Add a section on descent methods.

[Projet_Recherche_Operationnelle.git] / rapport / ProjetOptimRO.tex

\documentclass[12pt,oneside,a4paper]{book}


%%%%%Packages


\usepackage{latexsym}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[francais]{babel}
\usepackage{color}
\usepackage{geometry}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsfonts}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{multirow}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{tocbibind}
\usepackage{lmodern}


%%%%%Marges & en-t\^etes

\geometry{hmargin=2.3cm, vmargin=3cm}
\fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
\fancyhead[FC]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
\fancyhead[HC]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
\renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt} % filet en haut
\addtolength{\headheight}{0.5pt} % espace pour le filet
\renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt} % filet en bas


%%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions

\newtheorem{Def}{D\'efinition}
\newtheorem{Not}[Def]{Notation}
\newtheorem{Th}{Th\'eor\`eme}
\newtheorem{Prop}[Th]{Proposition}
\newtheorem{Cor}[Th]{Corollaire}
\newtheorem{Rmq}{Remarque}

\newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1\right\Vert}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%Page de garde

\begin{center}

 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
 \includegraphics[scale=0.5]{polytech.png}\\

 \vspace*{0.5cm}

 \footnotesize{
  \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
  \large \bf  5ème année\\
 }

 \vspace*{0.5cm}

 %\large{Master 2 Professionnel\\
 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}

 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\}

 \vspace*{0.7cm}

 \begin{tabular}{c}
  \hline
  ~                                                           \\
  \LARGE\textbf {Programmation Séquentielle Quadratique}      \\
  \LARGE\textbf {en}                                          \\
  \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes} \\
  ~                                                           \\
  \hline
 \end{tabular}

 \vspace*{0.7cm}

 \includegraphics[scale=0.4]{CE.PNG}\\

 \vspace*{0.5cm}

 \large par\\

 %\large  \bsc{}\\
 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\

 \vspace*{0.2cm}
 \large  {\bf Jérôme \bsc{Benoit} et Sylvain \bsc{Papa}}\\

 %\vspace*{0.1cm}

 % \large sous la direction de \\

 %\vspace*{0.1cm}

 %Eric Audureau et Thierry Masson

 %\vspace*{1cm}

 \vspace*{1cm}

 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
 \normalsize{Année 2018-2019}

\end{center}

\thispagestyle{empty}

\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\pagestyle{plain}
\frontmatter


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%Table des mati\`eres

\tableofcontents

\begin{figure}[!b]
 \begin{center}
  %\includegraphics{logo_fac2}
  \includegraphics[scale=0.04]{amu}
 \end{center}
\end{figure}

\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\mainmatter
\pagestyle{fancy}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Introduction générale}

L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS.
\newline
Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet.

\vspace{.5em}

\section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?}

\subsection{Présentation rapide}

La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
\newline
On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.

\subsection{Définition de la problèmatique}

Définissons le problème central $ \mathcal{P} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
\begin{Def}
 Soient $(n, p, q) \in \mathbb{N}^3$, $x \in \mathbb{R}^n$, une fonction $g: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$.
 \newline
 La problèmatique $ \mathcal{P} $ se définit par :
 $$
  \mathcal{P} \left \{
  \begin{array}{r}
   \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) \\
   g(x) \leq 0                                 \\
   h(x) = 0
  \end{array}
  \right .
 $$
\end{Def}
\begin{Def}
 On définit $ \mathcal{C} $ l'ensemble des contraintes par :
 $$ \mathcal{C} = \left \{ x \in \mathbb{R}^n \ | \ g(x) \leq 0 \land h(x) = 0 \right \} $$
\end{Def}
Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($ \mathcal{C} \neq \emptyset $ et $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $ défini dans $ \mathcal{C} $) ainsi que de construction d'une solution dans $ \mathcal{C} $.

\section{Qu'est-ce que l'optimisation?}

\subsection{Définition}

La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est l'activité principale de l'optimisation.
\newline
Si la modélisation de la problèmatique $ \mathcal{P} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $ \mathcal{P} $ dans $ \mathcal{C} $ est, elle, une science.

