\subsection{Présentation rapide}
-La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement l'analyse numérique, les probabilités, la statistique et l'algorithmie.
+La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
\newline
-On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision.
+On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.
\subsection{Définition de la problèmatique}
-Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle.
+Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
\begin{Def}
Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
\newline
On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
$$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
\end{Def}
-Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une solution.
+Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $ et $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $ défini dans $ \mathcal{C} $) ainsi que de construction d'une solution dans $ \mathcal{C} $.
\section{Qu'est-ce que l'optimisation?}
-La recherche d'un optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
+\subsection{Définition}
+
+La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation.
+\newline
+Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science.
+
+\subsection{Quelques définitions annexes}
+
+Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
+\begin{Def}
+Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
+\newline
+On dit que $ x^\ast $ est \textbf{intérieur} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $ \mathring{A} $.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
+\newline
+On dit que $ x^\ast $ est \textbf{adhérent} à $ A $ si et seulement si $ \forall V \in \mathcal{V}(x^\ast) \ A \cap V \neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $ \overline{A} $.
+\end{Def}
+\begin{Def}
+Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
+\newline
+On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si
+$$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$
+\end{Def}
+\begin{Def}
+ Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $.
+ \newline
+ On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application
+ $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$
+ définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $.
+ \newline
+ Dans ce cas on note
+ $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$
+ cette dérivée.
+\end{Def}
\begin{Def}
Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $
et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $.
+ \newline
On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que
\[
f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h})
\[
f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h)
\]
+ On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $.
\end{Def}
+\begin{Rmq}
+ On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$.
+\end{Rmq}
\begin{Def}
Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
\newline
\nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
\]
\end{Def}
-Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues (ou de classe $ \mathcal{C}^1 $),
-une condition suffisante et nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums local ou global est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $.
+\begin{Rmq}
+ $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $
+\end{Rmq}
+
+\subsection{Conditions d'existence d'un extremum}
+
+On peut démontrer que $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
+On peut en déduire que si $ J $ est continue, $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $.
+\begin{Th}[Théorème de Weierstrass]
+Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue.
\newline
-Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.
+Alors : $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$
+Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
+\newline
+De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
+\end{Th}
+On en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues. L'étude de la convexité de $ J $ permet d'explorer l'unicité de la solution \cite{LJK}.
-% Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
-% Nous utiliserons aussi l'ouvrage de Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.
+\subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum}
-%{\it La relativité}, Que sais-je?, 4ème édition, puf, 2000, \cite{Mavr};
-%ainsi que Jean Hladik, {\it La relativité selon Einstein}, L'esprit des sciences, Ellipses, 2000, \cite{Hlad}.
+Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), la recherche du mimimum consiste à faire une descente par gradient de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i = \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \norme{\nabla J(x_i)} < \varepsilon $, $ i \in \mathbb{N} $ \cite{FEA}.
+\newline
+On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\ast \in \mathring{\mathcal{C}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $ \nabla J(x^\ast) = 0 $. Mais si $ x^\ast \in \overline{\mathcal{C}}\setminus\mathring{\mathcal{C}} $ (la frontière de $ \mathcal{C} $) alors $ \nabla J(x^\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum \cite{FEA,WAL}.
+
+\subsubsection{Conditions de Kuhn-Tucker et Lagrange}
+
+\begin{Th}
+Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
+\newline
+Une condition nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local est :
+\newline
+\newline
+\centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.}
+\newline
+\newline
+et
+$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$
+On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
+\end{Th}
+Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \iff h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $.
+\newline
+\newline
+Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Méthodes de programmation quadratique séquentielle}
-% \section{Cahier des charges}
-%
-% Il s'agit de travailler en binôme ou bien seul sur des sujets complémentaires et d'approfondissement du cours. Le travail en question effectué durant les TDs consistera
-% à effectuer un dossier sur un thème. Le dossier devra être tapé en Latex ou Tex puisque il peut y avoir des formules de mathématiques ou de physiques. Il pourra aussi comporter une partie "implémentation effective" d'algorithmes (en annexe).
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% Sur la fond, toutes les sources de connaissance utilisées devront être citées. En particulier, la méthodologie universitaire sera privilégiée
-% (citations en note de bas de page et dans le corps du document, liste des références en fin de document dans la bibliographie, etc...).
-% Wikipédia pourra être utilisé mais cela devra être mentionné en tant que référence (note de bas de page ou citation dans le corps du document).
-% L'accent sera essentiellement mis sur la démarche scientifique utilisée à égal niveau avec le contenu acquis des connaissances.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% Plusieurs sources devront être croisées afin de prétendre au maximum de vraisemblance
-% et d'objectivité scientifique. Le document ne devra pas excéder 10 pages.
-% On privilégiera les qualités de synthèse, d'organisation ainsi que du contenu du document.
-%
-% \section{Proposition de sujets}
-%
-% \subsection{Analyse numérique}
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 1) Méthode des moindres Carrés (cas général, cas pondéré, cas des équations non linéaires).
