1 \documentclass[12pt,oneside,
a4paper]{book
}
10 \usepackage{mathtools
}
12 \usepackage[utf8
]{inputenc}
13 \usepackage[francais
]{babel
}
18 \usepackage[T1]{fontenc}
21 \usepackage{tocbibind
}
26 %%%%%Marges & en-t\^etes
28 \geometry{hmargin=
2.3cm, vmargin=
3cm
}
29 \fancyhf{} % supprime les en-t\^etes et pieds pr\'ed\'efinis
30 \fancyhead[FC
]{\bfseries\thepage} % N∞page centre bas
31 \fancyhead[HC
]{\footnotesize\leftmark} % chapitre centre haut
32 \renewcommand{\headrulewidth}{0.2pt
} % filet en haut
33 \addtolength{\headheight}{0.5pt
} % espace pour le filet
34 \renewcommand{\footrulewidth}{0.2pt
} % filet en bas
37 %%%%%Th\'eor\`eme et d\'efinitions
39 \newtheorem{Def
}{D\'efinition
}
40 \newtheorem{Not
}[Def
]{Notation
}
41 \newtheorem{Th
}{Th\'eor\`eme
}
42 \newtheorem{Prop
}[Th
]{Proposition
}
43 \newtheorem{Cor
}[Th
]{Corollaire
}
44 \newtheorem{Rmq
}{Remarque
}
46 \newcommand{\norme}[1]{\left\Vert #1 \right\Vert}
48 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
49 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
53 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
54 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
60 %\includegraphics[scale=0.5]{logo_sciences_rvb.png}\\
61 \includegraphics[scale=
0.5]{polytech.png
}\\
66 \large \bf D\'epartement d'Informatique, Réseaux et Multimédia\\
67 \large \bf 5ème année\\
72 %\large{Master 2 Professionnel\\
73 %Math\'ematiques et Informatique des Nouvelles Technologies\\}
75 \large{Projet \\ en \\ Optimisation et Recherche Opérationnelle \\
}
82 \LARGE\textbf {Programmation Quadratique Séquentielle ou PQS
} \\
84 \LARGE\textbf {Optimisation non linéraire sous contraintes
} \\
91 \includegraphics[scale=
0.4]{CE.PNG
}\\
98 %\normalsize{M\'emoire encadr\'e par :} \large St\'ephane \bsc{Ballet}\\
101 \large {\bf Jérôme
\bsc{Benoit
} et Sylvain
\bsc{Papa
}}\\
105 % \large sous la direction de \\
109 %Eric Audureau et Thierry Masson
115 %\normalsize{Licence de Mathématiques 3ème année}
116 \normalsize{Année
2018-
2019}
120 \thispagestyle{empty
}
125 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
126 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
133 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
134 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
137 %%%%%Table des mati\`eres
143 %\includegraphics{logo_fac2}
144 \includegraphics[scale=
0.04]{amu
}
151 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
152 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
159 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
160 \chapter{Introduction générale
}
162 L'objectif de ce chapitre est de faire un bref rappel des définitions, notions et résultats essentiels en recherche opérationnelle ainsi que en mathématiques nécessaires à l'étude de la méthode PQS.
164 Elle est loin d'être exhaustive mais devrait suffire dans le cadre de ce projet.
168 \section{Qu'est-ce que la recherche opérationnelle?
}
170 \subsection{Présentation rapide
}
172 La recherche opérationnelle est une discipline dite "hybride" au confluent de plusieurs disciplines dont principalement les mathématiques (l'analyse numérique, les probabilités, la statistique) et l'informatique (l'algorithmie).
174 On la considère usuellement comme une sous discipline des mathématiques de la décision. Elle a de nombreuses applications, particulièrement en intelligence artificielle.
176 \subsection{Définition de la problèmatique
}
178 Définissons le problème central $
\mathcal{P
} $ que se propose de résoudre la recherche opérationnelle :
180 Soient $(n, p, q)
\in \mathbb{N
}^
3$, $x
\in \mathbb{R
}^n$, une fonction $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$ représentant les contraintes d'inégalités, une fonction $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ représentant les contraintes d'égalités et une fonction dite objectif $J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}$.
