Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
\newline
Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
- \newline
- \newline
- \centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.}
- \newline
- \newline
+ \begin{center}
+ $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.
+ \end{center}
et
- $$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$
+ \begin{center}
+ $ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} $ tels que :
+ \end{center}
+ \begin{center}
+ $ \nabla J(x^\ast) + \sum\limits_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum\limits_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $
+ \end{center}
+ \begin{center}
+ $ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
+ \end{center}
On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
\newline
On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
\hrulefill
\newline
-ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
+ALGORITHME DE DESCENTE GÉNÉRIQUE.
\newline
\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire.
\newline
\subsection{Critère d’arrêt}
-Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
+Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente générique, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
\newline
En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^\ast $.
\hline
& le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\
\hline
- & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
+ & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
\hline
& pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
\hline
\hrulefill
\newline
-ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INEGALITÉ.
+ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ.
\newline
\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée.
\newline
\mathcal{PQ}_k \left \{
\begin{array}{l}
\displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\
- g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0 \\, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
+ g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\
h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\}
\end{array}
\right .
\end{array}
\right .
$$
-où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$
+où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^{*^3} \land r < r_1 \land r < r_2. $$
\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = $ multiplicateur initial.
\newline
Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$
\end{pmatrix} = 2Id_{\mathbb{R}^3} $$
On en déduit que $ H[J](x,y,z) $ est inversible et que $ H[J](x,y,z)^{-1} = \frac{1}{2}Id_{\mathbb{R}^3} $.
-\hrulefill
-
-\subsection{Trace d'éxécution de PQS}
-
-Utilisons le problème $ \mathcal{P} $ précédent :
+\subsection{Trace d'éxécution de l'algorithme PQS}
-$$
- \mathcal{P} \left \{
- \begin{array}{l}
- \displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 \\
- g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 \\
- \end{array}
- \right .
-$$
-où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^3. $$
-\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$ et $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1 , 1)$, les rayons : $r= 40$ et $r1 = r2 = 10$.
+En utilisant le problème $ \mathcal{P} $ précédent :
\newline
-Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$
+\textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $, $ (x_0,y_0,z_0) = (80, 20, 60)$ et $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1, 1)$, les rayons : $r = 40$ et $r_1 = r_2 = 10$.
+\newline
+Calcul du Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ en $ (x_0,y_0,z_0)$ :
\newline
-Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ avec les valeurs :
- $ L((80,20,60),(1,1)) = 80^2 + 20^2 + 60^2 -60^2 + 1 * (80^2 +20y^2 - 30^2) + \lambda_2(80^2 + 60^2 -30^2). $
- $ L((80,20,60),(1,1)) = 6400 + 400 + 3600 - 3600 + (6400 + 400 - 900) + (6400 + 3600 -900). $
- $ L((80,20,60),(1,1)) = 21800. $
+$ L((80,20,60),(1,1)) = 80^2 + 20^2 + 60^2 -60^2 + 1 * (80^2 +20y^2 - 30^2) + \lambda_2(80^2 + 60^2 -30^2), $
+\newline
+$ L((80,20,60),(1,1)) = 6400 + 400 + 3600 - 3600 + (6400 + 400 - 900) + (6400 + 3600 -900), $
+\newline
+$ L((80,20,60),(1,1)) = 21800. $
- \begin{algorithm}
- \caption {PQS du problème $ \mathcal{P} $}
+\begin{algorithm}
+ \caption {Algorithme PQS pour $ \mathcal{P} $}
\begin{algorithmic}
- \REQUIRE $g(x,y,z)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$
- \ENSURE $\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $
- \STATE \textbf{Data :}
- \STATE $k \leftarrow 0$
- \STATE $x_k \leftarrow 80$
- \STATE $y_k \leftarrow 20$
- \STATE $z_k \leftarrow 60$
- \STATE $x_a \leftarrow 30$
- \STATE $y_a \leftarrow 10$
