Commit | Line | Data |
---|---|---|
e37aec65 JB |
1 | \documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book} |
2 | ||
3 | ||
4 | %%%%%Packages | |
5 | ||
de30386e | 6 | |
e37aec65 | 7 | \usepackage{latexsym} |
66a4e4ad | 8 | \usepackage{amsmath} |
8000c039 | 9 | \usepackage{amsthm} |
66a4e4ad | 10 | \usepackage{mathtools} |
e37aec65 JB |
11 | \usepackage{amssymb} |
12 | \usepackage[utf8]{inputenc} | |
13 | \usepackage[francais]{babel} | |
14 | \usepackage{color} | |
15 | \usepackage{geometry} | |
16 | \usepackage{graphicx} | |
17 | \usepackage{amsfonts} | |
18 | \usepackage[T1]{fontenc} | |
19 | \usepackage{multirow} | |
20 | \usepackage{fancyhdr} | |
21 | \usepackage{tocbibind} | |
22 | \usepackage{lmodern} | |
7fd51f8b | 23 | \usepackage{enumitem} |
e37aec65 JB |
24 | |
25 | ||
26 | %%%%%Marges & en-t\^etes | |
27 | ||
28 | \geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm} | |
29 | \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis | |
30 | \fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas | |
31 | \fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut | |
32 | \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut | |
33 | \addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet | |
66a4e4ad | 34 | \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} % filet en bas |
e37aec65 JB |
35 | |
36 | ||
37 | %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions | |
38 | ||
39 | \newtheorem{Def}{D\'efinition} | |
40 | \newtheorem{Not}[Def]{Notation} | |
41 | \newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme} | |
42 | \newtheorem{Prop}[Th]{Proposition} | |
43 | \newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire} | |
44 | \newtheorem{Rmq}{Remarque} | |
45 | ||
682e0379 | 46 | \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert} |
e37aec65 JB |
47 | |
48 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
49 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
50 | ||
51 | \begin{document} | |
52 | ||
53 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
54 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
55 | ||
56 | %%%%%Page de garde | |
57 | ||
58 | \begin{center} | |
59 | ||
b0927d0a | 60 | %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\ |
cec1e8f8 | 61 | \includegraphics[scale=0.5]{polytech.png}\\ |
b0927d0a JB |
62 | |
63 | \vspace*{0.5cm} | |
64 | ||
65 | \footnotesize{ | |
66 | \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\ | |
67 | \large \bf 5ème année\\ | |
68 | } | |
69 | ||
70 | \vspace*{0.5cm} | |
71 | ||
72 | %\large{Master 2 Professionnel\\ | |
73 | %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\} | |
74 | ||
75 | \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\} | |
76 | ||
77 | \vspace*{0.7cm} | |
78 | ||
79 | \begin{tabular}{c} | |
80 | \hline | |
9f054a9c | 81 | ~ \\ |
7fd51f8b | 82 | \LARGE\textbf {Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS} \\ |
9f054a9c JB |
83 | \LARGE\textbf {en} \\ |
84 | \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\ | |
85 | ~ \\ | |
b0927d0a JB |
86 | \hline |
87 | \end{tabular} | |
88 | ||
89 | \vspace*{0.7cm} | |
90 | ||
91 | \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\ | |
92 | ||
93 | \vspace*{0.5cm} | |
94 | ||
95 | \large par\\ | |
96 | ||
97 | %\large \bsc{}\\ | |
98 | %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\ | |
99 | ||
100 | \vspace*{0.2cm} | |
91df3de1 | 101 | \large {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\ |
b0927d0a JB |
102 | |
103 | %\vspace*{0.1cm} | |
104 | ||
105 | % \large sous la direction de \\ | |
106 | ||
107 | %\vspace*{0.1cm} | |
108 | ||
109 | %Eric Audureau et Thierry Masson | |
110 | ||
111 | %\vspace*{1cm} | |
112 | ||
113 | \vspace*{1cm} | |
114 | ||
115 | %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année} | |
116 | \normalsize{Année 2018-2019} | |
e37aec65 JB |
117 | |
118 | \end{center} | |
119 | ||
120 | \thispagestyle{empty} | |
121 | ||
122 | \newpage | |
123 | ||
124 | ||
125 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
126 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
127 | ||
128 | ||
129 | \pagestyle{plain} | |
130 | \frontmatter | |
131 | ||
132 | ||
133 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
134 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
135 | ||
136 | ||
e37aec65 JB |
137 | %%%%%Table des mati\`eres |
138 | ||
139 | \tableofcontents | |
140 | ||
141 | \begin{figure}[!b] | |
b0927d0a JB |
142 | \begin{center} |
143 | %\includegraphics{logo_fac2} | |
144 | \includegraphics[scale=0.04]{amu} | |
145 | \end{center} | |
e37aec65 JB |
146 | \end{figure} |
147 | ||
148 | \newpage | |
149 | ||
150 | ||
151 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
152 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
153 | ||
154 | ||
155 | \mainmatter | |
156 | \pagestyle{fancy} | |
157 | ||
158 | ||
159 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
160 | \chapter{Introduction générale} | |
161 | ||
8000c039 JB |
162 | L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS. |
163 | \newline | |
164 | Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet. | |
165 | ||
e37aec65 JB |
166 | \vspace{.5em} |
167 | ||
168 | \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?} | |
169 | ||
64f7c064 JB |
170 | \subsection{Présentation rapide} |
171 | ||
f899c72b | 172 | La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie). |
e7e85554 | 173 | \newline |
f899c72b | 174 | On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle. |
91df3de1 | 175 | |
64f7c064 JB |
176 | \subsection{Définition de la problèmatique} |
177 | ||
f899c72b | 178 | Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle : |
6ec0df37 | 179 | \begin{Def} |
5e4341d1 JB |
180 | Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$. |