182 La problèmatique $
\mathcal{P
} $ se définit par :
186 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
194 On définit $
\mathcal{C
} $ l'ensemble des contraintes par :
195 $$
\mathcal{C
} =
\left \
{ x
\in \mathbb{R
}^n \ | \ g(x)
\leq 0 \land h(x) =
0 \right \
} $$
197 Elle se doit de résoudre les problèmes d'existence d'une solution ($
\mathcal{C
} \neq \emptyset $ et $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $ défini dans $
\mathcal{C
} $) ainsi que de construction d'une solution dans $
\mathcal{C
} $.
199 \section{Qu'est-ce que l'optimisation?
}
201 \subsection{Définition
}
203 La recherche d'une méthode permettant de trouver la solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est l'activité principale de l'optimisation.
205 Si la modélisation de la problèmatique $
\mathcal{P
} $ est considérée comme un art, la recherche d'une solution au problème $
\mathcal{P
} $ dans $
\mathcal{C
} $ est, elle, une science.
207 \subsection{Quelques définitions annexes
}
209 Définissons quelques notions supplémentaires de base nécessaires à la suite :
211 On définit le Lagrangien associé à $
\mathcal{P
} $ par :
212 $$
\begin{array
}{r c l
}
213 L :
\mathbb{R
}^n
\times \mathbb{R
}^q
\times \mathbb{R
}_+^p &
\longrightarrow &
\mathbb{R
} \\
214 (x,
\lambda,
\mu) &
\longmapsto & L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_i h_i(x) +
\sum\limits_{j=
1}^
{p
} \mu_j g_j(x) \\
215 & & L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\langle \lambda,h(x)
\rangle_{\mathbb{R
}^q
} +
\langle \mu,g(x)
\rangle_{\mathbb{R
}^p
}
217 où l’on note $
\lambda $ et $
\mu $ les vecteurs de coordonnées respectives $ (
\lambda_1,
\ldots,
\lambda_q) $ et $ (
\mu_1,
\ldots,
\mu_p) $.
220 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
222 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{intérieur
} à $ A $ si $ A $ est un voisinage de $ x^
\ast $. On appelle intérieur de $ A $ l'ensemble des points intérieurs à $ A $ et on le note $
\mathring{A
} $.
225 $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ est un ouvert $
\iff A =
\mathring{A
} $.
228 Soient $
\mathbb{R
}^n $ un espace topologique, $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
230 On dit que $ x^
\ast $ est
\textbf{adhérent
} à $ A $ si et seulement si $
\forall V
\in \mathcal{V
}(x^
\ast) \ A
\cap V
\neq \emptyset $. On appelle adhérence de $ A $ l'ensemble des points adhérents à $ A $ et on le note $
\overline{A
} $.
233 $ A
\subset \mathbb{R
}^n $ est un fermé $
\iff A =
\overline{A
} $.
236 Soient une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $.
238 On dit que $ f $ est continue en $ x^
\ast $ si
239 $$
\forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\exists \alpha \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\norme{x - x^
\ast} \leq \alpha \implies |f(x) - f(x^
\ast)|
\leq \varepsilon $$
242 Soient $ k
\in \
{ 1,
\ldots,n \
} $ et une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $.
244 On dit que la $ k^
{ième
} $ dérivée partielle de $ f $ existe au point $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $ si l’application
245 $$ t
\longmapsto f(x^
\ast_1,
\ldots,x^
\ast_{k-
1},x^
\ast_k + t,x^
\ast_{k+
1},
\ldots,x^
\ast_n) $$
246 définie sur un voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
} $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $ est dérivable en $
0 $.
249 $$
\frac{\partial f
}{\partial x_k
}(x^
\ast) $$ ou $$
\partial_k f(x^
\ast) $$
253 Soient une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $
254 et $ x^
\ast, h
\in \mathbb{R
}^n $.
256 On dit que $ f $ est différentiable en $ x^
\ast $ si il existe une application linéraire $ d_
{x^
\ast}f $ de $
\mathbb{R
}^n $ dans $
\mathbb{R
} $ telle que
258 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\underset{h
\rightarrow 0}{\mathrm{o
}}(
\norme{h
})
260 Autrement dit il existe une application $
\varepsilon_{x^
\ast} $ définie sur le voisinage de $
0 $ dans $
\mathbb{R
}^n $ et à valeurs dans $
\mathbb{R
} $
261 telle que $
\lim\limits_{h
\rightarrow 0} \varepsilon_{x^
\ast}(h) =
0 $ et
263 f(x^
\ast + h) = f(x^
\ast) + d_
{x^
\ast}f(h) +
\norme{h
}\varepsilon_{x^
\ast}(h)
265 On appelle $ d_
{x^
\ast}f $ la différentielle de $ f $ en $ x^
\ast $.