- \STATE $z_a \leftarrow 40$
- \STATE $r \leftarrow 40$
- \STATE $r_1 \leftarrow 10$
- \STATE $r_2 \leftarrow 10$
- \STATE $\varepsilon \leftarrow 0.01$
- \STATE $\lambda_1 = \lambda_2 = 1$
- \STATE $ H[J](x,y,z)^{-1}\leftarrow \begin{pmatrix}
- 0.5 & 0 & 0 \\
- 0 & 0.5 & 0 \\
- 0 & 0 & 0.5 \\ \end{pmatrix} $
-\newline
-
- \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ // résultat : (160,40,120) $
-\newline
- \STATE {//calcule des deux sous partie de du gradient de $ g $: }
- \STATE $ // \nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
- \STATE $ \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) = ((2x_a,2y_a,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$
- \STATE $ \nabla g_2(x_a,y_a,z_a) = (2x_a,0,2z_a))$ \hfill $ //résultat : (60, 0, 80)$
-\newline
- \WHILE{$ (\norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $ or k $ < 10)$}
-
- \STATE { //première itération :}
-
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (280, 60, 200)$
- \STATE $ \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = (x_L , y_L, z_L) $
-\newline
- \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}*\nabla J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(80,20,60))$
- \newline
- \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
- \newline
- \STATE {//Incrémentation de k}
- \STATE $ k \leftarrow k+1$
+ \REQUIRE $\varepsilon = 0.01$, $g(x,y,z)\leq 0$, $(x_0,y_0,z_0) = (80, 20 ,60)$, $(\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = (1, 1)$, $r = 40$ et $r_1 = r_2 = 10$.
+ \ENSURE $\displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2$ and \newline
+ $g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 $
+
+ \STATE \textbf{Data :}
+ \STATE $k \leftarrow 0$
+ \STATE $(x_k,y_k,z_k) \leftarrow (80,20,60)$
+ \STATE $ H[J](x,y,z)^{-1} \leftarrow
+ \begin{pmatrix}
+ 0.5 & 0 & 0 \\
+ 0 & 0.5 & 0 \\
+ 0 & 0 & 0.5 \\
+ \end{pmatrix} $
+
+ \WHILE{($\norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon$ or $k < 10$)}
+
+ \STATE {//Première itération :}
+
+ \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+ \STATE $\nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (160,40,120)$
+
+ \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $ :}
+ \STATE $\nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$
+ \STATE $\nabla g_2(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,0,2z_k))$ \hfill $ //résultat : (60, 0, 80)$
+ \STATE $\nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
+
+ \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k) $ \hfill $ //résultat : (280, 60, 200)$
+
+ \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+ \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}*\nabla J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(80,20,60))$
+
+ \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées :}
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
+
+ \STATE {//Deuxième itération :}
+
+ \STATE {//Incrémentation de k}
+ \STATE $ k \leftarrow k+1$ \hfill $ //résultat : 1$
+
+ \STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
+ \STATE $\nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
+ \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $ :}
+ \STATE $\nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = ((2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (60, 20, 0)$
+ \STATE $\nabla g_2(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,0,2z_k))$ \hfill $ //résultat : (60, 0, 80)$
+ \STATE $\nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
- \STATE {//Deuxième itération :}
- \STATE{//Calcule du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ // résultat : (0,0,0) $
+ \STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $ //résultat : (160, 20, 30)$
-\STATE {//Calcule du gradient de $ L $ : }
-\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_a,y_a,z_a) + \lambda_2 \nabla g_2(x_a,y_a,z_a)) $ \hfill $// résultat : (160, 20, 30)$
- \STATE $ (\varepsilon ,\varepsilon ,\varepsilon ) = \nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) $
+ \STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0,0,0))$
- \STATE {//Calcule de la direction de la pente dk (méthode de Newton) : }
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}*\nabla J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0,0,0))$
- \STATE {//Calcul nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
- \STATE {//Incrémentation de k}
-\STATE $ k \leftarrow k+1$\hfill $ //k = 1$
+ \STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées :}
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0,0,0)$
- \ENDWHILE
+ \ENDWHILE
-\end{algorithmic}
+ \end{algorithmic}
\end{algorithm}
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