1 \documentclass[9pt,blackandwhite,roman,handout
]{beamer
}
4 \usefonttheme{professionalfonts
}
11 %\usecolortheme{seahorse}
13 \usecolortheme{seagull
}
14 %\usefonttheme[onlylarge]{structurebold}
15 %\setbeamerfont*{frametitle}{size=\normalsize,series=\bfseries}
16 %\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
21 %\usepackage[frenchb]{babel}
22 %\usepackage[english]{babel}
23 \usepackage[utf8
]{inputenc}
24 %\usepackage[T1]{fontenc}
26 \usepackage[sans
]{dsfont
}
30 \usepackage[cal=euler,scr=rsfso
]{mathalfa
}%bb=cm,
33 \usepackage{mathrsfs
} % pour faire des majuscules calligraphiées \mathcal{blabla}
34 %\usepackage[french,lined]{algorithm2e} % rajouter linesnumbered dans les arguments pour numéroter les lignes des algos, boxed pour l'encadrement
35 %\usepackage{extsizes}
36 %\usepackage{MnSymbol}
43 %\usepackage[varg]{txfonts}
46 %\usepackage{MyMnSymbol}
49 %\usepackage{mathtools}
56 \usetikzlibrary{matrix,arrows
}
57 \tikzstyle{block
}=
[draw opacity=
0.7,line width=
1.4cm
]
59 \newcommand{\gk}{$g_k =
\left \
{ \begin{array
}{ll
}
60 q^k+q^
{k-
1}-q^
\frac{k+
1}{2} -
2q^
\frac{k-
1}{2}+
1 &
\mbox{si
} k
\equiv 1 \pmod 2,\\
61 q^k+q^
{k-
1}-
\frac{1}{2}q^
{\frac{k
}{2}+
1} -
\frac{3}{2}q^
{\frac{k
}{2}}-q^
{\frac{k
}{2}-
1} +
1&
\mbox{si
} k
\equiv 0 \pmod 2.
62 \end{array
} \right .$
}
64 \newcommand{\ext}{\xymatrix{
65 \FF=
\Fq(x)(y)
\ar@
{-
}[d
]^
{<
\infty} \\
\Fq(x)
\ar@
{-
}[d
] \\
\Fq} }
67 \newcommand{\twoheaddownarrow}{%
68 \mathrel{\reflectbox{\rotatebox[origin=c
]{-
90}{$
\xtwoheadrightarrow[ \;
]{ \reflectbox{\rotatebox[origin=c
]{-
90}{$
\pi_Q \ $
}} \ \
}$
}}}}
70 \newcommand{\longdownmapsto}{%
71 \mathrel{\reflectbox{\rotatebox[origin=c
]{-
90}{$
\xmapsto{ \ \ \
\reflectbox{\rotatebox[origin=c
]{-
90}{$
\pi_Q \ $
}} \ \ \
}$
}}}}
73 \newcommand{\bigubrace}[1]{\underbrace{\mbox{}f(P_i), f'(P_i),
\ldots, f^
{(
\ell_i-
1)
}(P_i)
\vphantom{\sum_0^
0}\hspace{#1}\mbox{}}_?
}
75 \newcommand{\myubrace}[2]{\rotatebox[origin=c
]{90}{$
76 \rotatebox[origin=c
]{-
90}{#1} \left \
{
80 \right .