268 On peut démontrer que : $$ d_
{x^
\ast}f =
\sum_{i=
1}^n
\frac{\partial f
}{\partial x_i
}(x^
\ast) $$.
271 Soit une fonction $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable.
273 Le gradient de $ f $, noté $
\nabla f$, en $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n$ se définit par :
275 \nabla f(x^
\ast) = (
\frac{\partial f
}{\partial x_1
}(x^
\ast),
\ldots,
\frac{\partial f
}{\partial x_n
}(x^
\ast))
279 $
\forall h
\in \mathbb{R
}^n \ d_
{x^
\ast}f(h) =
\langle \nabla f(x^
\ast),h
\rangle $
282 Soit $ f:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ un fonction de classe $
\mathcal{C
}^
2 $.
283 On définit la matrice hessienne de $ f $ en $ x^
\ast $ par :
286 \frac{\partial^
2 f
}{\partial x_1^
2}(x^
\ast) &
\cdots &
\frac{\partial^
2 f
}{\partial x_1
\partial x_n
}(x^
\ast) \\
288 \frac{\partial^
2 f
}{\partial x_n
\partial x_1
}(x^
\ast) &
\cdots &
\frac{\partial^
2 f
}{\partial x_n^
2}(x^
\ast)
293 \item $ H
[f
](x^
\ast) $ est une matrice symétrique (Théorème de symétrie de Schwarz).
294 \item On a le développement de Taylor-Young à l'ordre
2 en $ x^
\ast $ suivant :
295 $$ f(x^
\ast + v) = f(x^
\ast) +
\langle \nabla f(x^
\ast),v
\rangle +
\frac{1}{2} v^
\top H
[f
](x^
\ast) v +
\varepsilon(v) $$
297 $$ f(x^
\ast + v) = f(x^
\ast) +
\langle \nabla f(x^
\ast),v
\rangle +
\frac{1}{2} \langle H
[f
](x^
\ast)v,v
\rangle +
\varepsilon(v) $$
298 avec $
\frac{|
\varepsilon(v)|
}{\norme{v
}} \rightarrow 0 $ quand $
\norme{v
} \rightarrow 0 $.
302 Elle repose entièrement sur deux autres théorèmes dont les preuves sont connues et de la réécriture de formulation de résultat.
305 \subsection{Conditions d'existence d'un extremum
}
307 On peut démontrer que $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé de $
\mathbb{R
}^n $ si $ g $ et $ h $ sont continues.
308 On peut en déduire que si $ J $ est continue, $
\mathcal{C
}$ est un ensemble fermé et borné de $
\mathbb{R
}^n $.
309 \begin{Th
}[Théorème de Weierstrass
]
310 Soient $
\mathcal{C
} \neq \emptyset \subset \mathbb{R
}^n $ un fermé borné et $ f :
\mathcal{C
} \longrightarrow \mathbb{R
} $ une fonction continue.
312 Alors : $$
\exists x^
\ast \in \mathcal{C
} \
\forall x
\in \mathcal{C
} \ f(x)
\geq f(x^
\ast) $$
313 Autrement dit $ x^
\ast $ est un minimum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
315 De la même façon, il existe un maximum global de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $.
317 On en déduit que $
\mathcal{P
} $ admet au moins une solution dans le cas où $ J, g ,h $ sont continues
\cite{LJK,RON
}. L'étude de la convexité de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ permet d'explorer l'unicité de la solution
\cite{LJK,RON
}.
319 \subsection{Conditions de caractérisation d'un extremum
}
321 Dans le cas où $ J, g, h $ sont continûment différentiable et ses dérivées sont continues (c'est à dire de classe $
\mathcal{C
}^
1 $), la recherche du mimimum consiste à faire des descentes par gradient
[section
\ref{descente
}] de $ J $ sur $
\mathcal{C
} $ avec comme critère d'arrêt : $ x_i =
\displaystyle\min_{x
\in \mathcal{C
}} J(x)
\iff \forall \varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\norme{\nabla J(x_i)
} <
\varepsilon $, $ i
\in \mathbb{N
} $
\cite{FEA
}.
