$$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$
où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
$$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$
-Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation de second ordre de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
+Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
À condition que la matrice $ H[J](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $ 1 $.
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Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
\right .
$$
où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$
-\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = (0.01,0.01,0.01) $, $ (x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$ et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1 , 1)$, les rayons : $r= 40$ et $r1= r2= 10$.
+\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$ et $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1 , 1)$, les rayons : $r= 40$ et $r1 = r2 = 10$.
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Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$
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\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (280, 60, 200)$
- \STATE $ (\varepsilon ,\varepsilon ,\varepsilon ) = \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) $
+ \STATE $ \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = (x_L , y_L, z_L) $
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\STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
\STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}*\nabla J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(80,20,60))$
\STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
\STATE {//Incrémentation de k}
- \STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 1$
+\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 1$
\ENDWHILE