Commit | Line | Data |
---|---|---|
e37aec65 JB |
1 | \documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book} |
2 | ||
3 | ||
4 | %%%%%Packages | |
5 | ||
de30386e | 6 | |
e37aec65 | 7 | \usepackage{latexsym} |
66a4e4ad JB |
8 | \usepackage{amsmath} |
9 | \usepackage{mathtools} | |
e37aec65 JB |
10 | \usepackage{amssymb} |
11 | \usepackage[utf8]{inputenc} | |
12 | \usepackage[francais]{babel} | |
13 | \usepackage{color} | |
14 | \usepackage{geometry} | |
15 | \usepackage{graphicx} | |
16 | \usepackage{amsfonts} | |
17 | \usepackage[T1]{fontenc} | |
18 | \usepackage{multirow} | |
19 | \usepackage{fancyhdr} | |
20 | \usepackage{tocbibind} | |
21 | \usepackage{lmodern} | |
22 | ||
23 | ||
24 | %%%%%Marges & en-t\^etes | |
25 | ||
26 | \geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm} | |
27 | \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis | |
28 | \fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas | |
29 | \fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut | |
30 | \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut | |
31 | \addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet | |
66a4e4ad | 32 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} % filet en bas |
e37aec65 JB |
33 | |
34 | ||
35 | %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions | |
36 | ||
37 | \newtheorem{Def}{D\'efinition} | |
38 | \newtheorem{Not}[Def]{Notation} | |
39 | \newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme} | |
40 | \newtheorem{Prop}[Th]{Proposition} | |
41 | \newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire} | |
42 | \newtheorem{Rmq}{Remarque} | |
43 | ||
66a4e4ad | 44 | \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1\right\Vert} |
e37aec65 JB |
45 | |
46 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
47 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
48 | ||
49 | \begin{document} | |
50 | ||
51 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
52 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
53 | ||
54 | %%%%%Page de garde | |
55 | ||
56 | \begin{center} | |
57 | ||
b0927d0a | 58 | %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\ |
cec1e8f8 | 59 | \includegraphics[scale=0.5]{polytech.png}\\ |
b0927d0a JB |
60 | |
61 | \vspace*{0.5cm} | |
62 | ||
63 | \footnotesize{ | |
64 | \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\ | |
65 | \large \bf 5ème année\\ | |
66 | } | |
67 | ||
68 | \vspace*{0.5cm} | |
69 | ||
70 | %\large{Master 2 Professionnel\\ | |
71 | %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\} | |
72 | ||
73 | \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\} | |
74 | ||
75 | \vspace*{0.7cm} | |
76 | ||
77 | \begin{tabular}{c} | |
78 | \hline | |
aa023e1c JB |
79 | ~ \\ |
80 | \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique} \\ | |
81 | \LARGE\textbf {en} \\ | |
cec1e8f8 | 82 | \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\ |
aa023e1c | 83 | ~ \\ |
b0927d0a JB |
84 | \hline |
85 | \end{tabular} | |
86 | ||
87 | \vspace*{0.7cm} | |
88 | ||
89 | \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\ | |
90 | ||
91 | \vspace*{0.5cm} | |
92 | ||
93 | \large par\\ | |
94 | ||
95 | %\large \bsc{}\\ | |
96 | %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\ | |
97 | ||
98 | \vspace*{0.2cm} | |
91df3de1 | 99 | \large {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\ |
b0927d0a JB |
100 | |
101 | %\vspace*{0.1cm} | |
102 | ||
103 | % \large sous la direction de \\ | |
104 | ||
105 | %\vspace*{0.1cm} | |
106 | ||
107 | %Eric Audureau et Thierry Masson | |
108 | ||
109 | %\vspace*{1cm} | |
110 | ||
111 | \vspace*{1cm} | |
112 | ||
113 | %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année} | |
114 | \normalsize{Année 2018-2019} | |
e37aec65 JB |
115 | |
116 | \end{center} | |
117 | ||
118 | \thispagestyle{empty} | |
119 | ||
120 | \newpage | |
121 | ||
122 | ||
123 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
124 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
125 | ||
126 | ||
127 | \pagestyle{plain} | |
128 | \frontmatter | |
129 | ||
130 | ||
131 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
132 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
133 | ||
134 | ||
e37aec65 JB |
135 | %%%%%Table des mati\`eres |
136 | ||
137 | \tableofcontents | |
138 | ||
139 | \begin{figure}[!b] | |
b0927d0a JB |
140 | \begin{center} |
141 | %\includegraphics{logo_fac2} | |
142 | \includegraphics[scale=0.04]{amu} | |
143 | \end{center} | |
e37aec65 JB |
144 | \end{figure} |
145 | ||
146 | \newpage | |
147 | ||
148 | ||
149 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
150 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
151 | ||
152 | ||
153 | \mainmatter | |
154 | \pagestyle{fancy} | |
155 | ||
156 | ||
157 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
158 | \chapter{Introduction générale} | |
159 | ||
e37aec65 JB |
160 | \vspace{.5em} |
161 | ||
162 | \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?} | |
163 | ||
64f7c064 JB |
164 | \subsection{Présentation rapide} |
165 | ||
f899c72b | 166 | La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie). |
e7e85554 | 167 | \newline |
f899c72b | 168 | On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle. |
91df3de1 | 169 | |
64f7c064 JB |
170 | \subsection{Définition de la problèmatique} |
171 | ||
f899c72b | 172 | Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle : |
6ec0df37 | 173 | \begin{Def} |
5e4341d1 JB |
174 | Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$. |
175 | \newline | |
176 | La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par : | |
177 | $$ | |
aa023e1c JB |
178 | \mathcal{P} \left \{ |
179 | \begin{array}{r c l} | |
180 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ | |
181 | g(x) \leq 0 \\ | |
182 | h(x) = 0 | |
183 | \end{array} | |
184 | \right . | |
5e4341d1 | 185 | $$ |
6ec0df37 | 186 | \end{Def} |
6ec0df37 | 187 | \begin{Def} |
5e4341d1 JB |
188 | On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par : |
189 | $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$ | |
6ec0df37 | 190 | \end{Def} |
3b344e8c | 191 | Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $ et $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $ défini dans $ \mathcal{C} $) ainsi que de construction d'une solution dans $ \mathcal{C} $. |