323 On peut en déduire que une condition nécessaire et suffisante pour que $ x^
\ast \in \mathring{\mathcal{C
}} $ soit un des extremums locaux de $ J $ est que $
\nabla J(x^
\ast) =
0 $. Mais si $ x^
\ast \in \overline{\mathcal{C
}}\setminus\mathring{\mathcal{C
}} $ (la frontière de $
\mathcal{C
} $) alors $
\nabla J(x^
\ast) $ n'est pas nécessairement nul. Il sera par conséquent nécessaire de trouver d'autres caratérisations d'un extremum local
\cite{FEA,WAL
}.
325 \subsubsection{Conditions de Karuch-Kuhn-Tucker
}\label{KKT
}
328 Soient $ x^
\ast \in \mathbb{R
}^n $, $ I = \
{ 1,
\ldots,p \
} $ et $ J = \
{ 1,
\ldots,q \
} $.
330 Les conditions nécessaires pour que $ x^
\ast \in \mathcal{C
}$ soit un minimum local de $ J $ sont :
333 \centerline{$ \
{ \nabla g_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla g_p(x^
\ast),
\nabla h_1(x^
\ast),
\ldots,
\nabla h_q(x^
\ast) \
} $ sont linéairement indépendants.
}
337 $$
\forall i
\in I \
\exists \mu_i \in \mathbb{R
}_
{+
} \land \forall j
\in J \
\exists \lambda_j \in \mathbb{R
} \
\nabla J(x^
\ast) +
\sum_{i
\in I
}\mu_i{\nabla g_i(x^
\ast)
} +
\sum_{j
\in J
}\lambda_j{\nabla h_j(x^
\ast)
} =
0 \land \forall i
\in I \
\mu_i \nabla g_i(x^
\ast) =
0 $$
338 On appelle $ (
\mu_i)_
{i
\in I
}$ les multiplicateurs de Kuhn-Tucker et $ (
\lambda_j)_
{j
\in J
}$ les multiplicateurs de Lagrange.
341 Elle repose sur le lemme de Farkas
\cite{FEA,RON
}.
343 Il est à noter que une condition d'égalité peut se répresenter par deux conditions d'inégalité : $
\forall x
\in \mathbb{R
}^n \
\forall i
\in \
{ 1,
\ldots,q \
} \ h_i(x) =
0 \iff h_i(x)
\leq 0 \land h_i(x)
\geq 0 $
\cite{FEA
}, ce qui peut permettre de réécrire le problème $
\mathcal{P
} $ en éliminant les contraintes d'égalités et change la forme des conditions
\textit{KKT
} à vérifier mais rajoute $
2q $ conditions d'inégalités et donc $
2q $ multiplicateurs de Kuhn-Tucker.
346 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
348 \chapter{Méthode de programmation quadratique séquentielle
}
350 Dans ce projet, nous nous proposons d'étudier une des méthodes d'optimisation non linéaire avec contraintes nommée programmation quadratique séquentielle ou PQS.
354 \section{Methode de descente
}\label{descente
}
356 Nous supposons que le domaine des contraintes de $
\mathcal{P
} $ est un ouvert de $
\mathbb{R
}^n $ (c'est à dire que nous n'avons pas de contraintes) et $ J $ est une fonction définie sur $
\mathbb{R
}^n $ à valeurs réelles supposée différentiable, voire même deux fois différentiable. Les conditions nécessaires d’optimalité du premier et du second ordre expriment le fait qu’il n’est pas possible de “descendre” à partir d’un point de minimum (local ou global). Cette observation va servir de point de départ à l’élaboration des méthodes dites de descente.