181 | \newline | |
182 | La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par : | |
183 | $$ | |
aa023e1c | 184 | \mathcal{P} \left \{ |
7fd51f8b | 185 | \begin{array}{l} |
aa023e1c JB |
186 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ |
187 | g(x) \leq 0 \\ | |
188 | h(x) = 0 | |
189 | \end{array} | |
190 | \right . | |
5e4341d1 | 191 | $$ |
6ec0df37 | 192 | \end{Def} |
6ec0df37 | 193 | \begin{Def} |
5e4341d1 JB |
194 | On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par : |
195 | $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$ | |
6ec0df37 | 196 | \end{Def} |
3b344e8c | 197 | Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $ et $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $ défini dans $ \mathcal{C} $) ainsi que de construction d'une solution dans $ \mathcal{C} $. |
64f7c064 | 198 | |
e37aec65 JB |
199 | \section{Qu'est-ce que l'optimisation?} |
200 | ||
f899c72b JB |
201 | \subsection{Définition} |
202 | ||
203 | La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation. | |
204 | \newline | |
8a00a107 | 205 | Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science. |
f899c72b JB |
206 | |
207 | \subsection{Quelques définitions annexes} | |
208 | ||
209 | Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite : | |
682e0379 JB |
210 | \begin{Def} |
211 | On définit le Lagrangien associé à $ \mathcal{P} $ par : | |
212 | $$ \begin{array}{r c l} | |
213 | L : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^q \times \mathbb{R}_+^p & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ | |
7fd51f8b | 214 | (x,\lambda,\mu) & \longmapsto & L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i h_i(x) + \sum\limits_{j=1}^{p} \mu_j g_j(x) \\ |
682e0379 JB |
215 | & & L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \langle \lambda,h(x) \rangle_{\mathbb{R}^q} + \langle \mu,g(x) \rangle_{\mathbb{R}^p} |
216 | \end{array} $$ | |
217 | où l’on note $ \lambda $ et $ \mu $ les vecteurs de coordonnées respectives $ (\lambda_1,\ldots,\lambda_q) $ et $ (\mu_1,\ldots,\mu_p) $. | |
218 | \end{Def} | |
f899c72b | 219 | \begin{Def} |
9f054a9c JB |
220 | Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $. |
221 | \newline | |
222 | On dit que $ x^\ast $ est \textbf{intérieur} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $ \mathring{A} $. | |
f899c72b | 223 | \end{Def} |
9f054a9c JB |
224 | \begin{Rmq} |
225 | $ A \subset \mathbb{R}^n $ est un ouvert $ \iff A = \mathring{A} $. | |
226 | \end{Rmq} | |
f899c72b | 227 | \begin{Def} |
9f054a9c JB |
228 | Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $. |
229 | \newline | |
230 | On dit que $ x^\ast $ est \textbf{adhérent} à $ A $ si et seulement si $ \forall V \in \mathcal{V}(x^\ast) \ A \cap V \neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $ \overline{A} $. | |
f899c72b | 231 | \end{Def} |
9f054a9c JB |
232 | \begin{Rmq} |
233 | $ A \subset \mathbb{R}^n $ est un fermé $ \iff A = \overline{A} $. | |
234 | \end{Rmq} | |
f899c72b | 235 | \begin{Def} |
7590f4bb JB |
236 | Soient $ f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ S \subset \mathbb{R}^n $. On définit $ \mathrm{argmin} $ de $ f $ sur $ S $ par : |
237 | $$ \underset{x \in S}{\mathrm{argmin}} f(x) = \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ x \in S \land \forall y \in S \ f(y) \geq f(x) \} $$ | |
238 | \end{Def} | |
239 | \begin{Def} | |
240 | Soient une fonction $ f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $. | |
9f054a9c JB |
241 | \newline |
242 | On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si | |
243 | $$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$ | |
f899c72b | 244 | \end{Def} |
d17ef079 JB |
245 | \begin{Def} |
246 | Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $. | |
247 | \newline | |
248 | On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application | |
249 | $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$ | |
250 | définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $. | |
251 | \newline | |
252 | Dans ce cas on note | |
253 | $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$ | |
254 | cette dérivée. | |
255 | \end{Def} | |
66a4e4ad | 256 | \begin{Def} |
7590f4bb | 257 | Soient une fonction $ f : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ |
66a4e4ad | 258 | et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $. |
d17ef079 | 259 | \newline |
66a4e4ad JB |
260 | On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que |
261 | \[ | |
262 | f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h}) | |
263 | \] | |
264 | Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ | |
265 | telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et | |
266 | \[ | |
267 | f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h) | |
268 | \] | |
d17ef079 | 269 | On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $. |
66a4e4ad | 270 | \end{Def} |
d17ef079 JB |
271 | \begin{Rmq} |
272 | On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$. | |
273 | \end{Rmq} | |
5e4341d1 JB |
274 | \begin{Def} |
275 | Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable. | |
276 | \newline | |
277 | Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par : | |
278 | \[ | |
de30386e | 279 | \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast)) |
5e4341d1 JB |
280 | \] |
281 | \end{Def} | |
d17ef079 | 282 | \begin{Rmq} |
a5f09ac4 | 283 | $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle = \nabla f(x^\ast)^\top h $ |
d17ef079 | 284 | \end{Rmq} |
9f054a9c | 285 | \begin{Def} |
84af1fe2 | 286 | Soit $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction de classe $ \mathcal{C}^2 $. |
9f054a9c JB |
287 | On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^\ast $ par : |
288 | $$ H[f](x^\ast) = | |
