
+ \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix}
+ \nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\
+ h(x_k)
+ \end{pmatrix} $$
+et est bien définie à condition que la matrice $ H_x[L](x_k,\lambda_k) $ soit inversible. Ce sera le cas si :
+\begin{enumerate}[label=(\roman*)]
+ \item Les colonnes $ \nabla h_1(x_k)^\top,\ldots,\nabla h_q(x_k)^\top $ de $ D_h(x_k)^\top $ sont linéairement indépendants : c’est la condition première de \textit{KTT} ou condition de qualification des contraintes.
+ \item Quel que soit $ d \neq 0 $ tel que $ D_h(x_k)d = 0, \ d^\top H_k d > 0 $ : c’est la condition suffisante d’optimalité du second ordre dans le cas de contraintes d’égalité.
+\end{enumerate}
+Revenons à l’itération. Elle s’écrit encore :
+$$
+ \left \{
+ \begin{array}{r c l}
+ H_kd + \sum\limits_{i=1}^q(\mu_i - \lambda_{k_i})\nabla h_i(x_k) & = & -\nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\
+ \nabla h_i(x_k)^\top d + h_i(x_k) & = & 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
+ \end{array}
+ \right .
+$$
+Or $ \nabla_x L(x_k,\lambda_k) = \nabla J(x_k) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_{k_i} \nabla h_i(x_k) $, d'où :
+$$
+ \left \{
+ \begin{array}{r c l}
+ H_kd + \sum\limits_{i=1}^q\mu_i\nabla h_i(x_k) & = & -\nabla J(x_k) \\
+ \nabla h_i(x_k)^\top d + h_i(x_k) & = & 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
+ \end{array}
+ \right .
+$$
+On reconnait dans le système ci-dessus les conditions d’optimalité de Lagrange du problème quadratique suivant :
+$$
+ \mathcal{PQ}_k \left \{
+ \begin{array}{l}
+ \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
+ h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
+ \end{array}
+ \right .
+$$
+Le problème $ \mathcal{PQ}_k $ peut être vu comme la minimisation d’une approximation quadratique du Lagrangien de $ \mathcal{P} $ avec une approximation linéaire des contraintes.
+\newline
+Comme son nom l’indique, la méthode PQS consiste à remplacer le problème initial par une suite de problèmes quadratiques sous contraintes linéaires plus faciles à résoudre. L’algorithme est le suivant :