358 Partant d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ arbitrairement choisi, un algorithme de descente va chercher à générer une suite d’itérés $ (x_k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ de $
\mathbb{R
}^n $ définie par :
359 $$ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k $$ où $ s_k
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
},d_k
\in \mathbb{R
}^n $ et avec
360 $$
\forall k
\in \mathbb{N
} \ J(x_
{k+
1})
\leq J(x_k) $$
361 Un tel algorithme est ainsi déterminé par deux éléments à chaque étape $ k $ : le choix de la direction $ d_k $ appelée direction de descente, et le choix de la taille du pas $ s_k $ à faire dans la direction $ d_k $. Cette étape est appelée
\textit{recherche linéaire
}.
363 \subsection{Définition d'une direction de descente
}
365 Un vecteur $ d
\in \mathbb{R
}^n $ est une direction de descente pour $ J $ à partir d’un point $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ si $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ est strictement décroissante en $ t =
0 $, c’est-à-dire :
366 $$
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) $$
367 Il est donc important d’analyser le comportement de la fonction $ J $ dans certaines direc-
370 Soient $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable et $ d
\in \mathbb{R
}^n $.
372 d est un vecteur de descente de $ J $ en $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ ssi :
373 $$
\nabla J(x_0)^
\top d <
0 $$
375 $$
\forall \beta <
1 \in \mathbb{R
}_
{+
} \
\exists \eta \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} \
\forall t
\in ]0,
\eta] \ J(x_0 + td) < J(x_0) + t
\beta \nabla J(x_0)^
\top d < J(x_0) $$
378 Elle s'effectue en utilisant le développement de Taylor-Young de l’application $ t
\longmapsto f(x_0 + td) $ à l’ordre
1.
380 Cette dernière inégalité garantit une décroissance minimum de la fonction $ J $ dans la direction $ d $ et peut se traduire par : la décroissance de la fonction $ J $, en effectuant un pas de longueur $ t $ dans la direction $ d $ , est au moins égale à la longueur du pas multipliée par une fraction de la pente. Le schéma général d’un algorithme de descente est alors le suivant :
384 ALGORITHME DE DESCENTE MODÈLE.
386 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ différentiable, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire.
388 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème : $
\displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) $.
391 \item Tant que "test d’arrêt" non satisfait,
393 \item Trouver une direction de descente $ d_k $ telle que : $
\nabla J(x_k)^
\top d_k <
0 $.
394 \item \textit{Recherche linéaire
} : Choisir un pas $ s_k >
0 $ à faire dans cette direction et tel que : $$ J(x_k + s_kd_k) < J(x_k). $$
395 \item Mise à jour : $ x_
{k+
1} = x_k + s_kd_k; \ k := k +
1 $.
397 \item Retourner $ x_k $.
402 \subsection{Choix de la direction de descente
}
404 Une fois la théorie bien maîtrisée, calculer une direction de descente est relativement simple. Dans le cas différentiable, il existe deux grandes stratégies de choix de direction de descente :
406 \item la stratégie de Cauchy : $ d_k = -
\nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes de gradient
}.
407 \item la stratégie de Newton : $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $, conduisant aux
\textit{algorithmes Newtoniens
}.
409 Remarquons que si $ x_k $ est un point stationnaire ($
\iff \nabla J(x_k) =
0 $) non optimal alors toutes ces directions sont nulles et aucun de ces algorithmes ne pourra progresser. Ce problème peut être résolu en utilisant des approches de type région de confiance qui ne seront pas étudiées dans le cadre de ce projet.
411 \subsection{Critère d’arrêt
}
413 Soit $ x^
\ast $ un minimum local de l'objectif $ J $ à optimiser. Supposons que l’on choisisse comme test d’arrêt dans l’algorithme de descente modèle, le critère idéal : "$ x_k = x^
\ast $". Dans un monde idéal (i.e. en supposant tous les calculs exacts et la capacité de calcul illimitée), soit l’algorithme s’arrête après un nombre fini d’itérations, soit il construit (théoriquement) une suite infinie $ x_0,x_1,
\ldots,x_k,
\ldots $ de points de $
\mathbb{R
}^n $ qui converge vers $ x^
\ast $.
415 En pratique, un test d’arrêt devra être choisi pour garantir que l’algorithme s’arrête
416 toujours après un nombre fini d’itérations et que le dernier point calculé soit suffisamment
417 proche de $ x^
\ast $.
