$ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle = \nabla f(x^\ast)^\top h $
\end{Rmq}
\begin{Def}
- Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ un fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $.
+ Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $.
On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^\ast $ par :
$$ H[f](x^\ast) =
\begin{pmatrix}
$$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$
où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
$$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$
-Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation de second ordre de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
+Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
À condition que la matrice $ H[J](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $ 1 $.
\newline
Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $ \mathcal{C}^1 $. Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste à déterminer un point optimal $ x^\ast $ et des multiplicateurs associés $ (\lambda^\ast,\mu^\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^\ast $, les multiplicateurs $ (\lambda,\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche des multiplicateurs en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par \textit{dualité}.
+\subsection{Problème quadratique sous contraintes linéaires}
+
+Nous introduisons les différentes approches développées pour la résolution des problèmes de programmation quadratique avec contraintes d'égalités et d’inégalités linéaires.
+\newline
+Ce type de problème quadratique se pose sous la forme :
+$$
+ \mathcal{PQ} \left \{
+ \begin{array}{l}
+ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} c^\top x + \frac{1}{2} x^\top \mathcal{Q} x \\
+ A^\top x + b \leq 0 \\
+ A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0
+ \end{array}
+ \right .
+$$
+où $$ \mathcal{Q} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \ symétrique, c \in \mathbb{R}^n, A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^p, A^\prime \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R}), b^\prime \in \mathbb{R}^q $$
+Or
+$$ A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0 \iff A^{\prime^\top} x + b^\prime \leq 0 \land -A^{\prime^\top} x - b^\prime \leq 0 $$
+Donc le problème se ramène à :
+
+\subsubsection{Algorithme 1}
+
+\subsubsection{Algorithme 2}
+
\subsection{Algorithmes Newtoniens}
Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $ 1 $. Ces algorithmes sont \textit{primaux-duaux} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_{k \in \mathbb{N}} $ convergeant vers une solution $ \overline{x} $ du problème considéré, et une suite duale $ (\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}} $ (resp. $ ((\lambda_k, \mu_k))_{k \in \mathbb{N}} $) de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $ \overline{\lambda} $ (resp. $ (\overline{\lambda},\overline{\mu}) $) associé à $ \overline{x} $.
\hrulefill
\newline
-ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INEGALITÉ.
+ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.
\newline
\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
\newline
\mathcal{PQ}_k \left \{
\begin{array}{l}
\displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
- g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d = 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
+ g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
\end{array}
\right .
\end{array}
\right .
$$
-où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$
-Les hypothèses : $ J $ et $ g $ sont de classe $ \mathcal{C}^2 $.
+où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^{*^3} \land r < r_1 \land r < r_2. $$
+\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = $ multiplicateur initial.
+\newline
+Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$
\newline
-Le Lagrangien de $ \mathcal(P) $ : $ L(x,y,z,\lambda) = $
+Le gradient de $ J $ : $$ \nabla J(x,y,z) = (\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)) = (2x,2y,2z). $$
\newline
-Le gradient de $ J $ : $ \nabla J(x,y,z) = (\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)) = $
+Le gradient de $ g $ : $$ \nabla g(x,y,z) = (\nabla g_1(x,y,z),\nabla g_2(x,z,z)) $$
+$$ = ((\frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial z}(x,y,z)),(\frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial z}(x,y,z)) $$
+$$ = ((2x,2y,0),(2x,0,2z)). $$
\newline
-Le gradient de $ g $ : $ \nabla g(x,y,z) = (\nabla g_1(x,y,z),\nabla g_2(x,z,z)) = $
+Le gradient du Lagrangien $ L $ :
+$$ \nabla L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x,y,z) + \lambda_1 \nabla g_1(x,y,z) + \lambda_2 \nabla g_2(x,y,z)) $$
\newline
-La matrice hessienne de $ J $ : $ H[J](x,y,z) =
+La matrice hessienne de $ J $ : $$ H[J](x,y,z) =
\begin{pmatrix}
- \frac{\partial^2 J}{\partial^2 x} & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial z} \\
- \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial x} & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 y} & \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial z} \\
- \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial x} & \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial y} & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 z} \\
+ \frac{\partial^2 J}{\partial^2 x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial z}(x,y,z) \\
+ \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial z}(x,y,z) \\
+ \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 z}(x,y,z) \\
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
- & & \\
- & & \\
- & & \\
- \end{pmatrix} $
+ 2 & 0 & 0 \\
+ 0 & 2 & 0 \\
+ 0 & 0 & 2 \\
+ \end{pmatrix} = 2Id_{\mathbb{R}^3} $$
+On en déduit que $ H[J](x,y,z) $ est inversible et que $ H[J](x,y,z)^{-1} = \frac{1}{2}Id_{\mathbb{R}^3} $.
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