64f7c064 | 192 | |
e37aec65 JB |
193 | \section{Qu'est-ce que l'optimisation?} |
194 | ||
f899c72b JB |
195 | \subsection{Définition} |
196 | ||
197 | La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation. | |
198 | \newline | |
8a00a107 | 199 | Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science. |
f899c72b JB |
200 | |
201 | \subsection{Quelques définitions annexes} | |
202 | ||
203 | Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite : | |
204 | \begin{Def} | |
205 | Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $. | |
206 | \newline | |
207 | On dit que $ x^\ast $ est \textbf{intérieur} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $ \mathring{A} $. | |
208 | \end{Def} | |
209 | \begin{Def} | |
210 | Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $. | |
211 | \newline | |
212 | On dit que $ x^\ast $ est \textbf{adhérent} à $ A $ si et seulement si $ \forall V \in \mathcal{V}(x^\ast) \ A \cap V \neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $ \overline{A} $. | |
213 | \end{Def} | |
f899c72b JB |
214 | \begin{Def} |
215 | Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $. | |
216 | \newline | |
217 | On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si | |
b6cd6632 | 218 | $$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$ |
f899c72b | 219 | \end{Def} |
d17ef079 JB |
220 | \begin{Def} |
221 | Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $. | |
222 | \newline | |
223 | On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application | |
224 | $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$ | |
225 | définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $. | |
226 | \newline | |
227 | Dans ce cas on note | |
228 | $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$ | |
229 | cette dérivée. | |
230 | \end{Def} | |
66a4e4ad JB |
231 | \begin{Def} |
232 | Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ | |
233 | et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $. | |
d17ef079 | 234 | \newline |
66a4e4ad JB |
235 | On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que |
236 | \[ | |
237 | f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h}) | |
238 | \] | |
239 | Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ | |
240 | telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et | |
241 | \[ | |
242 | f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h) | |
243 | \] | |
d17ef079 | 244 | On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $. |
66a4e4ad | 245 | \end{Def} |
d17ef079 JB |
246 | \begin{Rmq} |
247 | On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$. | |
248 | \end{Rmq} | |
5e4341d1 JB |
249 | \begin{Def} |
250 | Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable. | |
251 | \newline | |
252 | Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par : | |
253 | \[ | |
de30386e | 254 | \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast)) |
5e4341d1 JB |
255 | \] |
256 | \end{Def} | |
d17ef079 JB |
257 | \begin{Rmq} |
258 | $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $ | |
259 | \end{Rmq} | |
f899c72b JB |
260 | |
261 | \subsection{Conditions d'existence d'un extremum} | |
262 | ||
3b344e8c JB |
263 | On peut démontrer que $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues. |
264 | On peut en déduire que si $ J $ est continue, $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $. | |
265 | \begin{Th}[Théorème de Weierstrass] | |
266 | Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue. | |
267 | \newline | |
b6cd6632 | 268 | Alors : $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$ |
3b344e8c JB |
269 | Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $. |
270 | \newline | |
b6cd6632 | 271 | De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $. |
3b344e8c | 272 | \end{Th} |
b6cd6632 JB |
273 | On en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues. L'étude de la convexité de $ J $ permet d'explorer l'unicité de la solution \cite{LJK}. |
274 | ||
3b344e8c JB |
275 | \subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum} |
276 | ||
b6cd6632 | 277 | Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), la recherche du mimimum consiste à faire une descente par gradient de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i = \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \norme{\nabla J(x_i)} < \varepsilon $, $ i \in \mathbb{N} $ \cite{FEA}. |
f899c72b | 278 | \newline |
b6cd6632 | 279 | On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\ast \in \mathring{\mathcal{C}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $ \nabla J(x^\ast) = 0 $. Mais si $ x^\ast \in \overline{\mathcal{C}}\setminus\mathring{\mathcal{C}} $ (la frontière de $ \mathcal{C} $) alors $ \nabla J(x^\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum \cite{FEA,WAL}. |
f899c72b JB |
280 | |
281 | \subsubsection{Conditions de Kuhn-Tucker et Lagrange} | |
282 | ||
283 | \begin{Th} | |
284 | Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $. | |
285 | \newline | |
286 | Une condition nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local est : | |
f899c72b JB |
287 | \newline |
288 | \newline | |
8a00a107 JB |
289 | \centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.} |
290 | \newline | |
291 | \newline | |
292 | et | |
293 | $$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$ | |
f899c72b JB |
294 | On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange. |
295 | \end{Th} | |
b6cd6632 | 296 | Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \iff h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $. |
f899c72b | 297 | \newline |
de30386e | 298 | \newline |
66a4e4ad | 299 | Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle. |
6ec0df37 | 300 | |
e37aec65 | 301 | |
e37aec65 JB |
302 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
303 | ||
de30386e JB |
304 | \chapter{Méthodes de programmation quadratique séquentielle} |
305 | ||
de30386e JB |
306 | \section{Optimisation} |
307 | ||
e37aec65 JB |
308 | \subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes} |
309 | ||
e37aec65 JB |
310 | \bibliographystyle{plain} |
311 | \bibliography{stdlib_sbphilo} | |
312 | ||
313 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
314 | ||
315 | \end{document} |