1 \documentclass[12pt,oneside,
a4paper]{book
}
10 \usepackage{mathtools
}
12 \usepackage[utf8
]{inputenc}
13 \usepackage[francais
]{babel
}
18 \usepackage[T1]{fontenc}
21 \usepackage{tocbibind
}
25 %%%%%Marges & en-t\^etes
27 \geometry{hmargin=
2.3cm, vmargin=
3cm
}
28 \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
29 \fancyhead[FC
]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
30 \fancyhead[HC
]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
31 \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt
} % filet en haut
32 \addtolength{\headheight}{0.5pt
} % espace pour le filet
33 \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt
} % filet en bas
36 %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions
38 \newtheorem{Def
}{D\'efinition
}
39 \newtheorem{Not
}[Def
]{Notation
}
40 \newtheorem{Th
}{Th\'eor\`eme
}
41 \newtheorem{Prop
}[Th
]{Proposition
}
42 \newtheorem{Cor
}[Th
]{Corollaire
}
43 \newtheorem{Rmq
}{Remarque
}
45 \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
47 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
48 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
52 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
53 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
59 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
60 \includegraphics[scale=
0.5]{polytech.png
}\\
65 \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
66 \large \bf 5ème année\\
71 %\large{Master 2 Professionnel\\
72 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}
74 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\
}
81 \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique ou PQS
} \\
83 \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes
} \\
90 \includegraphics[scale=
0.4]{CE.PNG
}\\
97 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\
100 \large {\bf Jérôme
\bsc{Benoit
} et Sylvain
\bsc{Papa
}}\\
104 % \large sous la direction de \\
108 %Eric Audureau et Thierry Masson
114 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
115 \normalsize{Année
2018-
2019}
119 \thispagestyle{empty
}
124 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
125 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
132 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
133 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
136 %%%%%Table des mati\`eres
142 %\includegraphics{logo_fac2}
143 \includegraphics[scale=
0.04]{amu
}
150 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
151 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
158 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
159 \chapter{Introduction générale
}
161 L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS.
163 Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet.
167 \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
}
169 \subsection{Présentation rapide
}
171 La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
173 On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.
175 \subsection{Définition de la problèmatique
}
177 Définissons le problème central $
\mathcal{P
} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
179 Soient $(n, p, q)
\in \mathbb{N
}^
3$, $x
\in \mathbb{R
}^n$, une fonction $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}$.
181 La problèmatique $
\mathcal{P
} $ se définit par :
185 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
193 On définit $
\mathcal{C
} $ l'ensemble des contraintes par :
194 $$
\mathcal{C
} =
\left \
{ x
\in \mathbb{R
}^n \ | \ g(x)
\leq 0 \land h(x) =
0 \right \
} $$
196 Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($
\mathcal{C
} \neq \emptyset $ et $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $ défini dans $
\mathcal{C
} $) ainsi que de construction d'une solution dans $
\mathcal{C
} $.
198 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?
}
200 \subsection{Définition
}
202 La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est l'activité principale de l'optimisation.
204 Si la modélisation de la problèmatique $
\mathcal{P
} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est, elle, une science.
206 \subsection{Quelques définitions annexes
}
208 Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
210 On définit le Lagrangien associé à $
\mathcal{P
} $ par :
211 $$
\begin{array
}{r c l
}
212 L :
\mathbb{R
}^n
\times \mathbb{R
}^q
\times \mathbb{R
}_+^p &
\longrightarrow &
\mathbb{R
} \\
213 (x,
\lambda,
\mu) &
\longmapsto & L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\sum\limits_{i=
0}^
{q
} \lambda_i h_i(x) +
\sum\limits_{j=
0}^
{p
} \mu_j g_j(x) \\
214 & & L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\langle \lambda,h(x)
\rangle_{\mathbb{R
}^q
} +
\langle \mu,g(x)
\rangle_{\mathbb{R
}^p
}
216 où l’on note $
\lambda $ et $
\mu $ les vecteurs de coordonnées respectives $ (
\lambda_1,
\ldots,
\lambda_q) $ et $ (
\mu_1,
\ldots,
\mu_p) $.
