Refine the definitions.

[Projet_Recherche_Operationnelle.git] / rapport / ProjetOptimRO.tex

diff --git a/rapport/ProjetOptimRO.tex b/rapport/ProjetOptimRO.tex
index 00d65623b8e1a0e7e0cebf76989512b56ec35239..d70fd98f733dc1f4d25779bd4718fc46f6999a03 100644 (file)
--- a/rapport/ProjetOptimRO.tex
+++ b/rapport/ProjetOptimRO.tex
@@ -72,11 +72,11 @@
 
  \begin{tabular}{c}
   \hline
-  ~                              \\
-  \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique} \\
-  \LARGE\textbf {en}             \\
+  ~                                                           \\
+  \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique}      \\
+  \LARGE\textbf {en}                                          \\
   \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\
-  ~                              \\
+  ~                                                           \\
   \hline
  \end{tabular}
 
@@ -166,31 +166,43 @@ On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la
 
 \subsection{Définition de la problèmatique}
 
-Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite {\it objectif} $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
-\newline
-Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle :
+Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que ce propose de résoudre la recherche opérationnelle.
 \begin{Def}
-$
- \mathcal{P} \left \{
-              \begin{array}{r c l}
-              \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \\
-              g(x) \leq 0 \\
-              h(x) = 0
-              \end{array}
-             \right .
-$
+ Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
+ \newline
+ La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par :
+ $$
+  \mathcal{P} \left \{
+  \begin{array}{r c l}
+   \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
+   g(x) \leq 0                                 \\
+   h(x) = 0
+  \end{array}
+  \right .
+ $$
 \end{Def}
-où $ \mathcal{C} $ est l'ensemble des contraintes défini par :
 \begin{Def}
- $ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n | g(x) \leq 0, h(x) = 0 \right \} $
+ On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
+ $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
 \end{Def}
-Elle doit résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une ou des solution(s).
+Elle doit résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $) ainsi que de construction d'une solution.
 
 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?}
 
-La recherche d'une solution optimale au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
+\begin{Def}
+ Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
+ \newline
+ Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
+ \[
+     \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
+ \]
+\end{Def}
+
+La recherche d'un optimum au problème $ \mathcal{P} $ est l'activité principale de l'optimisation.
 \newline
-Elle
+Dans le cas où $ J $ est continûment différentiable et ses dérivées sont continues,
+une condition suffisante pour que $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ soit un de ses extremums
+est que $ \nabla f(x^\ast) = 0 $
 
 % Dans cette section nous prenons appui sur l'ouvrage {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires} \cite{Berg} de Maïtine Bergounioux \footnote{Maïtine Bergounioux, {\it Optimisation et contrôle des systèmes linéaires}, Dunod, 2001.}.
 % Nous utiliserons aussi l'ouvrage de  Francis Filbet\footnote{Francis Filbet, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique}, Dunod, 2009.}, {\it Analyse numérique - Algorithme et étude mathématique} \cite{Filb}.