Fix some maths formula.

Signed-off-by: Jérôme Benoit <jerome.benoit@piment-noir.org>

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index 7370bba682f867a1e46db31c3f23345f94054e01..533615fa236562a231815823660c4129f070607a 100644 (file)
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@@ -196,7 +196,7 @@ Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{
 
 La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation.
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 La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation.
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-Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est une science.
+Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science.

 
 \subsection{Quelques définitions annexes}
 
 
 \subsection{Quelques définitions annexes}
 


@@ -271,13 +271,16 @@ On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\as
 Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
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 Une condition nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local est :
 Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
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 Une condition nécessaire pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local est :

-$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$
-et $ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.

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+\centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.}
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+et
+$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$

 On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
 \end{Th}
 On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
 \end{Th}

-Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i = 0 \Longleftrightarrow \exists g_i \ g_i \leq 0 \land g_i \geq 0 $.
+Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \Longleftrightarrow h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $.

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 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.
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 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle.