| 1 | \documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book} |
| 2 | |
| 3 | |
| 4 | %%%%%Packages |
| 5 | |
| 6 | \usepackage{latexsym} |
| 7 | \usepackage{amssymb} |
| 8 | \usepackage[utf8]{inputenc} |
| 9 | \usepackage[francais]{babel} |
| 10 | \usepackage{color} |
| 11 | \usepackage{geometry} |
| 12 | \usepackage{graphicx} |
| 13 | \usepackage{amsfonts} |
| 14 | \usepackage[T1]{fontenc} |
| 15 | \usepackage{multirow} |
| 16 | \usepackage{fancyhdr} |
| 17 | \usepackage{tocbibind} |
| 18 | \usepackage{lmodern} |
| 19 | |
| 20 | |
| 21 | %%%%%Marges & en-t\^etes |
| 22 | |
| 23 | \geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm} |
| 24 | \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis |
| 25 | \fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas |
| 26 | \fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut |
| 27 | \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut |
| 28 | \addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet |
| 29 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} %filet en bas |
| 30 | |
| 31 | |
| 32 | %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions |
| 33 | |
| 34 | \newtheorem{Def}{D\'efinition} |
| 35 | \newtheorem{Not}[Def]{Notation} |
| 36 | \newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme} |
| 37 | \newtheorem{Prop}[Th]{Proposition} |
| 38 | \newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire} |
| 39 | \newtheorem{Rmq}{Remarque} |
| 40 | |
| 41 | |
| 42 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 43 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 44 | |
| 45 | \begin{document} |
| 46 | |
| 47 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 48 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 49 | |
| 50 | %%%%%Page de garde |
| 51 | |
| 52 | \begin{center} |
| 53 | |
| 54 | %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\ |
| 55 | \includegraphics[scale=0.5]{index2.png}\\ |
| 56 | |
| 57 | \vspace*{0.5cm} |
| 58 | |
| 59 | \footnotesize{ |
| 60 | \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\ |
| 61 | \large \bf 5ème année\\ |
| 62 | } |
| 63 | |
| 64 | \vspace*{0.5cm} |
| 65 | |
| 66 | %\large{Master 2 Professionnel\\ |
| 67 | %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\} |
| 68 | |
| 69 | \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\} |
| 70 | |
| 71 | \vspace*{0.7cm} |
| 72 | |
| 73 | \begin{tabular}{c} |
| 74 | \hline |
| 75 | ~ \\ |
| 76 | \huge\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique} \\ |
| 77 | \huge\textbf {en} \\ |
| 78 | \huge\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\ |
| 79 | ~ \\ |
| 80 | \hline |
| 81 | \end{tabular} |
| 82 | |
| 83 | \vspace*{0.7cm} |
| 84 | |
| 85 | \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\ |
| 86 | |
| 87 | \vspace*{0.5cm} |
| 88 | |
| 89 | \large par\\ |
| 90 | |
| 91 | %\large \bsc{}\\ |
| 92 | %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\ |
| 93 | |
| 94 | \vspace*{0.2cm} |
| 95 | \large {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\ |
| 96 | |
| 97 | %\vspace*{0.1cm} |
| 98 | |
| 99 | % \large sous la direction de \\ |
| 100 | |
| 101 | %\vspace*{0.1cm} |
| 102 | |
| 103 | %Eric Audureau et Thierry Masson |
| 104 | |
| 105 | %\vspace*{1cm} |
| 106 | |
| 107 | \vspace*{1cm} |
| 108 | |
| 109 | %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année} |
| 110 | \normalsize{Année 2018-2019} |
| 111 | |
| 112 | \end{center} |
| 113 | |
| 114 | \thispagestyle{empty} |
| 115 | |
| 116 | \newpage |
| 117 | |
| 118 | |
| 119 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 120 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 121 | |
| 122 | |
| 123 | \pagestyle{plain} |
| 124 | \frontmatter |
| 125 | |
| 126 | |
| 127 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 128 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 129 | |
| 130 | |
| 131 | |
| 132 | %%%%%Table des mati\`eres |
| 133 | |
| 134 | \tableofcontents |
| 135 | |
| 136 | \begin{figure}[!b] |
| 137 | \begin{center} |
| 138 | %\includegraphics{logo_fac2} |
| 139 | \includegraphics[scale=0.04]{amu} |
| 140 | \end{center} |
| 141 | \end{figure} |
| 142 | |
| 143 | \newpage |
| 144 | |
| 145 | |
| 146 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 147 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 148 | |
| 149 | |
| 150 | \mainmatter |
| 151 | \pagestyle{fancy} |
| 152 | |
| 153 | |
