Signed-off-by: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>
\begin{center}
$ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
\end{center}
\begin{center}
$ \iff \nabla L(x^\ast,\lambda,\mu) = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $ où $ \lambda = (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ \mu = (\mu_1,\ldots,\mu_p) $.
\end{center}
- On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
- \newline
+ % On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
+ % \newline
On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
\end{theoreme}
\end{frame}
On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre.
\end{theoreme}
\end{frame}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
\STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (200,200,0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
\STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (200,200,0) $
\newline
- \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $:}
- \STATE $ \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (200, 200, 0)$
- \STATE $ \nabla g_2(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,0,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (200, 0, 0)$
+ % \STATE {//Calcul des deux composantes du gradient de $ g $:}
+ % \STATE $ \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,0)$ \hfill $ //résultat : (200, 200, 0)$
+ % \STATE $ \nabla g_2(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,0,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (200, 0, 0)$
% \STATE $ \nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
% \STATE $ \nabla g(x_k,y_k,z_k) = (\nabla g_1(x_k,y_k,z_k), \nabla g_2(x_k,y_k,z_k))$
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (600, 400, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
\STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (600, 400, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1}* \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(50,50,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(50,50,0))$
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (25,25,0)$
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (25,25,0)$
\newline
\STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (25,25,0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
\STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (25,25,0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
- \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (45, 45, 0)$
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (6*12.5, 4*12.5, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1}* \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(12.5,12.5,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(12.5,12.5,0))$
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0)$
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\newline
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 4$
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0)$
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\newline
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 4$
\newline
\STATE {//Cinquième itération :}
\newline
\STATE {//Cinquième itération :}
\STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
\STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (6.25,6.25,0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
- \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (26.25, 26.25, 0)$
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (6*3.125, 4*3.125, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(1.5625,1.5625,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(1.5625,1.5625,0))$
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (1.5625,1.5625,0)$
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (1.5625,1.5625,0)$
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\newline
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 6$
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\newline
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 6$
\STATE {//Septième itération :}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
\STATE {//Septième itération :}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (3.125, 3.125, 0) $
+ \STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (3.125, 3.125, 0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
- \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (23.125, 23.125, 0)$
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (6*1.5625, 4*1.5625, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.78125,0.78125,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(0.78125,0.78125,0))$
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.78125,0.78125,0)$
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (0.78125,0.78125,0)$
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\newline
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 7$
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\newline
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 7$
\STATE {//Huitième itération :}
\STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
\STATE {//Huitième itération :}
\STATE{//Calcul du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (1.5625, 1.5625, 0) $
+ \STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (1.5625, 1.5625, 0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ : }
- \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (21.5625, 21.5625, 0)$
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (6*0.78125, 4*0.78125, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.390625,0.390625,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(0.390625,0.390625,0))$
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k)+ d_k $ \hfill $ //résultat : (0.390625,0.390625,0)$
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (0.390625,0.390625,0)$
\newline
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résulat : k = 8$
\newline
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résulat : k = 8$
\STATE {//Neuvième itération :}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
\STATE {//Neuvième itération :}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.78125, 0.78125, 0) $
+ \STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.78125, 0.78125, 0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
- \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (20.78125, 20.78125, 0)$
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (6*0.390625, 4*0.390625, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.1953125,0.1953125,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(0.1953125,0.1953125,0))$
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.1953125,0.1953125,0)$
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (0.1953125,0.1953125,0)$
\newline
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\STATE $ k \leftarrow k + 1 \hfill //résultat : k = 9$
\newline
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\STATE $ k \leftarrow k + 1 \hfill //résultat : k = 9$
\STATE {//Dixième itération :}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
\STATE {//Dixième itération :}
\STATE {//Calcul du gradient de $ J $ :}
- \STATE $ \nabla J(x,y,z) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.390625, 0.390625, 0) $
+ \STATE $ \nabla J(x_k,y_k,z_k) = (2x_k,2y_k,2z_k)$ \hfill $ //résultat : (0.390625, 0.390625, 0) $
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
\newline
\STATE {//Calcul du gradient de $ L $ :}
- \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (20.390625, 20.390625, 0)$
+ \STATE $\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x_k,y_k,z_k) + \lambda_1 \nabla g_1(x_k,y_k,z_k) + \lambda_2 \nabla g_2(x_k,y_k,z_k)) $ \hfill $//résultat : (6*0.1953125, 4*0.1953125, 0)$
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
\STATE $ \varepsilon_k = \norme{\nabla L((x_k,y_k,z_k),(\lambda_1,\lambda_2))}$
\newline
\STATE {//Calcul de la direction de la pente $ d_k $ (méthode de Newton) :}
- \STATE $ d_k = -H[J](x,y,z)^{-1}* J(x,y,z)$ \hfill $ //résultat : (-(0.097665625,0.097665625,0))$
+ \STATE $ d_k = -H[J](x_k,y_k,z_k)^{-1} * \nabla J(x_k,y_k,z_k)$ \hfill $ //résultat : (-(0.097665625,0.097665625,0))$
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
\newline
\STATE {//Calcul des nouvelles valeurs des coordonnées}
- \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + d_k $ \hfill $ //résultat : (0.097665625,0.097665625,0)$
+ \STATE $ (x_{k+1},y_{k+1},z_{k+1}) = (x_k,y_k,z_k) + s_k d_k $ \hfill $ //résultat : (0.097665625,0.097665625,0)$
\newline
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 10$
\newline
\STATE {//Incrémentation de $ k $}
\STATE $ k \leftarrow k + 1$ \hfill $ //résultat : k = 10$