289 | \begin{pmatrix} | |
290 | \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x^\ast) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1\partial x_n}(x^\ast) \\ | |
291 | \vdots & & \vdots \\ | |
292 | \frac{\partial^2 f}{\partial x_n\partial x_1}(x^\ast) & \cdots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(x^\ast) | |
293 | \end{pmatrix} $$ | |
294 | \end{Def} | |
295 | \begin{Prop} | |
296 | \begin{enumerate} | |
297 | \item $ H[f](x^\ast) $ est une matrice symétrique (Théorème de symétrie de Schwarz). | |
682e0379 | 298 | \item On a le développement de Taylor-Young à l'ordre 2 en $ x^\ast $ suivant : |
9f054a9c | 299 | $$ f(x^\ast + v) = f(x^\ast) + \langle \nabla f(x^\ast),v \rangle + \frac{1}{2} v^\top H[f](x^\ast) v + \varepsilon(v) $$ |
682e0379 JB |
300 | ou |
301 | $$ f(x^\ast + v) = f(x^\ast) + \langle \nabla f(x^\ast),v \rangle + \frac{1}{2} \langle H[f](x^\ast)v,v \rangle + \varepsilon(v) $$ | |
9f054a9c JB |
302 | avec $ \frac{|\varepsilon(v)|}{\norme{v}} \rightarrow 0 $ quand $ \norme{v} \rightarrow 0 $. |
303 | \end{enumerate} | |
304 | \end{Prop} | |
682e0379 JB |
305 | \begin{proof} |
306 | Elle repose entièrement sur deux autres théorèmes dont les preuves sont connues et de la réécriture de formulation de résultat. | |
307 | \end{proof} | |
f899c72b JB |
308 | |
309 | \subsection{Conditions d'existence d'un extremum} | |
310 | ||
7590f4bb JB |
311 | On peut démontrer que $ \mathcal{C}$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues. |
312 | On peut en déduire $ \mathcal{C} $ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $. | |
3b344e8c | 313 | \begin{Th}[Théorème de Weierstrass] |
9f054a9c JB |
314 | Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue. |
315 | \newline | |
316 | Alors : $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$ | |
317 | Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $. | |
318 | \newline | |
319 | De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $. | |
3b344e8c | 320 | \end{Th} |
7590f4bb | 321 | Si $ J $ est continue, on en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues \cite{LJK,RON}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ permet d'explorer l'unicité de la solution \cite{LJK,RON}. |
b6cd6632 | 322 | |
3b344e8c JB |
323 | \subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum} |
324 | ||
9f054a9c | 325 | Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), la recherche du mimimum consiste à faire des descentes par gradient [section \ref{descente}] de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i = \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \norme{\nabla J(x_i)} < \varepsilon $, $ i \in \mathbb{N} $ \cite{FEA}. |
f899c72b | 326 | \newline |
9f054a9c | 327 | On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\ast \in \mathring{\mathcal{C}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $ \nabla J(x^\ast) = 0 $. Mais si $ x^\ast \in \overline{\mathcal{C}}\setminus\mathring{\mathcal{C}} $ (la frontière de $ \mathcal{C} $) alors $ \nabla J(x^\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum local \cite{FEA,WAL}. |
f899c72b | 328 | |
7590f4bb | 329 | \subsubsection{Conditions nécessaires de Karuch-Kuhn-Tucker ou \textit{KKT}}\label{KKT} |
f899c72b JB |
330 | |
331 | \begin{Th} | |
9f054a9c JB |
332 | Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $. |
333 | \newline | |
334 | Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont : | |
335 | \newline | |
336 | \newline | |
337 | \centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.} | |
338 | \newline | |
339 | \newline | |
340 | et | |
341 | $$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$ | |
342 | On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange. | |
7590f4bb JB |
343 | \newline |
344 | On nomme également les conditions \textit{KTT} conditions nécessaires d'optimalité du premier ordre. | |
f899c72b | 345 | \end{Th} |
8000c039 | 346 | \begin{proof} |
9f054a9c | 347 | Elle repose sur le lemme de Farkas \cite{FEA,RON}. |
8000c039 | 348 | \end{proof} |
6079168f | 349 | Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \iff h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $ \cite{FEA}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $ \mathcal{P} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions \textit{KKT} à vérifier mais rajoute $ 2q $ conditions d'inégalités et donc $ 2q $ multiplicateurs de Kuhn-Tucker. |
7590f4bb JB |
350 | \begin{Def} |
351 | On appelle un point admissible $ x^\ast \in \mathcal{C} $ un point critique de $ \mathcal{P} $ si il statisfait les conditions \textit{KKT}. | |
352 | \end{Def} | |
8000c039 | 353 | |
7590f4bb JB |
354 | \subsubsection{Conditions suffisantes du deuxième ordre} |
355 | ||
356 | \begin{Th} | |
357 | Les conditions suffisantes en plus de celles \textit{KKT} pour que $ x^\ast \in \mathcal{C} $ soit un minimum local de $ J $ sont : | |
358 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] | |
359 | \item relâchement complémentaire dual\footnote{La définition de cette notion ne sera pas donnée car elle n'est pas nécessaire pour l'étude de la méthode PQS.} strict en $ x^\ast $. | |
360 | \item $ \forall v \in \mathbb{R}^n \land v \neq 0 \ \langle H_x[L](x^\ast,\lambda,\mu)v,v \rangle > 0 $. | |
361 | \end{enumerate} | |
362 | \end{Th} | |
8000c039 JB |
363 | |
364 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
365 | ||
366 | \chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle} | |
367 | ||
368 | Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS. | |
369 | ||
370 | \vspace{.5em} | |
371 | ||
372 | \section{Methode de descente}\label{descente} | |
373 | ||
682e0379 JB |