419 Soit $
\varepsilon \in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
} $ la précision demandée. Plusieurs critères sont à notre disposition : tout d’abord (et c’est le plus naturel), un critère d’optimalité basé sur les conditions nécessaires d’optimalité du premier ordre : en optimisation différentiable
420 sans contrainte, on testera si
421 $$
\norme{\nabla J(x_k)
} <
\varepsilon, $$
422 auquel cas l’algorithme s’arrête et fournit l’itéré courant $ x_k $ comme solution.
424 En pratique, le test d’optimalité n’est pas toujours satisfait et on devra faire appel à d’autres critères fondés sur l’expérience du numérique :
426 \item Stagnation de la solution : $
\norme{x_
{k+
1} - x_k
} <
\varepsilon(
1 +
\norme{x_k
}) $.
427 \item Stagnation de la valeur courante : $ |J(x_
{k+
1}) - J(x_k)| <
\varepsilon(
1 + |J (x_k)|) $.
428 \item Nombre d’itérations dépassant un seuil fixé à l’avance : $ k < IterMax $.
430 et généralement une combinaison de ces critères :
435 Test d’optimalité satisfait \\
436 OU (Stagnation de la valeur courante ET Stagnation de la solution) \\
437 OU Nombre d’itérations maximum autorisé dépassé
440 \subsection{La recherche linéaire
}
442 Supposons pour l’instant résolu le problème du choix de la direction de descente et intéressons nous uniquement au calcul du pas : c’est la phase de recherche linéaire.
444 Soit $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ un point non critique et $ d $ une direction de descente de $ J $ en $ x_0 $. Nous cherchons à calculer un pas $ s >
0 $ de sorte que :
445 $$ J(x_0 + sd) < J(x_0). $$
446 Le choix de ce pas répond généralement à deux objectifs souvent contradictoires : trouver
447 le meilleur pas possible et effectuer le moins de calculs possibles. Ces deux objectifs ont
448 donné naissance à deux grandes familles : les algorithmes à pas fixe et ceux à pas optimal.
452 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS FIXE. $ s_k = s_
{k-
1} $
458 RECHERCHE LINÉAIRE : PAS OPTIMAL. $ s_k $ solution du problème $
\displaystyle\min_{s
\in \mathbb{R
}_
{+
}^
{*
}} J(x_k + sd_k) $
462 Illustrées par les méthodes de descente de gradient, aucune de ces deux stratégies ne
463 s’est révélée réellement convaincante : si la première peut être “risquée” du point de vue de
464 la convergence, la seconde est souvent loin d’être triviale à mettre en oeuvre (sauf dans le
465 cas quadratique) et généralement inutilement coûteuse : en effet, à quoi bon calculer très
466 précisément un pas optimal dans une direction qui n’est peut-être pas la bonne ? (comme
467 c’est par exemple le cas pour la méthode de plus profonde descente). Les recherches
468 linéaires modernes reposent sur l’idée qu’un pas de descente acceptable est un pas qui fait
469 “suffisamment” décroître la fonction objectif. Reste alors à définir les pas qui sont
470 acceptables et ceux qui ne le sont pas.
472 On appelle $
\varphi : s
\in \mathbb{R
} \longmapsto J(x + sd)$ la fonction mérite associée à $ J $ en $ x $.
475 Dans le cas où $ J $ est différentiable sur $
\mathcal{C
} $, on dit que un algorithme de descente converge ssi
476 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
479 \subsubsection{Principe de démonstration de convergence
}
481 Une technique classique en optimisation pour obtenir des résultats de convergence globale consiste à montrer que l’algorithme de descente considéré vérifie une inégalité du type :
482 $$ J(x_k) - J(x_
{k+
1})
\geq c
\norme{\nabla J(x_k)
}^
2, $$
483 où $ c $ est une constante réelle.
485 En sommant ces inégalités pour $ k $ variant de $
0 $ à $ N -
1 $, on obtient :
486 $$
\forall N
\in \mathbb{N
} \ J(x_0) - J(x_N)
\geq c
\sum_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2 $$
487 Si $ J $ est bornée inférieurement, alors nécessairement $ J(x_0 ) - J(x_N) $ est majorée et donc la somme partielle est majorée, et donc la série $ (
\sum\limits_{i=
0}^
{N-
1}\norme{\nabla J(x_i)
}^
2)_
{N
\in \mathbb{N
}} $ converge, ce qui implique :
488 $$
\lim\limits_{k
\rightarrow +
\infty} \norme{\nabla J(x_k)
} =
0 $$
489 L'étude plus détaillée de différents algorithmes de descente qui utilisent différentes méthodes de recherche linéaire pour optimiser $
\varphi $ et le choix d'une direction ainsi que leurs convergences sort du cadre de ce projet.