| 154 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 155 | \chapter{Introduction générale} |
| 156 | |
| 157 | \vspace{.5em} |
| 158 | |
| 159 | \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?} |
| 160 | |
| 161 | La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement l'analyse numérique, les probalilites et la statistique. On la considère usuellement comme une sous discipline des |
| 162 | mathematique de la décision. |
| 163 | |
| 164 | \section{Qu'est-ce que l'optimisation?} |
| 165 | |
| 166 | Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}. |
| 167 | Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}. |
| 168 | |
| 169 | |
| 170 | %{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème édition, puf, 2000, \cite{Mavr}; |
| 171 | %ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}. |
| 172 | |
| 173 | |
| 174 | |
| 175 | |
| 176 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 177 | |
| 178 | \chapter{Sujets d'étude en travaux dirigés} |
| 179 | |
| 180 | \section{Cahier des charges} |
| 181 | |
| 182 | Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera |
| 183 | à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe). |
| 184 | |
| 185 | \vspace{.5em} |
| 186 | |
| 187 | Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée |
| 188 | (citations en note de bas de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...). |
| 189 | Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document). |
| 190 | L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances. |
| 191 | |
| 192 | \vspace{.5em} |
| 193 | |
| 194 | Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance |
| 195 | et d'objectivité scientifique. Le document ne devra pas excéder 10 pages. |
| 196 | On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document. |
| 197 | |
| 198 | \section{Proposition de sujets} |
| 199 | |
| 200 | \subsection{Analyse numérique} |
| 201 | |
| 202 | \vspace{.5em} |
| 203 | |
| 204 | 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires). |
| 205 | |
| 206 | \vspace{.5em} |
| 207 | |
| 208 | 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables. |
| 209 | |
| 210 | \vspace{.5em} |
| 211 | |
| 212 | 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc.... |
| 213 | |
| 214 | \vspace{.5em} |
| 215 | |
| 216 | \subsection{Optimisation} |
| 217 | |
| 218 | \vspace{.5em} |
| 219 | |
| 220 | \subsubsection{Optimisation sans contrainte} |
| 221 | |
| 222 | {\bf A- Algorithmes déterministes} |
| 223 | |
| 224 | \vspace{.5em} |
| 225 | |
| 226 | 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés). |
| 227 | |
| 228 | \vspace{.5em} |
| 229 | |
| 230 | 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal). |
| 231 | |
| 232 | \vspace{.5em} |
| 233 | |
| 234 | 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema. |
| 235 | |
| 236 | \vspace{.5em} |
| 237 | |
| 238 | 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général) |
| 239 | |
| 240 | \vspace{.5em} |
| 241 | |
| 242 | 5) Méthode de relaxation |
| 243 | |
| 244 | \vspace{.5em} |
| 245 | |
| 246 | {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques} |
| 247 | |
| 248 | \vspace{.5em} |
| 249 | |
| 250 | 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov) |
| 251 | |
| 252 | \vspace{.5em} |
| 253 | |
| 254 | 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis) |
| 255 | |
| 256 | \vspace{.5em} |
| 257 | |
| 258 | \subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes} |
| 259 | |
| 260 | \vspace{.5em} |
| 261 | |
| 262 | 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) . |
| 263 | |
| 264 | \vspace{.5em} |
| 265 | |
| 266 | 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT). |
| 267 | |
| 268 | \vspace{.5em} |
| 269 | |
| 270 | 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité, |
| 271 | méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation, |
| 272 | méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming), |
| 273 | méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc... |
| 274 | |
| 275 | \vspace{.5em} |
| 276 | |
| 277 | \subsection{Recherche opérationnelle} |
| 278 | |
| 279 | \vspace{.5em} |
| 280 | |
| 281 | \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)} |
| 282 | |
| 283 | 1) Méthode d'énumération. |
| 284 | |
| 285 | \vspace{.5em} |
| 286 | |
| 287 | 2) Méthode du simplexe. |
| 288 | |
| 289 | \vspace{.5em} |
| 290 | |
| 291 | 3) Application à des problèmes de R.O: |
| 292 | |
| 293 | \vspace{.5em} |
| 294 | |