374 | Nous supposons que le domaine des contraintes de $ \mathcal{P} $ est un ouvert de $ \mathbb{R}^n $ (c'est à dire que nous n'avons pas de contraintes) et $ J $ est une fonction définie sur $ \mathbb{R}^n $ à valeurs réelles supposée différentiable, voire même deux fois différentiable. Les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre expriment le fait qu’il n’est pas possible de “descendre” à partir d’un point de minimum (local ou global). Cette observation va servir de point de départ à l’élaboration des méthodes dites de descente. |
375 | ||
8000c039 | 376 | Partant d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ définie par : |
9f054a9c | 377 | $$ x_{k+1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k \in \mathbb{R}_{+}^{*},d_k \in \mathbb{R}^n $ et avec |
8000c039 JB |
378 | $$ \forall k \in \mathbb{N} \ J(x_{k+1}) \leq J(x_k) $$ |
379 | Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée \textit{recherche linéaire}. | |
380 | ||
381 | \subsection{Définition d'une direction de descente} | |
382 | ||
9f054a9c | 383 | Un vecteur $ d \in \mathbb{R}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ si $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ est strictement décroissante en $ t = 0 $, c’est-à-dire : |
8000c039 | 384 | $$ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$ |
6079168f | 385 | Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines directions. |
8000c039 | 386 | \begin{Prop} |
9f054a9c JB |
387 | Soient $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable et $ d \in \mathbb{R}^n $. |
388 | \newline | |
389 | d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ ssi : | |
390 | $$ \nabla J(x_0)^\top d < 0 $$ | |
391 | De plus | |
392 | $$ \forall \beta < 1 \in \mathbb{R}_{+} \ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t\beta \nabla J(x_0)^\top d < J(x_0) $$ | |
8000c039 JB |
393 | \end{Prop} |
394 | \begin{proof} | |
9f054a9c | 395 | Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre 1. |
8000c039 | 396 | \end{proof} |
6079168f | 397 | Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $, est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant : |
8000c039 JB |
398 | |
399 | \hrulefill | |
400 | \newline | |
401 | ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE. | |
402 | \newline | |
403 | \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire. | |
404 | \newline | |
e17152e0 | 405 | \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $. |
8000c039 | 406 | \begin{enumerate} |
e17152e0 | 407 | \item $ k := 0 $. |
8000c039 | 408 | \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait, |
9f054a9c JB |
409 | \begin{enumerate} |
410 | \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $ \nabla J(x_k)^\top d_k < 0 $. | |
411 | \item \textit{Recherche linéaire} : Choisir un pas $ s_k > 0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$ | |
412 | \item Mise à jour : $ x_{k+1} = x_k + s_kd_k; \ k := k + 1 $. | |
413 | \end{enumerate} | |
414 | \item Retourner $ x_k $. | |
8000c039 JB |
415 | \end{enumerate} |
416 | ||
417 | \hrulefill | |
418 | ||
419 | \subsection{Choix de la direction de descente} | |
420 | ||
e17152e0 | 421 | Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de descente : |
8000c039 JB |
422 | \begin{itemize} |
423 | \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}. | |
424 | \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}. | |
425 | \end{itemize} | |
9f054a9c | 426 | Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($ \iff \nabla J(x_k) = 0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas étudiées dans le cadre de ce projet. |
8000c039 JB |
427 | |
428 | \subsection{Critère d’arrêt} | |
429 | ||
9f054a9c | 430 | Soit $ x^\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $. |
f899c72b | 431 | \newline |
6079168f | 432 | En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment proche de $ x^\ast $. |
8000c039 | 433 | |
6079168f | 434 | Soit $ \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable sans contrainte, on testera si |
8000c039 JB |
435 | $$ \norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon, $$ |
436 | auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution. | |
437 | ||
e17152e0 | 438 | En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à d’autres critères fondés sur l’expérience du numérique : |
8000c039 JB |
439 | \begin{itemize} |
440 | \item Stagnation de la solution : $ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $. | |
441 | \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $. | |
442 | \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $. | |
443 | \end{itemize} | |
444 | et généralement une combinaison de ces critères : | |
de30386e | 445 | \newline |
8000c039 JB |
446 | \newline |
447 | Critère d’arrêt = | |
448 | \begin{tabular}{l} | |
9f054a9c | 449 | Test d’optimalité satisfait \\ |
8000c039 JB |
450 | OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\ |
451 | OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé | |
452 | \end{tabular} | |
6ec0df37 | 453 | |
8000c039 | 454 | \subsection{La recherche linéaire} |
e37aec65 | 455 | |
8000c039 JB |
456 | Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire. |
457 | \newline | |
458 | Soit $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s > 0 $ de sorte que : | |
459 | $$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$ | |
6079168f | 460 | Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal. |
8000c039 JB |
461 | |
462 | \hrulefill | |
463 | \newline | |
464 | RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_{k-1} $ | |
465 | ||
466 | \hrulefill | |
467 | ||
468 | \hrulefill | |
469 | \newline | |
470 | RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $ \displaystyle\min_{s \in \mathbb{R}_{+}^{*}} J(x_k + sd_k) $ | |
e37aec65 | 471 | |
8000c039 JB |
472 | \hrulefill |
473 | \newline | |