\hspace{-
1em
}
83 \newcommand{\bluebrace}{{\color{blue
}\left\
{}}
85 \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
87 \definecolor{mycvblue
}{rgb
}{0.302,
0.537,
0.737}
90 \setbeamercolor{structure
}{fg=mycvblue
}
91 \setbeamercolor{palette primary
}{fg=mycvblue
}
92 \setbeamercolor{subsection in head/foot
}{parent=palette primary
}
94 \setbeamertemplate{navigation symbols
}{
95 % \insertslidenavigationsymbol
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97 % \insertsubsectionnavigationsymbol
98 % \insertsectionnavigationsymbol
99 % \insertdocnavigationsymbol
100 % \insertbackfindforwardnavigationsymbol
103 %\renewcommand{\item}{\item[$\bullet$]}
107 \title[]{\LARGE{\textsc{Méthode de Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS\\ en\\ Optimisation non linéraire sous contraintes
}}}
109 \author[Jérôme
{\textsc Benoit
} \& Sylvain
{\textsc Papa
}]{\textbf{Jérôme
{\textsc Benoit
}\\
\textbf{Sylvain
{\textsc Papa
}}}}
111 \date[]{{\bf HUGo
}\\
{\bf Polytech'Marseille
} \\
{\small Novembre
2018}}
113 \newtheorem{defin
}{Définition
}
114 \newtheorem{theoreme
}{Théorème
}
115 \newtheorem{lemme
}{Lemme
}
116 \newtheorem{corollaire
}{Corollaire
}
117 \newtheorem{proposition
}{Proposition
}
118 \newtheorem{propriete
}{Propriété
}
119 %\newtheorem{exemple}[definition]{Exemple}
121 \newcommand{\NN}{\ensuremath{\mathbb{N
}}}
122 \newcommand{\CC}{\ensuremath{\mathbb{C
}}}
123 \newcommand{\ZZ}{\ensuremath{\mathbb{Z
}}}
124 \newcommand{\PF}{\mathbf{P
}_F
}
125 \newcommand{\DF}{\mathsf{Div
}(F)
}
126 \newcommand{\Jac}{\ensuremath{\mathcal{J
}\mathsf{ac
}(F/
\Fq)
}}
127 \newcommand{\Fqr}[2][q
]{\mathds{F
}_
{\!
{#1}^
{#2}}}
128 \newcommand{\Fq}{\Fqr{}}
129 \newcommand{\F}{\mathds{F
}}
130 \newcommand{\FF}{\mathsf{F
}}
131 \newcommand{\Fqn}{\Fqr{n
}}
132 \newcommand{\D}[1][D
]{\ensuremath{\mathcal{#1}}}
133 \newcommand{\Ld}[1][\D]{\ensuremath{\mathscr{L
}\!\!
\left(
#1\right)
}} % utilisation : \Ld ou \Ld[A] pour un diviseur A au lieu de D
134 \newcommand{\Ak}[1][k
]{\ensuremath{\mathbb{A
}_
{#1}}}
135 \newcommand{\A}{\ensuremath{\mathsf{A
}}}
136 \newcommand{\Cl}{\ensuremath{\mathsf{Cl
}}}
137 \newcommand{\mus}{\ensuremath{\mu^
\mathsf{sym
}}}
138 \newcommand{\Ms}{\ensuremath{M^
\mathsf{sym
}}}
139 \newcommand{\ms}{\ensuremath{m^
\mathsf{sym
}}}
140 \newcommand{\chch}{{C
}hudnovsky-
{C
}hudnovsky
}
141 \newcommand{\ch}{{C
}hudnovsky
}
145 \addtobeamertemplate{footline
}{\texttt{\hfill\insertframenumber/
{\inserttotalframenumber}}}
147 % \AtBeginSubsection[] {
148 % \begin{frame}<beamer>
150 % \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
153 % \AtBeginSection[] {
154 % \begin{frame}<beamer>
156 % \tableofcontents[currentsection]%,currentsubsection]
160 \setbeamertemplate{sections/subsections in toc
}[sections numbered
]
161 %\setbeamertemplate{sections in toc}[sections numbered]
165 % \begin{frame}[plain]
169 % {\bf Institut de Mathématiques de Marseille}\\
171 % {\bf Equipe Analyse, Géométrie et Topologie (AGT) }\\
175 % {\bf Séminaire de Géométrie Complexe}\\
191 \begin{frame
}[plain
]{Plan
}
197 \section{Introduction
}
199 \subsection{Principe général
}
202 \begin{frame
}{Principe général I
}
204 Résoudre le problème $
\mathcal{P
} $ :
208 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
214 où $$ g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p,\ h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q\ et\ J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}\ de\ classe\
\mathcal{C
}^
2. $$
219 \begin{frame
}{Principe général II
}
221 \item Conditions nécessaires et suffisantes d'existence et d'unicité d'une solution (
\textit{KKT
}, $ H
[J
] $ définie positive et convexité de $
\mathcal{P
} $).