| 295 | \hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}. |
| 296 | |
| 297 | \vspace{.5em} |
| 298 | |
| 299 | \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire. |
| 300 | |
| 301 | \vspace{.5em} |
| 302 | |
| 303 | \hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice? |
| 304 | |
| 305 | \vspace{.5em} |
| 306 | |
| 307 | \hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant : |
| 308 | |
| 309 | \vspace{.5em} |
| 310 | |
| 311 | \begin{center} |
| 312 | $ |
| 313 | \begin{array}{|c|c|c|c|} |
| 314 | \hline |
| 315 | Atelier & A & B & C \\ |
| 316 | \hline |
| 317 | Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\ |
| 318 | \hline |
| 319 | Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\ |
| 320 | \hline |
| 321 | \end{array} |
| 322 | $ |
| 323 | \end{center} |
| 324 | |
| 325 | \vspace{.5em} |
| 326 | |
| 327 | Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines. |
| 328 | |
| 329 | \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire. |
| 330 | |
| 331 | \vspace{.5em} |
| 332 | |
| 333 | \hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique? |
| 334 | |
| 335 | \vspace{.5em} |
| 336 | |
| 337 | \bibliographystyle{plain} |
| 338 | \bibliography{stdlib_sbphilo} |
| 339 | |
| 340 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% |
| 341 | |
| 342 | \end{document} |
| 343 | |
| 344 | |
| 345 | \begin{thebibliography}{6}\input{MemoireM2Ballet6.synctex.gz(busy)} |
| 346 | |
| 347 | %\bibitem[1]{BL} Jean-Pierre \bsc{Bourguignon} et David \bsc{Langlois}, Cours de M1, Module Relativité Générale, |
| 348 | %Ecole Polytechnique, ParisTech, 2011.\\ |
| 349 | |
| 350 | %\bibitem[2]{G} Gilles \bsc{Cohen-Tannoudji}, Einstein et la refondation relativiste de la physique, 2005.\\ |
| 351 | |
| 352 | %\bibitem[3]{D} Pierre \bsc{Duhem}, La théorie physique, son objet, sa structure, Vrin, 2007.\\ |
| 353 | |
| 354 | %\bibitem[4]{E1} Albert \bsc{Einstein}, Die formale grundlage der allgemeinen Relativittstheorie. Kniglich Preussische |
| 355 | %Akademie der Wissenschaften (Berlin),Sitzungsberichte: pp 1030-1085. \\ |
| 356 | |
| 357 | %\bibitem[5]{G} Christian \bsc{Godin}, Dictionnaire de philosophie, Fayard Edition du temps, 2004.\\ |
| 358 | |
| 359 | %\bibitem[6]{H} Jean \bsc{Hladik}, La Relativité selon Einstein, L'Esprit des Sciences, Ellipses.\\ |
| 360 | |
| 361 | %\bibitem[7]{IS} \bsc{Iftime} and \bsc{Stachel}, The hole argument for covariant theories, arKiv:gr-qc/0512021v2, 8 avril 2006.\\ |
| 362 | |
| 363 | %\bibitem[8]{K} \bsc{Kant}, Critique de la raison pure, Traduction, présentation, notes par Alain Renaut, GF-Flammarion, 2006.\\ |
| 364 | |
| 365 | %\bibitem[9]{K2} \bsc{Kant}, Prolégomènes à toute métaphysique future, Traduction de Louis Guilermit, Vrin, 1986.\\ |
| 366 | |
| 367 | %\bibitem[10]{KU} Thomas \bsc{Kuhn}, La structure des révolutions scientifiques, Flammarion Champs Sciences, 2008. |
| 368 | |
| 369 | %\bibitem[11]{L} Marc \bsc{Lachièze-Rey}, Initiation à la cosmologie, 3ème édition, Dunod, 2000.\\ |
| 370 | |
| 371 | %\bibitem[12]{Mas} Thierry \bsc{Masson}, Cours de géométrie différentielle, groupe et algèbre de Lie, fibrés et connexions, 2010.\\ |
| 372 | |
| 373 | %\bibitem[13]{Poi} Henri \bsc{Poincaré}, La Science et L'Hypothèse, Flammarion, Paris, 1968.\\ |
| 374 | |
| 375 | %\bibitem[14]{Mav} Stamatia \bsc{Mavridès}, La Relativité, Que sais-je, 4ème édition, PUF, 2000.\\ |
| 376 | |
| 377 | %\bibitem[15]{R} Robert \bsc{Rynasiewicz}, The Lessons of the Hole Argument, The British Journal of the Philosophy of Science, |
| 378 | %vol; 45 (2), 407-436, Oxford University Press, Oxford Journals, 1994. \\ |
| 379 | |
| 380 | %\bibitem[16]{S} Standford Encyclopedia of Philosophy.\\ |
| 381 | |
| 382 | %\bibitem[17]{W} Wikipedia.\\ |
| 383 | |
| 384 | %\bibitem[1]{Bachtold} {\bf Manuel Bächtold}, L'interprétation de la mécanique quantique, une approche pragmatique, Collection vision des sciences, Hermann, 2008 .\\ |
| 385 | |
| 386 | %\bibitem[2]{Aspect} {\bf Alain Aspect}, Présentation naïve des inégalités de Bell, 2004.\\ |
| 387 | |
| 388 | \bibitem[3]{Basda} {\bf Jean-Louis Basdevant et Manuel Joffre}, Mécanique Quantique, Les éditions de l'Ecole Polytechnique, 2006.\\ |
| 389 | |
| 390 | %\bibitem[4]{Diu} {\bf Bernard Diu}, Le congrès de Solvay de 1927: petite chronique d'un grand évènement, Bibnum.\\ |
| 391 | |
| 392 | %\bibitem[1]{B} \bsc{Aristote}, Métaphysique, traduction J.Tricot, Vrin, 1974.\\ |
| 393 | |
| 394 | \end{thebibliography} |