a5f09ac4 | 474 | Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont acceptables et ceux qui ne le sont pas. |
8000c039 JB |
475 | \begin{Def} |
476 | On appelle $ \varphi : s \in \mathbb{R} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $. | |
477 | \end{Def} | |
478 | \begin{Def} | |
9f054a9c | 479 | Dans le cas où $ J $ est différentiable sur $ \mathcal{C} $, on dit que un algorithme de descente converge ssi |
7590f4bb | 480 | $$ \forall x_0 \in \mathbb{R}^n \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$ |
8000c039 JB |
481 | \end{Def} |
482 | ||
483 | \subsubsection{Principe de démonstration de convergence} | |
de30386e | 484 | |
e17152e0 | 485 | Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence globale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du type : |
8000c039 | 486 | $$ J(x_k) - J(x_{k+1}) \geq c\norme{\nabla J(x_k)}^2, $$ |
e17152e0 | 487 | où $ c $ est une constante réelle. |
8000c039 JB |
488 | \newline |
489 | En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $ 0 $ à $ N - 1 $, on obtient : | |
490 | $$ \forall N \in \mathbb{N} \ J(x_0) - J(x_N) \geq c \sum_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2 $$ | |
9f054a9c | 491 | Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (\sum\limits_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2)_{N \in \mathbb{N}} $ converge, ce qui implique : |
8000c039 | 492 | $$ \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$ |
7590f4bb JB |
493 | \begin{Def} |
494 | On considère $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $, la suite des itérés donnés par un algorithme convergent. On note $ x^\ast $ la limite de la suite $ (x_n)_{n \in \mathbb{N}} $ et on suppose que $ x_k \neq x^\ast $, pour tout $ k \in \mathbb{N} $. La convergence de l’algorithme est alors dite : | |
495 | \begin{itemize} | |
496 | \item linéaire si l'erreur décroît linéairement i.e. : | |
497 | $$ \exists \tau \in ]0,1[ \ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}} = \tau $$ | |
498 | \item superlinéaire si : | |
499 | $$ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}} = 0 $$ | |
500 | \item d'ordre $ p $ si : | |
501 | $$ \exists \tau \geq 0 \ \lim_{k \rightarrow +\infty} \frac{\norme{x_{k+1} - x^\ast}}{\norme{x_k - x^\ast}^p} = \tau $$ | |
502 | En particulier, si $ p = 2 $, la convergence est dite quadratique. | |
503 | \end{itemize} | |
504 | \end{Def} | |
505 | L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $ \varphi $ ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet. | |
8000c039 JB |
506 | |
507 | \section{Méthode Newtonienne} | |
508 | ||
e17152e0 | 509 | Les hypothèses sur $ \mathcal{P} $ de la section précédente restent les mêmes dans cette section. L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) = 0 $. En optimisation sans contrainte, l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation : |
8000c039 JB |
510 | $$ \nabla J(x) = 0, $$ |
511 | autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser. | |
512 | \newline | |
513 | En supposant $ J $ de classe $ \mathcal{C}^2 $ et la matrice hessienne $ H[J](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit : | |
514 | $$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$ | |
682e0379 JB |
515 | où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème : |
516 | $$ \underset{d \in \mathbb{R}^n}{\mathrm{argmin}} \ J(x_k) + \langle \nabla J(x_k),d \rangle + \frac{1}{2}\langle H[J](x_k)d,d \rangle $$ | |
c207a96f | 517 | Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation quadratique de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $. |
a5f09ac4 | 518 | À condition que la matrice $ H[J](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $ 1 $. |
7fd51f8b JB |
519 | \newline |
520 | Les propriétés remarquables de cet algorithme sont : | |
682e0379 JB |
521 | |
522 | \begin{tabular}{|p{20em}|p{20em}|} | |
523 | \hline | |
524 | Avantages & Inconvénients \\ | |
525 | \hline | |
526 | sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par 2 à chaque itération). & \\ | |
527 | \hline | |
528 | & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H[J](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\ | |
529 | \hline | |
530 | & le coût de résolution du système linéaire $ H[J](x_k )(x_{k+1} - x_k) = \nabla J(x_k) $. \\ | |
531 | \hline | |
532 | & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\ | |
533 | \hline | |
534 | & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\ | |
535 | \hline | |
536 | \end{tabular} | |
537 | \newline | |
6079168f | 538 | La question que l’on se pose est donc : comment forcer la convergence globale de l’algorithme de Newton ? L’idée des méthodes de type Newton consiste à reprendre l’algorithme de Newton en remplaçant les itérations par : |
682e0379 JB |
539 | $$ x_{k+1} = x_k - s_k H_k^{-1} \nabla J(x_k), $$ |
540 | où | |
541 | \begin{itemize} | |
542 | \item la matrice $ H_k $ est une approximation de la hessienne $ H[J](x_k) $. | |
543 | \item $ s_k > 0 $ est le pas calculé par une recherche linéaire bien choisie. | |
544 | \end{itemize} | |
545 | Plusieurs questions se posent alors : | |
546 | \begin{itemize} | |
547 | \item Comment déterminer une matrice $ H_k $ qui soit une “bonne” approximation de la hessienne à l’itération $ k $ sans utiliser les informations de second ordre et garantir que $ H_k^{-1} \nabla J(x_k) $ soit bien une direction de descente de $ J $ en $ x_k $, sachant que la direction de Newton, si elle existe, n’en est pas nécessairement une ? | |
548 | \item Comment conserver les bonnes propriétés de l’algorithme de Newton ? | |
549 | \end{itemize} | |
7fd51f8b | 550 | Nous ne répondrons pas à ces questions qui sont hors du cadre de ce projet. Cette section permet d'introduire certains prérequis pour l'étude de la méthode PQS et de rendre compte de sa filiation. |