\subsection{Quelques définitions annexes}

Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
\begin{Def}
Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
\newline
On dit que $ x^\ast $ est \textbf{intérieur} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $ \mathring{A} $.
\end{Def}
\begin{Def}
Soient $ \mathbb{R}^n $ un espace topologique, $ A \subset \mathbb{R}^n $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
\newline
On dit que $ x^\ast $ est \textbf{adhérent} à $ A $ si et seulement si $ \forall V \in \mathcal{V}(x^\ast) \ A \cap V \neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $ \overline{A} $.
\end{Def}
\begin{Def}
Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ et $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $.
\newline
On dit que $ f $ est continue en $ x^\ast $ si
$$ \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \exists \alpha \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \norme{x - x^\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^\ast)| \leq \varepsilon $$
\end{Def}
\begin{Def}
 Soient $ k \in \{ 1,\ldots,n \} $ et une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $.
 \newline
 On dit que la $ k^{ième} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $ si l’application
 $$ t \longmapsto f(x^\ast_1,\ldots,x^\ast_{k-1},x^\ast_k + t,x^\ast_{k+1},\ldots,x^\ast_n) $$
 définie sur un voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R} $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $ est dérivable en $ 0 $.
 \newline
 Dans ce cas on note
 $$ \frac{\partial f}{\partial x_k}(x^\ast) $$ ou $$ \partial_k f(x^\ast) $$
 cette dérivée.
\end{Def}
\begin{Def}
 Soient une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $
 et $ x^\ast, h \in \mathbb{R}^n $.
 \newline
 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^\ast $ si il existe une application linéraire $ d_{x^\ast}f $ de $ \mathbb{R}^n $ dans $ \mathbb{R} $ telle que
 \[
  f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \underset{h \rightarrow 0}{\mathrm{o}}(\norme{h})
 \]
 Autrement dit il existe une application $ \varepsilon_{x^\ast} $ définie sur le voisinage de $ 0 $ dans $ \mathbb{R}^n $ et à valeurs dans $ \mathbb{R} $
 telle que $ \lim\limits_{h \rightarrow 0} \varepsilon_{x^\ast}(h) = 0 $ et
 \[
  f(x^\ast + h) = f(x^\ast) + d_{x^\ast}f(h) + \norme{h}\varepsilon_{x^\ast}(h)
 \]
 On appelle $ d_{x^\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^\ast $.
\end{Def}
\begin{Rmq}
 On peut démontrer que : $$ d_{x^\ast}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(x^\ast) $$.
\end{Rmq}
\begin{Def}
 Soit une fonction $ f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable.
 \newline
 Le gradient de $ f $, noté $\nabla f$, en $ x^\ast \in \mathbb{R}^n$ se définit par :
 \[
  \nabla f(x^\ast) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^\ast),\ldots,\frac{\partial f}{\partial x_n}(x^\ast))
 \]
\end{Def}
\begin{Rmq}
 $ \forall h \in \mathbb{R}^n \ d_{x^\ast}f(h) = \langle \nabla f(x^\ast),h \rangle $
\end{Rmq}

\subsection{Conditions d'existence d'un extremum}

On peut démontrer que $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé de $ \mathbb{R}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
On peut en déduire que si $ J $ est continue, $ \mathcal{C }$ est un ensemble fermé et borné de $ \mathbb{R}^n $.
\begin{Th}[Théorème de Weierstrass]
Soient $ \mathcal{C} \neq \emptyset \subset \mathbb{R}^n $ un fermé borné et $ f : \mathcal{C} \longrightarrow \mathbb{R} $ une fonction continue.
\newline
Alors : $$ \exists x^\ast \in \mathcal{C} \ \forall x \in \mathcal{C} \ f(x) \geq f(x^\ast) $$
Autrement dit $ x^\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
\newline
De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $ \mathcal{C} $.
\end{Th}
On en déduit que $ \mathcal{P} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues \cite{LJK,RON}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ permet d'explorer l'unicité de la solution \cite{LJK,RON}.

\subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum}

Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $ \mathcal{C}^1 $), la recherche du mimimum consiste à faire une descente par gradient [section \ref{descente}] de $ J $ sur $ \mathcal{C} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i = \displaystyle\min_{x \in \mathcal{C}} J(x) \iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \norme{\nabla J(x_i)} < \varepsilon $, $ i \in \mathbb{N} $ \cite{FEA}.
\newline
On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^\ast \in \mathring{\mathcal{C}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $ \nabla J(x^\ast) = 0 $. Mais si $ x^\ast \in \overline{\mathcal{C}}\setminus\mathring{\mathcal{C}} $ (la frontière de $ \mathcal{C} $) alors $ \nabla J(x^\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum \cite{FEA,WAL}.

\subsubsection{Conditions de Karuch-Kuhn-Tucker}\label{KKT}

\begin{Th}
Soient $ x^\ast \in \mathbb{R}^n $, $ I = \{ 1,\ldots,p \} $ et $ J = \{ 1,\ldots,q \} $.
\newline
Les conditions nécessaires pour que $ x^\ast \in \mathcal{C}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
\newline
\newline
\centerline{$ \{ \nabla g_1(x^\ast),\ldots,\nabla g_p(x^\ast),\nabla h_1(x^\ast),\ldots,\nabla h_q(x^\ast) \} $ sont linéairement indépendants.}
\newline
\newline
et
$$ \forall i \in I \ \exists \mu_i \in \mathbb{R}_{+} \land \forall j \in J \ \exists \lambda_j \in \mathbb{R} \ \nabla J(x^\ast) + \sum_{i \in I}\mu_i{\nabla g_i(x^\ast)} + \sum_{j \in J}\lambda_j{\nabla h_j(x^\ast)} = 0 \land \forall i \in I \ \mu_i \nabla g_i(x^\ast) = 0 $$
On appelle $ (\mu_i)_{i \in I}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (\lambda_j)_{j \in J}$ les multiplicateurs de Lagrange.
\end{Th}
\begin{proof}
Elle repose sur le lemme de Farkas.
\end{proof}
Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $ \forall x \in \mathbb{R}^n \ \forall i \in \{ 1,\ldots,q \} \ h_i(x) = 0 \iff h_i(x) \leq 0 \land h_i(x) \geq 0 $ \cite{FEA}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $ \mathcal{P} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions \textit{KKT} à vérifier mais rajoute $ 2q $ conditions d'inégalités et donc $ 2q $  multiplicateurs de Kuhn-Tucker.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle}

Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS.

\vspace{.5em}

\section{Methode de descente}\label{descente}

Partant d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_{k \in \mathbb{N}} $ de $ \mathbb{R}^n $ définie par :
$$ x_{k+1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k,d_k \in \mathbb{R}^n $ et avec
$$ \forall k \in \mathbb{N} \ J(x_{k+1}) \leq J(x_k) $$
Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée \textit{recherche linéaire}.

\subsection{Définition d'une direction de descente}

Un vecteur $ d \in \mathbb{R}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ si $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ est décroissante en $ t = 0 $, c’est-à-dire :
$$ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines direc-
tions.
\begin{Prop}
Soient $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable et $ d \in \mathbb{R}^n $.
\newline
d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ ssi :
$$ \nabla J(x_0)^\top d < 0 $$
De plus
$$ \forall \beta < 1 \in \mathbb{R}_{+} \ \exists \eta \in \mathbb{R}_{+}^{*} \ \forall t \in ]0,\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t\beta \nabla J(x_0)^\top d < J(x_0) $$
\end{Prop}
\begin{proof}
Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t \longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre 1.
\end{proof}
Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la
direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $ , est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :

\hrulefill
\newline
ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
\newline
\textit{Entrées}: $ J : \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R} $ différentiable, $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ point initial arbitraire.
\newline
\textit{Sortie}: une approximation de la solution du problème : $ \displaystyle\min_{x \in \mathbb{R}^n} J(x) $.
\begin{enumerate}
 \item $ k := 0 $
 \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
 \begin{enumerate}
  \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $ \nabla J(x_k)^\top d_k < 0 $.
  \item \textit{Recherche linéaire} : Choisir un pas $ s_k > 0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k) $$.
  \item Mise à jour : $ x_{k+1} = x_k + s_kd_k; \ k := k + 1 $.
 \end{enumerate}
 \item Retouner $ x_k $.
\end{enumerate}

\hrulefill

\subsection{Choix de la direction de descente}

Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement
simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de
descente :
\begin{itemize}
 \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -\nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes de gradient}.
 \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux \textit{algorithmes Newtoniens}.
\end{itemize}
Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($ \nabla J(x_k) = 0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème
peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas
étudiées dans le cadre de ce projet.

\subsection{Critère d’arrêt}

Soit $ x^\ast $ un minimum local du critère $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,\ldots,x_k,\ldots $ de points de $ \mathbb{R}^n $ qui converge vers $ x^\ast $.
\newline
En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête
toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment
proche de $ x^\ast $.

Soit $ \varepsilon \in \mathbb{R}_{+}^{*} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable
sans contrainte, on testera si
$$ \norme{\nabla J(x_k)} < \varepsilon, $$
auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.

En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à
d’autres critères (fondés sur l’expérience du numérique) :
\begin{itemize}
 \item Stagnation de la solution : $ \norme{x_{k+1} - x_k} < \varepsilon(1 + \norme{x_k}) $.
 \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_{k+1}) - J(x_k)| < \varepsilon(1 + |J (x_k)|) $.
 \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
\end{itemize}
et généralement une combinaison de ces critères :
\newline
\newline
Critère d’arrêt =
\begin{tabular}{l}
 Test d’optimalité satisfait \\
 OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
 OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
\end{tabular}

\subsection{La recherche linéaire}

Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
\newline
Soit $ x_0 \in \mathbb{R}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s > 0 $ de sorte que :
$$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver
le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont
donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.

\hrulefill
\newline
RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_{k-1} $

\hrulefill

\hrulefill
\newline
RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $ \displaystyle\min_{s \in \mathbb{R}_{+}^{*}} J(x_k + sd_k) $

\hrulefill
\newline
Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne
s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de
la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le
cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très
précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme
c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches
linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait
“suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont
acceptables et ceux qui ne le sont pas.
\begin{Def}
 On appelle $ \varphi : s \in \mathbb{R} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
\end{Def}
\begin{Def}
 Dans le cas où $ J, g, h $ sont de classe $ \mathcal{C}^1 $, on dit que un algoritme de descente converge ssi
 $$ \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$
\end{Def}

\subsubsection{Principe de démonstration de convergence}

Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence glo-
bale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du
type :
$$ J(x_k) - J(x_{k+1}) \geq c\norme{\nabla J(x_k)}^2, $$
où $ c $ est un constante réelle.
\newline
En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $ 0 $ à $ N - 1 $, on obtient :
$$ \forall N \in \mathbb{N} \ J(x_0) - J(x_N) \geq c \sum_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2 $$
Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (\sum_{i=0}^{N-1}\norme{\nabla J(x_i)}^2)_{N \in \mathbb{N}} $ converge, ce qui implique :
$$ \lim\limits_{k \rightarrow +\infty} \norme{\nabla J(x_k)} = 0 $$
L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $ \varphi $ et le choix d'une direction ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.

\section{Méthode Newtonienne}

L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de
Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) = 0 $. En optimisation sans contrainte,
l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
$$ \nabla J(x) = 0, $$
autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
\newline
En supposant $ J $ de classe $ \mathcal{C}^2 $ et la matrice hessienne $ H[J](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
$$ x_{k+1} = x_k - H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k), $$
où $ d_k = -H[J](x_k)^{-1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton.

\section{Méthode PQS (ou SQP)}

\bibliographystyle{plain}
\bibliography{stdlib_sbphilo}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}