219 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
221 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{intérieur
} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^
\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $
\mathring{A
} $.
224 $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ est un ouvert $
\iff A =
\mathring{A
} $.
227 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
229 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{adhérent
} à $ A $ si et seulement si $
\forall V
\in \mathcal{V
}(x^
\ast) \ A
\cap V
\neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $
\overline{A
} $.
232 $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ est un fermé $
\iff A =
\overline{A
} $.
235 Soient une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
237 On dit que $ f $ est continue en $ x^
\ast $ si
238 $$
\forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\exists \alpha \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\norme{x - x^
\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^
\ast)|
\leq \varepsilon $$
241 Soient $ k
\in \
{ 1,
\ldots,n \
} $ et une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $.
243 On dit que la $ k^
{ième
} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $ si l’application
244 $$ t
\longmapsto f(x^
\ast_1,
\ldots,x^
\ast_{k-
1},x^
\ast_k + t,x^
\ast_{k+
1},
\ldots,x^
\ast_n) $$
245 définie sur un voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
} $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $ est dérivable en $
0 $.
248 $$
\frac{\partial f
}{\partial x_k
}(x^
\ast) $$ ou $$
\partial_k f(x^
\ast) $$
252 Soient une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $
253 et $ x^
\ast, h
\in \mathbb{R
}^n $.
255 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^
\ast $ si il existe une application linéraire $ d_
{x^
\ast}f $ de $
\mathbb{R
}^n $ dans $
\mathbb{R
} $ telle que
257 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\underset{h
\rightarrow 0}{\mathrm{o
}}(
\norme{h
})
259 Autrement dit il existe une application $
\varepsilon_{x^
\ast} $ définie sur le voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
}^n $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $
260 telle que $
\lim\limits_{h
\rightarrow 0} \varepsilon_{x^
\ast}(h) =
0 $ et
262 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\norme{h
}\varepsilon_{x^
\ast}(h)
264 On appelle $ d_
{x^
\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^
\ast $.
267 On peut démontrer que : $$ d_
{x^
\ast}f =
\sum_{i=
1}^n
\frac{\partial f
}{\partial x_i
}(x^
\ast) $$.
270 Soit une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable.
272 Le gradient de $ f $, noté $
\nabla f$, en $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n$ se définit par :
274 \nabla f(x^
\ast) = (
\frac{\partial f
}{\partial x_1
}(x^
\ast),
\ldots,
\frac{\partial f
}{\partial x_n
}(x^
\ast))
278 $
\forall h
\in \mathbb{R
}^n \ d_
{x^
\ast}f(h) =
\langle \nabla f(x^
\ast),h
\rangle $
281 Soit $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ un fonction de classe $
\mathcal{C
}^
2 $.
282 On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^
\ast $ par :
285 \frac{\partial^
2 f
}{\partial x_1^
2}(x^
\ast) &
\cdots &
\frac{\partial^
2 f
}{\partial x_1
\partial x_n
}(x^
\ast) \\
287 \frac{\partial^
2 f
}{\partial x_n
\partial x_1
}(x^
\ast) &
\cdots &
\frac{\partial^
2 f
}{\partial x_n^
2}(x^
\ast)
292 \item $ H
[f
](x^
\ast) $ est une matrice symétrique (Théorème de symétrie de Schwarz).
293 \item On a le développement de Taylor-Young à l'ordre
2 en $ x^
\ast $ suivant :
294 $$ f(x^
\ast + v) = f(x^
\ast) +
\langle \nabla f(x^
\ast),v
\rangle +
\frac{1}{2} v^
\top H
[f
](x^
\ast) v +
\varepsilon(v) $$
296 $$ f(x^
\ast + v) = f(x^
\ast) +
\langle \nabla f(x^
\ast),v
\rangle +
\frac{1}{2} \langle H
[f
](x^
\ast)v,v
\rangle +
\varepsilon(v) $$
297 avec $
\frac{|
\varepsilon(v)|
}{\norme{v
}} \rightarrow 0 $ quand $
\norme{v
} \rightarrow 0 $.