de30386e | 551 | |
8000c039 | 552 | \section{Méthode PQS (ou SQP)} |
e37aec65 | 553 | |
7590f4bb | 554 | Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $ \mathcal{C}^1 $. Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste à déterminer un point optimal $ x^\ast $ et des multiplicateurs associés $ (\lambda^\ast,\mu^\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^\ast $, les multiplicateurs $ (\lambda,\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche des multiplicateurs en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par \textit{dualité}. |
682e0379 | 555 | |
329ebbc2 JB |
556 | \subsection{Problème quadratique sous contraintes linéaires} |
557 | ||
558 | Nous introduisons les différentes approches développées pour la résolution des problèmes de programmation quadratique avec contraintes d'égalités et d’inégalités linéaires. | |
559 | \newline | |
560 | Ce type de problème quadratique se pose sous la forme : | |
561 | $$ | |
562 | \mathcal{PQ} \left \{ | |
563 | \begin{array}{l} | |
564 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} c^\top x + \frac{1}{2} x^\top \mathcal{Q} x \\ | |
565 | A^\top x + b \leq 0 \\ | |
566 | A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0 | |
567 | \end{array} | |
568 | \right . | |
569 | $$ | |
570 | où $$ \mathcal{Q} \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R}) \ symétrique, c \in \mathbb{R}^n, A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{R}), b \in \mathbb{R}^p, A^\prime \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{R}), b^\prime \in \mathbb{R}^q $$ | |
571 | Or | |
572 | $$ A^{\prime^\top} x + b^\prime = 0 \iff A^{\prime^\top} x + b^\prime \leq 0 \land -A^{\prime^\top} x - b^\prime \leq 0 $$ | |
573 | Donc le problème se ramène à : | |
574 | ||
575 | \subsubsection{Algorithme 1} | |
576 | ||
577 | \subsubsection{Algorithme 2} | |
578 | ||
a5f09ac4 | 579 | \subsection{Algorithmes Newtoniens} |
682e0379 | 580 | |
6079168f | 581 | Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $ 1 $. Ces algorithmes sont \textit{primaux-duaux} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_{k \in \mathbb{N}} $ convergeant vers une solution $ \overline{x} $ du problème considéré, et une suite duale $ (\lambda_k)_{k \in \mathbb{N}} $ (resp. $ ((\lambda_k, \mu_k))_{k \in \mathbb{N}} $) de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $ \overline{\lambda} $ (resp. $ (\overline{\lambda},\overline{\mu}) $) associé à $ \overline{x} $. |
682e0379 JB |
582 | |
583 | \subsection{Algorithme PQS} | |
584 | ||
585 | \subsubsection{Contraintes d’égalité} | |
586 | ||
587 | Considérons un problème d’optimisation différentiable $ \mathcal{P} $ avec contraintes d’égalité : | |
588 | $$ | |
589 | \mathcal{P} \left \{ | |
7fd51f8b | 590 | \begin{array}{l} |
682e0379 JB |
591 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ |
592 | h(x) = 0 | |
593 | \end{array} | |
594 | \right . | |
595 | $$ | |
596 | où $ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ sont supposées au moins différentiables. | |
597 | \newline | |
598 | Les conditions d’optimalité de Lagrange (ou \textit{KKT}) s’écrivent : | |
7fd51f8b | 599 | $$ \nabla J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i \nabla h_i(x) = 0 \iff \nabla L(x,\lambda) = 0 $$ |
682e0379 JB |
600 | donc $ \mathcal{P} $ devient : |
601 | $$ \begin{pmatrix} | |
7fd51f8b | 602 | \nabla J(x) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_i \nabla h_i(x) \\ |
682e0379 JB |
603 | h(x) |
604 | \end {pmatrix} = 0 $$ | |
605 | Pour résoudre ce système d’équations, utilisons la méthode de Newton dont une itération s’écrit ici : | |
7fd51f8b JB |
606 | $$ H[L](x_k,\lambda_k)\begin{pmatrix} |
607 | x_{k+1} - x_k \\ | |
608 | \lambda_{k+1} - \lambda_k | |
609 | \end{pmatrix} = -\nabla L(x_k,\lambda_k) $$ | |
610 | soit : | |
611 | $$ \begin{pmatrix} | |
612 | H_x[L](x_k,\lambda_k) & D_h(x_k)^\top \\ | |
613 | D_h(x_k) & 0 | |
614 | \end{pmatrix} \begin{pmatrix} | |
615 | x_{k+1} - x_k \\ | |
616 | \lambda_{k+1} - \lambda_k | |
617 | \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} | |
618 | \nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\ | |
619 | h(x_k) | |
620 | \end{pmatrix} $$ | |
621 | où $ D_h(x) $ désigne la matrice jacobienne de l’application $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ définie par : | |
7590f4bb | 622 | $$ D_h(x)^\top = \begin{bmatrix} \nabla h_1(x)^\top\ldots\nabla h_q(x)^\top \end{bmatrix} $$ |
7fd51f8b JB |
623 | Posons : $ H_k = H_x[L](x_k,\lambda_k), \ d = x_{k+1} - x_k $ et $ \mu = \lambda_{k+1} $. L'itération s'écrit donc : |
624 | $$ \begin{pmatrix} | |
625 | H_k & D_h(x_k)^\top \\ | |
626 | D_h(x_k) & 0 | |
627 | \end{pmatrix} \begin{pmatrix} | |
628 | d \\ | |
629 | \mu - \lambda_k | |
630 | \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} | |
631 | \nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\ | |
632 | h(x_k) | |
633 | \end{pmatrix} $$ | |
634 | et est bien définie à condition que la matrice $ H_x[L](x_k,\lambda_k) $ soit inversible. Ce sera le cas si : | |
635 | \begin{enumerate}[label=(\roman*)] | |
7590f4bb | 636 | \item Les colonnes $ \nabla h_1(x_k)^\top,\ldots,\nabla h_q(x_k)^\top $ de $ D_h(x_k)^\top $ sont linéairement indépendants : c’est la condition première de \textit{KTT} ou condition de qualification des contraintes. |
7fd51f8b JB |
637 | \item Quel que soit $ d \neq 0 $ tel que $ D_h(x_k)d = 0, \ d^\top H_k d > 0 $ : c’est la condition suffisante d’optimalité du second ordre dans le cas de contraintes d’égalité. |
638 | \end{enumerate} | |
639 | Revenons à l’itération. Elle s’écrit encore : | |
640 | $$ | |
641 | \left \{ | |
642 | \begin{array}{r c l} | |
643 | H_kd + \sum\limits_{i=1}^q(\mu_i - \lambda_{k_i})\nabla h_i(x_k) & = & -\nabla_x L(x_k,\lambda_k) \\ | |
