[Projet_Recherche_Operationnelle.git] / rapport / ProjetOptimRO.tex

\documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book}


%%%%%Packages


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%%%%%Marges & en-t\^etes

\geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm}
\fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
\fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
\fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
\renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut
\addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} % filet en bas


%%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions

\newtheorem{Def}{D\'efinition}
\newtheorem{Not}[Def]{Notation}
\newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{Prop}[Th]{Proposition}
\newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire}
\newtheorem{Rmq}{Remarque}

\newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1\right\Vert}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%Page de garde

\begin{center}

 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
 \includegraphics[scale=0.5]{polytech.png}\\

 \vspace*{0.5cm}

 \footnotesize{
  \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
  \large \bf  5ème année\\
 }

 \vspace*{0.5cm}

 %\large{Master 2 Professionnel\\
 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}

 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\}

 \vspace*{0.7cm}

 \begin{tabular}{c}
  \hline
  ~                                                           \\
  \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique}      \\
  \LARGE\textbf {en}                                          \\
  \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\
  ~                                                           \\
  \hline
 \end{tabular}

 \vspace*{0.7cm}

 \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\

 \vspace*{0.5cm}

 \large par\\

 %\large  \bsc{}\\
 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\

 \vspace*{0.2cm}
 \large  {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\

 %\vspace*{0.1cm}

 % \large sous la direction de \\

 %\vspace*{0.1cm}

 %Eric Audureau et Thierry Masson

 %\vspace*{1cm}

 \vspace*{1cm}

 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
 \normalsize{Année 2018-2019}

\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\pagestyle{plain}
\frontmatter


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%Table des mati\`eres

\tableofcontents

\begin{figure}[!b]
 \begin{center}
  %\includegraphics{logo_fac2}
  \includegraphics[scale=0.04]{amu}
 \end{center}
\end{figure}

\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\mainmatter
\pagestyle{fancy}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Introduction générale}

\vspace{.5em}

\section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?}

\subsection{Présentation rapide}

La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
\newline
On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.

\subsection{Définition de la problèmatique}

Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
\begin{Def}
 Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
 \newline
 La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par :
 $$
  \mathcal{P} \left \{
  \begin{array}{r c l}
   \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
   g(x) \leq 0                                 \\
   h(x) = 0
  \end{array}
  \right .
 $$
\end{Def}
\begin{Def}
 On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
 $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
\end{Def}
Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $ et $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $ défini dans $ \mathcal{C} $) ainsi que de construction de la solution dans $ \mathcal{C} $.

\section{Qu'est-ce que l'optimisation?}

\subsection{Définition}

La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation.
\newline
Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science.

\subsection{Quelques définitions annexes}

Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
\begin{Def}
Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
\newline
On dit que $ x^\ast $ est \textbf{intérieur} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $ \mathring{A} $.
\end{Def}
\begin{Def}
Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
\newline
On dit que $ x^\ast $ est \textbf{adhérent} à $ A $ si et seulement si $ \forall V \in \mathcal{V}(x^\ast) \ A \cap V \neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $ \overline{A} $.
\end{Def}

\begin{Def}
Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
\newline
On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si
$$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \Longrightarrow |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$
\end{Def}
\begin{Def}
 Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $.
 \newline
 On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application
 $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$
 définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $.
 \newline
 Dans ce cas on note
 $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$
 cette dérivée.
\end{Def}
\begin{Def}
 Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $
 et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $.
 \newline
 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que
 \[
  f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h})
 \]
 Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $
 telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et
 \[
  f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h)
 \]
 On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $.
\end{Def}
\begin{Rmq}
 On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$.
\end{Rmq}
\begin{Def}
 Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
 \newline
 Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
 \[
  \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
 \]
\end{Def}
\begin{Rmq}
 $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $
\end{Rmq}

\subsection{Conditions d'existence d'un extremum}

Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), la recherche du mimimum consiste à faire une descente par gradient de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ avec comme critère d'arrêt : $ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \norme{\nabla J(x^\ast)} < \varepsilon $.
\newline
On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\ast \in \mathring{\mathcal{C}} $ soit un des extremums locaux ou globaux de $ J $ est que $ \nabla J(x^\ast) = 0 $. Mais si $ x^\ast \in \overline{\mathcal{C}}\setminus\mathring{\mathcal{C}} $ (la frontière de $ \mathcal{C} $) alors $ \nabla J(x^\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum.

\subsubsection{Conditions de Kuhn-Tucker et Lagrange}

\begin{Th}
Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
\newline
Une condition nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local est :
\newline
\newline
\centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.}
\newline
\newline
et
$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$
On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
\end{Th}
Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \Longleftrightarrow h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $.
\newline
\newline
Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.

% Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
% Nous utiliserons aussi l'ouvrage de  Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.

%{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème  édition, puf, 2000, \cite{Mavr};
%ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Méthodes de programmation quadratique séquentielle}

% \section{Cahier des charges}
%
% Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera
% à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe).
%
% \vspace{.5em}
%
% Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée
% (citations en note de bas  de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...).
% Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document).
% L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances.
%
% \vspace{.5em}
%
% Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance
% et d'objectivité scientifique. Le document  ne devra pas excéder 10 pages.
% On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document.
%
% \section{Proposition de sujets}
%
% \subsection{Analyse numérique}
%
% \vspace{.5em}
%
% 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires).
%
% \vspace{.5em}
%
% 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables.
%
% \vspace{.5em}
%
% 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc....
%
% \vspace{.5em}

\section{Optimisation}

% \vspace{.5em}

% \subsubsection{Optimisation sans contrainte}
%
% {\bf A- Algorithmes déterministes}
%
% \vspace{.5em}
%
% 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés).
%
% \vspace{.5em}
%
% 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal).
%
% \vspace{.5em}
%
% 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema.
%
% \vspace{.5em}
%
% 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général)
%
% \vspace{.5em}
%
% 5) Méthode de relaxation
%
% \vspace{.5em}
%
% {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques}
%
% \vspace{.5em}
%
% 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov)
%
% \vspace{.5em}
%
% 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis)
%
% \vspace{.5em}

\subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes}

% \vspace{.5em}
%
% 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) .
%
% \vspace{.5em}
%
% 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT).
%
% \vspace{.5em}
%
% 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité,
% méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation,
% méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming),
% méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc...
%
% \vspace{.5em}
%
% \subsection{Recherche opérationnelle}
%
% \vspace{.5em}
%
% \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)}
%
% 1) Méthode d'énumération.
%
% \vspace{.5em}
%
% 2) Méthode du simplexe.
%
% \vspace{.5em}
%
% 3) Application à des problèmes de R.O:
%
% \vspace{.5em}
%
% \hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}.
%
% \vspace{.5em}
%
% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
%
% \vspace{.5em}
%
% \hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice?
%
% \vspace{.5em}
%
% \hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant :
%
% \vspace{.5em}
%
% \begin{center}
%  $
%   \begin{array}{|c|c|c|c|}
%    \hline
%    Atelier & A   & B   & C   \\
%    \hline
%    Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\
%    \hline
%    Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\
%    \hline
%   \end{array}
%  $
% \end{center}
%
% \vspace{.5em}
%
% Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines.
%
% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
%
% \vspace{.5em}
%
% \hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique?
%
% \vspace{.5em}

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{stdlib_sbphilo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}


\begin{thebibliography}{6}\input{MemoireM2Ballet6.synctex.gz(busy)}

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\end{thebibliography}