301 Elle repose entièrement sur deux autres théorèmes dont les preuves sont connues et de la réécriture de formulation de résultat.
304 \subsection{Conditions d'existence d'un extremum
}
306 On peut démontrer que $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé de $
\mathbb{R
}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
307 On peut en déduire que si $ J $ est continue, $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé et borné de $
\mathbb{R
}^n $.
308 \begin{Th
}[Théorème de Weierstrass
]
309 Soient $
\mathcal{C
} \neq \emptyset \subset \mathbb{R
}^n $ un fermé borné et $ f :
\mathcal{C
} \longrightarrow \mathbb{R
} $ une fonction continue.
311 Alors : $$
\exists x^
\ast \in \mathcal{C
} \
\forall x
\in \mathcal{C
} \ f(x)
\geq f(x^
\ast) $$
312 Autrement dit $ x^
\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
314 De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
316 On en déduit que $
\mathcal{P
} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues
\cite{LJK,RON
}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ permet d'explorer l'unicité de la solution
\cite{LJK,RON
}.
318 \subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum
}
320 Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $
\mathcal{C
}^
1 $), la recherche du mimimum consiste à faire des descentes par gradient
[section
\ref{descente
}] de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i =
\displaystyle\min_{x
\in \mathcal{C
}} J(x)
\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\norme{\nabla J(x_i)
} <
\varepsilon $, $ i
\in \mathbb{N
} $
\cite{FEA
}.
322 On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^
\ast \in \mathring{\mathcal{C
}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $
\nabla J(x^
\ast) =
0 $. Mais si $ x^
\ast \in \overline{\mathcal{C
}}\setminus\mathring{\mathcal{C
}} $ (la frontière de $
\mathcal{C
} $) alors $
\nabla J(x^
\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum local
\cite{FEA,WAL
}.
324 \subsubsection{Conditions de Karuch-Kuhn-Tucker
}\label{KKT
}
327 Soient $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $, $ I = \
{ 1,
\ldots,p \
} $ et $ J = \
{ 1,
\ldots,q \
} $.
329 Les conditions nécessaires pour que $ x^
\ast \in \mathcal{C
}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
332 \centerline{$ \
{ \nabla g_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla g_p(x^
\ast),
\nabla h_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla h_q(x^
\ast) \
} $ sont linéairement indépendants.
}
336 $$
\forall i
\in I \
\exists \mu_i \in \mathbb{R
}_
{+
} \land \forall j
\in J \
\exists \lambda_j \in \mathbb{R
} \
\nabla J(x^
\ast) +
\sum_{i
\in I
}\mu_i{\nabla g_i(x^
\ast)
} +
\sum_{j
\in J
}\lambda_j{\nabla h_j(x^
\ast)
} =
0 \land \forall i
\in I \
\mu_i \nabla g_i(x^
\ast) =
0 $$
337 On appelle $ (
\mu_i)_
{i
\in I
}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (
\lambda_j)_
{j
\in J
}$ les multiplicateurs de Lagrange.
340 Elle repose sur le lemme de Farkas
\cite{FEA,RON
}.
342 Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\forall i
\in \
{ 1,
\ldots,q \
} \ h_i(x) =
0 \iff h_i(x)
\leq 0 \land h_i(x)
\geq 0 $
\cite{FEA
}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $
\mathcal{P
} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions
\textit{KKT
} à vérifier mais rajoute $
2q $ conditions d'inégalités et donc $
2q $ multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
345 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
347 \chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle
}
349 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS.
353 \section{Methode de descente
}\label{descente
}
355 Nous supposons que le domaine des contraintes de $
\mathcal{P
} $ est un ouvert de $
\mathbb{R
}^n $ (c'est à dire que nous n'avons pas de contraintes) et $ J $ est une fonction définie sur $
\mathbb{R
}^n $ à valeurs réelles supposée différentiable, voire même deux fois différentiable. Les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre expriment le fait qu’il n’est pas possible de “descendre” à partir d’un point de minimum (local ou global). Cette observation va servir de point de départ à l’élaboration des méthodes dites de descente.