222 \item Approximation quadratique du Lagrangien $ L $ de $
\mathcal{P
} $ par Taylor-Young à l'ordre
2 en $ x_k $:
223 $$ L(x,
\lambda,
\mu)
\approx L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k) +
\nabla L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k)^
\top (x - x_k) $$
224 $$ +
\frac{1}{2} (x - x_k)^
\top H
[L
](x_k,
\lambda_k,
\mu_k) (x - x_k) $$
225 \item Approximation linéaire de $ g $ et $ h $ par Taylor-Young à l'ordre
1 en $ x_k $ :
226 $$ g(x)
\approx g(x_k) +
\nabla g(x_k)^
\top(x - x_k) $$
227 $$ h(x)
\approx h(x_k) +
\nabla h(x_k)^
\top(x - x_k) $$
232 \begin{frame
}{Principe général III
}
233 Conditions d'optimalité sur le Lagrangien $ L $ de $
\mathcal{P
} $ :
235 Résoudre le sous-problème quadratique $
\mathcal{PQ
}_k $ avec contraintes linéaires :
237 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
239 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
240 g_j(x_k) +
\nabla g_j(x_k)^
\top d
\leq 0, \
\forall j
\in \
{1,
\ldots,p\
} \\
241 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
245 où $ d = x - x_k $ et $ H_k = H
[L
](x_k,
\lambda_k,
\mu_k) $ symétrique (Schwarz).
249 \section{Algorithme PQS
}
252 \begin{frame
}{Algorithme PQS
}
253 \begin{block
}{ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.
}
254 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$, $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ différentiables, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire, $
\lambda_0 \in \mathbb{R
}_+^p $ et $
\mu_0 \in \mathbb{R
}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $
\varepsilon >
0 $ précision demandée.
256 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème $
\mathcal{P
} $.
259 \item Tant que $
\norme{\nabla L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k)
} >
\varepsilon $,
261 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
263 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
265 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
266 g_j(x_k) +
\nabla g_j(x_k)^
\top d
\leq 0, \
\forall j
\in \
{1,
\ldots,p\
} \\
267 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
271 et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $
\lambda^
{\prime} $ et $
\mu^
{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement.
272 \item $ x_
{k+
1} = x_k + d_k; \
\lambda_{k+
1} =
\lambda^
{\prime}; \
\mu_{k+
1} =
\mu^
{\prime}; \ k := k +
1 $.
274 \item Retourner $ x_k $.
284 % \section{Algorithme de D.V. et G.V. Chudnovsky (1987)}
286 % \subsection{Avec des places rationnelles}
289 % \begin{frame}{Algorithme original de Chudnovsky et Chudnovsky}
293 % \subsection{Principe}
296 % \begin{frame}{Principe pour multiplier avec l'algorithme de Chudnovsky}
300 % \subsection{Avec des places de degré un et deux}
303 % \begin{frame}{Evaluations sur des places de degré 1 et 2}
307 % \section{Conditions permettant l'utilisation de l'algorithme}
309 % \subsection{Conditions principales}
312 % \begin{frame}{Conditions suffisantes pour appliquer l'algorithme}
316 % \subsection{Applications}
319 % \begin{frame}{Le cas des extensions de petits degré}
323 % \begin{frame}{Algorithme de Chudnovsky sur un corps de fonctions hyperelliptique de genre 2}
328 % \begin{frame}{Exemple pour les \textit{petites} extensions $\F_{16^n}$ de $\F_{16}$}
332 % \setbeamercovered{transparent}
338 % %%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%%
341 % %%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%%
344 % %%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%%
346 % \section{Nouveau résultats}
348 % \subsection{Bornes uniformes connues}
354 % \subsection{Nouvelles bornes uniformes}
361 % \begin{frame}{Corps de fonctions sur $\F_{p^2}$}
369 % %%%%%%%%%%%%% T %%%%%%%%%%%%%%%
379 % \section{Conclusions et perspectives}
381 % \subsection{Problèmes et/ou travail en cours}
385 % \begin{frame}{Conclusion}
396 \begin{beamerboxesrounded
}%
397 [lower=block title,
%
401 {\Large \textbf{{\color{mycvblue
}Merci pour votre attention.
}}}\\
403 {\Large \textbf{{\color{mycvblue
}Questions?
}}}\\
405 \end{beamerboxesrounded
}