644 | \nabla h_i(x_k)^\top d + h_i(x_k) & = & 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} | |
645 | \end{array} | |
646 | \right . | |
647 | $$ | |
e17152e0 | 648 | Or $ \nabla_x L(x_k,\lambda_k) = \nabla J(x_k) + \sum\limits_{i=1}^{q} \lambda_{k_i} \nabla h_i(x_k) $, d'où : |
7fd51f8b JB |
649 | $$ |
650 | \left \{ | |
651 | \begin{array}{r c l} | |
652 | H_kd + \sum\limits_{i=1}^q\mu_i\nabla h_i(x_k) & = & -\nabla J(x_k) \\ | |
653 | \nabla h_i(x_k)^\top d + h_i(x_k) & = & 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} | |
654 | \end{array} | |
655 | \right . | |
656 | $$ | |
6079168f | 657 | On reconnait dans le système ci-dessus les conditions d’optimalité de Lagrange du problème quadratique suivant : |
7fd51f8b JB |
658 | $$ |
659 | \mathcal{PQ}_k \left \{ | |
660 | \begin{array}{l} | |
661 | \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ | |
662 | h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} | |
663 | \end{array} | |
664 | \right . | |
665 | $$ | |
666 | Le problème $ \mathcal{PQ}_k $ peut être vu comme la minimisation d’une approximation quadratique du Lagrangien de $ \mathcal{P} $ avec une approximation linéaire des contraintes. | |
667 | \newline | |
668 | Comme son nom l’indique, la méthode PQS consiste à remplacer le problème initial par une suite de problèmes quadratiques sous contraintes linéaires plus faciles à résoudre. L’algorithme est le suivant : | |
669 | ||
e17152e0 JB |
670 | \hrulefill |
671 | \newline | |
6079168f | 672 | ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ. |
e17152e0 JB |
673 | \newline |
674 | \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}^q $ multiplicateur initial, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée. | |
675 | \newline | |
676 | \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $. | |
677 | \begin{enumerate} | |
678 | \item $ k := 0 $. | |
679 | \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k)} > \varepsilon $, | |
680 | \begin{enumerate} | |
681 | \item Résoudre le sous-problème quadratique : | |
682 | $$ | |
683 | \mathcal{PQ}_k \left \{ | |
684 | \begin{array}{l} | |
685 | \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ | |
686 | h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} | |
687 | \end{array} | |
688 | \right . | |
689 | $$ | |
690 | et obtenir la solution primale $ d_k $ et le multiplicateur $ \lambda^{\prime} $ associé à la contrainte d’égalité. | |
691 | \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ k := k + 1 $. | |
692 | \end{enumerate} | |
693 | \item Retourner $ x_k $. | |
694 | \end{enumerate} | |
695 | ||
696 | \hrulefill | |
697 | ||
7fd51f8b | 698 | \subsubsection{Contraintes d’inégalité} |
682e0379 | 699 | |
e17152e0 JB |
700 | Intéressons nous maintenant aux problèmes avec contraintes d’égalité et d’inégalité : |
701 | $$ | |
702 | \mathcal{P} \left \{ | |
703 | \begin{array}{l} | |
704 | \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\ | |
705 | g(x) \leq 0 \\ | |
706 | h(x) = 0 | |
707 | \end{array} | |
708 | \right . | |
709 | $$ | |
710 | où $ J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ et $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ sont supposées au moins différentiables. | |
711 | \newline | |
7590f4bb | 712 | Selon le même principe qu’avec contraintes d’égalité seules, on linéarise les contraintes et on utilise une approximation quadratique du Lagrangien à l'aide de développements de Taylor-Young en $ x_k $ et $ (x_k,\lambda_k,\mu_k) $ respectivement : |
e17152e0 | 713 | $$ L(x,\lambda,\mu) = J(x) + \lambda^\top g(x) + \mu^\top h(x), \ \lambda \in \mathbb{R}_+^p \land \mu \in \mathbb{R}^q $$ |
7590f4bb JB |
714 | Soit à l'ordre 2 pour le Lagrangien : |
715 | $$ L(x,\lambda,\mu) \approx L(x_k,\lambda_k,\mu_k) + \nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)^\top (x - x_k) + \frac{1}{2} (x - x_k)^\top H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) (x - x_k) $$ | |
716 | et à l'ordre 1 pour les contraintes : | |
717 | $$ g(x) \approx g(x_k) + \nabla g(x_k)^\top(x - x_k) $$ | |
718 | $$ h(x) \approx h(x_k) + \nabla h(x_k)^\top(x - x_k) $$ | |
719 | En posant $ d = x - x_k $ et $ H_k = H[L](x_k,\lambda_k,\mu_k) $, on obtient le sous problème quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ : | |
e17152e0 JB |
720 | |
721 | \hrulefill | |
722 | \newline | |
3f5da2c3 | 723 | ALGORITHME PQS AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INÉGALITÉ. |
e17152e0 JB |
724 | \newline |
725 | \textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $, $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$, $ h : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q $ différentiables, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire, $ \lambda_0 \in \mathbb{R}_+^p $ et $ \mu_0 \in \mathbb{R}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $ \varepsilon > 0 $ précision demandée. | |
726 | \newline | |
727 | \textit{Sortie}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^\ast $ du problème $ \mathcal{P} $. | |
728 | \begin{enumerate} | |
729 | \item $ k := 0 $. | |
730 | \item Tant que $ \norme{\nabla L(x_k,\lambda_k,\mu_k)} > \varepsilon $, | |
731 | \begin{enumerate} | |
732 | \item Résoudre le sous-problème quadratique : | |
733 | $$ | |
734 | \mathcal{PQ}_k \left \{ | |
735 | \begin{array}{l} | |
736 | \displaystyle\min_{d \in \mathbb{R}^n} \nabla J(x_k)^\top d + \frac{1}{2}d^\top H_k d \\ | |
19959015 | 737 | g_j(x_k) + \nabla g_j(x_k)^\top d \leq 0, \ \forall j \in \{1,\ldots,p\} \\ |
e17152e0 JB |
738 | h_i(x_k) + \nabla h_i(x_k)^\top d = 0, \ \forall i \in \{1,\ldots,q\} |
739 | \end{array} | |
740 | \right . | |
741 | $$ | |
742 | et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $ \lambda^{\prime} $ et $ \mu^{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement. | |
