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index 242aa5ebaf6e494e239323935ca1ba05542f252f..372670f6167b036fa74ce7f8913ff20c2a746fdd 100644 (file)
--- a/rapport/ProjetOptimRO.tex
+++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex
@@ -514,7 +514,7 @@ En supposant $ J $ de classe $ \mathcal{C}^2 $ et la matrice hessienne $ H[J](x_
 $$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$
 où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
 $$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$
-Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation de second ordre de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
+Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
 À condition que la matrice $ H[J](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $ 1 $.
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 Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
@@ -720,7 +720,7 @@ En posant $ d = x - x_k $ et $ H_k = H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) $, on obtient le
 
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-ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INEGALITÉ.
+ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.
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 \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
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@@ -734,7 +734,7 @@ ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INEGALITÉ.
                \mathcal{PQ}_k \left \{
                \begin{array}{l}
                 \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
-                g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d = 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\}                 \\
+                g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\}              \\
                 h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
                \end{array}
                \right .
@@ -781,7 +781,7 @@ $$
  \end{array}
  \right .
 $$
-où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$
+où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^{*^3} \land r < r_1 \land r < r_2. $$
 \textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = $ multiplicateur initial.
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 Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$