357 Partant d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ de $
\mathbb{R
}^n $ définie par :
358 $$ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
},d_k
\in \mathbb{R
}^n $ et avec
359 $$
\forall k
\in \mathbb{N
} \ J(x_
{k+
1})
\leq J(x_k) $$
360 Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée
\textit{recherche linéaire
}.
362 \subsection{Définition d'une direction de descente
}
364 Un vecteur $ d
\in \mathbb{R
}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ si $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ est strictement décroissante en $ t =
0 $, c’est-à-dire :
365 $$
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
366 Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines direc-
369 Soient $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable et $ d
\in \mathbb{R
}^n $.
371 d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ ssi :
372 $$
\nabla J(x_0)^
\top d <
0 $$
374 $$
\forall \beta <
1 \in \mathbb{R
}_
{+
} \
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t
\beta \nabla J(x_0)^
\top d < J(x_0) $$
377 Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre
1.
379 Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la
380 direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $ , est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :
384 ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
386 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire.
388 \textit{Sortie
}: une approximation de la solution du problème : $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $.
391 \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
393 \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $
\nabla J(x_k)^
\top d_k <
0 $.
394 \item \textit{Recherche linéaire
} : Choisir un pas $ s_k >
0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$
395 \item Mise à jour : $ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k; \ k := k +
1 $.
397 \item Retourner $ x_k $.
402 \subsection{Choix de la direction de descente
}
404 Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement
405 simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de
408 \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -
\nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes de gradient
}.
409 \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes Newtoniens
}.
411 Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($
\iff \nabla J(x_k) =
0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas étudiées dans le cadre de ce projet.
413 \subsection{Critère d’arrêt
}
415 Soit $ x^
\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^
\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,
\ldots,x_k,
\ldots $ de points de $
\mathbb{R
}^n $ qui converge vers $ x^
\ast $.
417 En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête
418 toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment
419 proche de $ x^
\ast $.
421 Soit $
\varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable
422 sans contrainte, on testera si
423 $$
\norme{\nabla J(x_k)
} <
\varepsilon, $$
424 auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.
426 En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à
427 d’autres critères fondés sur l’expérience du numérique :
429 \item Stagnation de la solution : $
\norme{x_
{k+
1} - x_k
} <
\varepsilon(
1 +
\norme{x_k
}) $.
430 \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_
{k+
1}) - J(x_k)| <
\varepsilon(
1 + |J (x_k)|) $.
431 \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
433 et généralement une combinaison de ces critères :
438 Test d’optimalité satisfait \\
439 OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
440 OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
443 \subsection{La recherche linéaire
}
445 Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
447 Soit $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s >
0 $ de sorte que :
448 $$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
449 Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver
450 le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont
451 donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.
455 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_
{k-
1} $
461 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $
\displaystyle\min_{s
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
}} J(x_k + sd_k) $
465 Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne
466 s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de
467 la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le
468 cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très
469 précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme
470 c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches
471 linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait
472 “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont
473 acceptables et ceux qui ne le sont pas.
475 On appelle $
\varphi : s
\in \mathbb{R
} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
478 Dans le cas où $ J $ est différentiable sur $
\mathcal{C
} $, on dit que un algorithme de descente converge ssi
479 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
482 \subsubsection{Principe de démonstration de convergence
}
484 Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence glo-
485 bale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du
487 $$ J(x_k) - J(x_
{k+
1})
\geq c
\norme{\nabla J(x_k)
}^
2, $$
488 où $ c $ est un constante réelle.
490 En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $
0 $ à $ N -
1 $, on obtient :
491 $$
\forall N
\in \mathbb{N
} \ J(x_0) - J(x_N)
\geq c
\sum_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2 $$
492 Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (
\sum\limits_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2)_
{N
\in \mathbb{N
}} $ converge, ce qui implique :
493 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
494 L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $
\varphi $ et le choix d'une direction ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.
496 \section{Méthode Newtonienne
}
498 Les hypothèses sur $
\mathcal{P
} $ de la section précédente restent les mêmes dans cette section. L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de
499 Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) =
0 $. En optimisation sans contrainte,
500 l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
501 $$
\nabla J(x) =
0, $$
502 autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
504 En supposant $ J $ de classe $
\mathcal{C
}^
2 $ et la matrice hessienne $ H
[J
](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
505 $$ x_
{k+
1} = x_k - H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
506 où $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
507 $$
\underset{d
\in \mathbb{R
}^n
}{\mathrm{argmin
}} \ J(x_k) +
\langle \nabla J(x_k),d
\rangle +
\frac{1}{2}\langle H
[J
](x_k)d,d
\rangle $$
508 Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation de second ordre de
509 $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
510 A condition que la matrice $ H
[J
](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode
511 de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $
1 $ . Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
513 \begin{tabular
}{|p
{20em
}|p
{20em
}|
}
515 Avantages & Inconvénients \\
517 sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par
2 à chaque itération). & \\
519 & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H
[J
](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\
521 & le coût de résolution du système linéaire $ H
[J
](x_k )(x_
{k+
1} - x_k) =
\nabla J(x_k) $. \\
523 & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
525 & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
529 La question que l’on se pose est donc : comment forcer la convergence globale de l’algorithme de Newton ? L’idée des méthodes de type Newton consiste à reprendre
530 l’algorithme de Newton en remplaçant les itérations par :
531 $$ x_
{k+
1} = x_k - s_k H_k^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
534 \item la matrice $ H_k $ est une approximation de la hessienne $ H
[J
](x_k) $.
535 \item $ s_k >
0 $ est le pas calculé par une recherche linéaire bien choisie.
537 Plusieurs questions se posent alors :
539 \item Comment déterminer une matrice $ H_k $ qui soit une “bonne” approximation de la hessienne à l’itération $ k $ sans utiliser les informations de second ordre et garantir que $ H_k^
{-
1} \nabla J(x_k) $ soit bien une direction de descente de $ J $ en $ x_k $, sachant que la direction de Newton, si elle existe, n’en est pas nécessairement une ?
540 \item Comment conserver les bonnes propriétés de l’algorithme de Newton ?
542 Nous ne répondrons pas à ces questions qui sont hors du cadre de ce projet. Cette section permet de rendre compte de la filiation entre la méthode PQS et celle Newtonienne.
544 \section{Méthode PQS (ou SQP)
}
546 Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $
\mathcal{C
}^
1 $.
547 Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste
548 à déterminer un point optimal $ x^
\ast $ et des multiplicateurs associés $ (
\lambda^
\ast,
\mu^
\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^
\ast $, les multiplicateurs $ (
\lambda,
\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^
\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche d’un multiplicateur en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par
\textit{dualité
}.
550 \subsection{Algorithmes newtoniens
}
552 Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $
1 $. Ces algorithmes sont
\textit{primaux-duaux
} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_
{k
\in \mathbb{N
}} $ convergeant vers une solution $
\overline{x
} $ du problème considéré, et une suite géométrique duale $ (
\lambda^k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $
\overline{\lambda} $ associé à $
\overline{x
} $.
554 \subsection{Algorithme PQS
}
556 \subsubsection{Contraintes d’égalité
}
558 Considérons un problème d’optimisation différentiable $
\mathcal{P
} $ avec contraintes d’égalité :
562 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
567 où $ J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ sont supposées au moins différentiables.
569 Les conditions d’optimalité de Lagrange (ou
\textit{KKT
}) s’écrivent :
570 $$
\nabla L(x,
\lambda) =
0 \iff \nabla J(x) +
\sum\limits_{i=
0}^
{q
} \lambda_i \nabla h_i(x) =
0 $$
571 donc $
\mathcal{P
} $ devient :
573 \nabla J(x) +
\sum\limits_{i=
0}^
{q
} \lambda_i \nabla h_i(x) \\
575 \end {pmatrix
} =
0 $$
576 Pour résoudre ce système d’équations, utilisons la méthode de Newton dont une itération s’écrit ici :
578 \bibliographystyle{plain
}
579 \bibliography{stdlib_sbphilo
}
581 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%