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 2) Méthode de Newton-Raphson (cas d'une variable, cas de deux variables) - Application: extrema d'une fonction à deux variables.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 3) Autres méthodes: méthode de Jacobi, de Gauss-Seidel, etc....
-%
-% \vspace{.5em}
-
\section{Optimisation}
-% \vspace{.5em}
-
-% \subsubsection{Optimisation sans contrainte}
-%
-% {\bf A- Algorithmes déterministes}
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 1) Régression linéaire sans contrainte (pré-requis: Méthode des moindres carrés).
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 2) Méthodes de descente: la méthode du gradient (à pas constant ou à pas variable ou à pas optimal).
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 3) Méthode de Newton (ou méthode dite de la tangente) et application à la recherche d'extrema.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 4) Méthodes de descente: méthode du gradient conjugué (cas linéaire et cas général)
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 5) Méthode de relaxation
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% {\bf B- Algorithmes probabilistes ou dit stochastiques}
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 1) Dynamique de métropolis (prérequis: chaines de Markov)
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 2) Recuit simulé sur un ensemble fini et application au problème du voyageur de commerce (prérequis: dynamique de métropolis)
-%
-% \vspace{.5em}
-
\subsubsection{Optimisation ou minimisation avec contraintes}
-% \vspace{.5em}
-%
-% 1) Régression linéaire avec contraintes (prérequis: méthode des moindres carrés, conditions ou équations dites de Karush-kuhn-Tucker (KKT)) .
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 2) Cas de la programmation linéaire (prérequis: Lagrangien et multiplicateurs de Lagrange, conditions de KKT).
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 3) Algorithmes: méthode du gradient projeté, méthode de Lagrange-Newton pour des contraintes en égalité,
-% méthode de Newton projetée pour des contraintes de bornes, méthodes de pénalisation,
-% méthodes de programmation quadratique successive (SQP Sequential Quadratic Programming),
-% méthode de dualité (méthode d'Uzawa, prérequis: théorie de la dualité convexe) etc...
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \subsection{Recherche opérationnelle}
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \subsubsection{La programmation linéaire (cas particulier de l'optimisation avec contraintes)}
-%
-% 1) Méthode d'énumération.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 2) Méthode du simplexe.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% 3) Application à des problèmes de R.O:
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \hspace{.3em} 3.1) Fêtes de Pâques: A l'approche des fêtes de Pâques, un artisan chocolatier décide de confectionner des oeufs en chocolats. En allant inspecter ses réserves, il constate qu'il lui reste 18 kg de cacao, 8 kg de noisettes et 14 litres de lait. Ce chocolatier a deux spécialités: l'oeuf {\it extra} et l'oeuf {\it sublime}. Un oeuf {\it extra} nécessite 1kg de cacao, 1 kg de noisettes et 2 litres de lait tandis qu'un oeuf {\it sublime} nécessite 3 kg de cacao, 1 kg de noisettes et 1 litre de lait. Il fera un bénéfice de 20 euros en vendant un oeuf {\it extra}, et de 30 euros en vendant un oeuf {\it sublime}.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \hspace{.6em} b) Combien d'oeufs extra et sublime doit-il fabriquer pour faire le plus grand bénéfice?
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \hspace{.3em} 3.2) Organisation du travail: La fabrication d'une pièce $P_1$ a un prix de revient de 150 euros et celle d'une pièce $P_2$ coûte 100 euros. Chaque pièce est traitée successivement dans trois ateliers. Le nombre d'heures-machines par pièce est indiqué dans le tableau suivant :
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \begin{center}
-% $
-% \begin{array}{|c|c|c|c|}
-% \hline
-% Atelier & A & B & C \\
-% \hline
-% Pièce 1 & 3 h & 5 h & 2 h \\
-% \hline
-% Pièce 2 & 1 h & 3 h & 3 h \\
-% \hline
-% \end{array}
-% $
-% \end{center}
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% Pour éviter le chômage technique, l'atelier A doit obligatoirement fournir 1200 heures machines, l'atelier B doit obligatoirement fournir 3000 heures machines et l'atelier C doit obligatoirement fournir 1800 heures machines.
-%
-% \hspace{.6em} a) \'Ecrire ce problème sous la forme d'un problème de programmation linéaire.
-%
-% \vspace{.5em}
-%
-% \hspace{.6em} b) Combien faut-il fabriquer de pièces $P_1$ et $P_2$ pour minimiser le coût de revient de l'ensemble de la production et pour assurer le fonctionnement des trois ateliers excluant tout chômage technique?
-%
-% \vspace{.5em}
-
\bibliographystyle{plain}
\bibliography{stdlib_sbphilo}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\end{document}
-
-
-\begin{thebibliography}{6}\input{MemoireM2Ballet6.synctex.gz(busy)}
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