743 | \item $ x_{k+1} = x_k + d_k; \ \lambda_{k+1} = \lambda^{\prime}; \ \mu_{k+1} = \mu^{\prime}; \ k := k + 1 $. | |
744 | \end{enumerate} | |
745 | \item Retourner $ x_k $. | |
746 | \end{enumerate} | |
747 | ||
748 | \hrulefill | |
749 | \newline | |
750 | Afin que le sous-programme quadratique $ \mathcal{PQ}_k $ admette une unique solution, la plupart des implémentations actuelles de PQS utilisent une approximation du hessien $ H_k $ du Lagrangien qui soit définie positive, en particulier celle fournie par les techniques quasi-newtonienne (BFGS) par exemple. | |
751 | \newline | |
752 | Etant une méthode newtonienne, l’algorithme PQS converge localement quadratiquement pourvu que les points initiaux $ (x_0,\lambda_0 ) $ (resp. $ (x_0,\lambda_0,\mu_0) $) soient dans un voisinage d’un point stationnaire $ \overline{x} $ et de ses multiplicateurs associés $ \overline{\lambda} $ (resp. $ (\overline{\lambda},\overline{\mu}) $). Bien entendu, il est possible de globaliser l’algorithme en ajoutant une étape de recherche linéaire. | |
753 | ||
7590f4bb JB |
754 | \subsection{Stratégie d'approximation de la hessienne} |
755 | ||
756 | \subsubsection{Équation de sécante et approximation} | |
757 | ||
758 | L'approximation $ H_k $ de la hessienne du Lagrangien peut être obtenu par la relation : | |
759 | $$ \nabla L(x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) - \nabla L(x_{k},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) \approx H[L](x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1})(x_{k+1} - x_k) $$ | |
760 | On construit une approximation $ H_{k+1} $ de $ H[L](x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) $ comme solution de l’équation : | |
761 | $$ H_{k+1}(x_{k+1} - x_k) = \nabla L(x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) - \nabla L(x_{k},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) $$ | |
762 | appelée équation de sécante ou équation de quasi-Newton. | |
763 | \newline | |
764 | De façon similaire, on peut construire une approximation $ B_{k+1} $ de $ H[L](x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1})^{-1} $ comme solution de l’équation : | |
765 | $$ B_{k+1}(\nabla L(x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) - \nabla L(x_{k},\lambda_{k+1},\mu_{k+1})) = x_{k+1} - x_k $$ | |
766 | Dans les deux cas, les équations de quasi-Newton forment un système sous-déterminé à $ n $ équations et $ n^2 $ inconnues. Il existe donc une infinité de matrices $ H_{k+1} $ pouvant convenir. | |
767 | \newline | |
768 | Une stratégie commune est de calculer $ (x_{k+1},\lambda_{k+1},\mu_{k+1}) $ pour une matrice $ H_k $ donnée et faire une mise à jour de $ H_k $ de rang 1 ou 2 : | |
769 | $$ H_{k+1} = H_k + U_k $$ | |
770 | ||
771 | \subsubsection{Mises à jour DFP et BFGS} | |
772 | ||
773 | \subsection{Exemple d'utilisation de PQS} | |
774 | ||
775 | Considérons le problème $ \mathcal{P} $ suivant : | |
776 | $$ | |
777 | \mathcal{P} \left \{ | |
778 | \begin{array}{l} | |
779 | \displaystyle\min_{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3} J(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 \\ | |
780 | g(x,y,z) = (g_1(x,y,z), g_2(x,y,z)) = (x^2 + y^2 - r_1^2, x^2 + z^2 -r_2^2) \leq 0 \\ | |
781 | \end{array} | |
782 | \right . | |
783 | $$ | |
19959015 | 784 | où $$ (r,r_1,r_2) \in \mathbb{R}_+^{*^3} \land r < r_1 \land r < r_2. $$ |
84af1fe2 | 785 | \textit{Entrées} : $ J $ et $ g $ de classe $ \mathcal{C}^2 $, $ \varepsilon = 0.01 $ la précision, $ (x_0,y_0,z_0) = $ point initial et $ (\lambda_{0_1},\lambda_{0_2}) = $ multiplicateur initial. |
7590f4bb | 786 | \newline |
84af1fe2 | 787 | Le Lagrangien $ L $ de $ \mathcal{P} $ : $$ L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = x^2 + y^2 + z^2 -r^2 + \lambda_1(x^2 + y^2 - r_1^2) + \lambda_2(x^2 + z^2 -r_2^2). $$ |
7590f4bb | 788 | \newline |
84af1fe2 | 789 | Le gradient de $ J $ : $$ \nabla J(x,y,z) = (\frac{\partial J}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial J}{\partial z}(x,y,z)) = (2x,2y,2z). $$ |
7590f4bb | 790 | \newline |
84af1fe2 JB |
791 | Le gradient de $ g $ : $$ \nabla g(x,y,z) = (\nabla g_1(x,y,z),\nabla g_2(x,z,z)) $$ |
792 | $$ = ((\frac{\partial g_1}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_1}{\partial z}(x,y,z)),(\frac{\partial g_2}{\partial x}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial y}(x,y,z),\frac{\partial g_2}{\partial z}(x,y,z)) $$ | |
793 | $$ = ((2x,2y,0),(2x,0,2z)). $$ | |
7590f4bb | 794 | \newline |
84af1fe2 JB |
795 | Le gradient du Lagrangien $ L $ : |
796 | $$ \nabla L((x,y,z),(\lambda_1,\lambda_2)) = \nabla J(x,y,z) + \lambda_1 \nabla g_1(x,y,z) + \lambda_2 \nabla g_2(x,y,z)) $$ | |
797 | \newline | |
798 | La matrice hessienne de $ J $ : $$ H[J](x,y,z) = | |
7590f4bb | 799 | \begin{pmatrix} |
46973afb JB |
800 | \frac{\partial^2 J}{\partial^2 x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial x\partial z}(x,y,z) \\ |
801 | \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial y\partial z}(x,y,z) \\ | |
802 | \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial x}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial z\partial y}(x,y,z) & \frac{\partial^2 J}{\partial^2 z}(x,y,z) \\ | |
7590f4bb JB |
803 | \end{pmatrix} = |
804 | \begin{pmatrix} | |
84af1fe2 JB |
805 | 2 & 0 & 0 \\ |
806 | 0 & 2 & 0 \\ | |
807 | 0 & 0 & 2 \\ | |
808 | \end{pmatrix} = 2Id_{\mathbb{R}^3} $$ | |
329ebbc2 | 809 | On en déduit que $ H[J](x,y,z) $ est inversible et que $ H[J](x,y,z)^{-1} = \frac{1}{2}Id_{\mathbb{R}^3} $. |
7590f4bb | 810 | |
e37aec65 JB |
811 | \bibliographystyle{plain} |
812 | \bibliography{stdlib_sbphilo} | |
813 | ||
814 | %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% | |
815 | ||
816 | \end{document} |