491 \section{Méthode Newtonienne
}
493 Les hypothèses sur $
\mathcal{P
} $ de la section précédente restent les mêmes dans cette section. L’algorithme de Newton en optimisation est une application directe de l’algorithme de Newton pour la résolution d’équations du type : $ F(x) =
0 $. En optimisation sans contrainte, l’algorithme de Newton cherche les solutions de l’équation :
494 $$
\nabla J(x) =
0, $$
495 autrement dit, les points critiques de la fonction $ J $ à minimiser.
497 En supposant $ J $ de classe $
\mathcal{C
}^
2 $ et la matrice hessienne $ H
[J
](x_k) $ inversible, une itération de l’algorithme de Newton s’écrit :
498 $$ x_
{k+
1} = x_k - H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
499 où $ d_k = -H
[J
](x_k)^
{-
1} \nabla J(x_k) $ est appelée direction de Newton. La direction $ d_k $ est également l’unique solution du problème :
500 $$
\underset{d
\in \mathbb{R
}^n
}{\mathrm{argmin
}} \ J(x_k) +
\langle \nabla J(x_k),d
\rangle +
\frac{1}{2}\langle H
[J
](x_k)d,d
\rangle $$
501 Autrement dit, $ d_k $ est le point de minimum global de l’approximation de second ordre de $ J $ au voisinage du point courant $ x_k $.
502 A condition que la matrice $ H
[J
](x_k) $ soit définie positive à chaque itération, la méthode de Newton est bien une méthode de descente à pas fixe égal à $
1 $.
504 Les propriétés remarquables de cet algorithme sont :
506 \begin{tabular
}{|p
{20em
}|p
{20em
}|
}
508 Avantages & Inconvénients \\
510 sa convergence quadratique (le nombre de décimales exactes est multiplié par
2 à chaque itération). & \\
512 & les difficultés et le coût de calcul de la hessienne $ H
[J
](x_k) $ : l’expression analytique des dérivées secondes est rarement disponible dans les applications. \\
514 & le coût de résolution du système linéaire $ H
[J
](x_k )(x_
{k+
1} - x_k) =
\nabla J(x_k) $. \\
516 & l’absence de convergence si le premier itéré est trop loin de la solution, ou si la hessienne est singulière. \\
518 & pas de distinction entre minima, maxima et points stationnaires. \\
522 La question que l’on se pose est donc : comment forcer la convergence globale de l’algorithme de Newton ? L’idée des méthodes de type Newton consiste à reprendre
523 l’algorithme de Newton en remplaçant les itérations par :
524 $$ x_
{k+
1} = x_k - s_k H_k^
{-
1} \nabla J(x_k), $$
527 \item la matrice $ H_k $ est une approximation de la hessienne $ H
[J
](x_k) $.
528 \item $ s_k >
0 $ est le pas calculé par une recherche linéaire bien choisie.
530 Plusieurs questions se posent alors :
532 \item Comment déterminer une matrice $ H_k $ qui soit une “bonne” approximation de la hessienne à l’itération $ k $ sans utiliser les informations de second ordre et garantir que $ H_k^
{-
1} \nabla J(x_k) $ soit bien une direction de descente de $ J $ en $ x_k $, sachant que la direction de Newton, si elle existe, n’en est pas nécessairement une ?
533 \item Comment conserver les bonnes propriétés de l’algorithme de Newton ?
535 Nous ne répondrons pas à ces questions qui sont hors du cadre de ce projet. Cette section permet d'introduire certains prérequis pour l'étude de la méthode PQS et de rendre compte de sa filiation.
537 \section{Méthode PQS (ou SQP)
}
539 Nous supposons les fonctions $ J,g,h $ à valeurs réelles et de classe $
\mathcal{C
}^
1 $.
540 Trouver une solution d’un problème d’optimisation sous contraintes fonctionnelles consiste à déterminer un point optimal $ x^
\ast $ et des multiplicateurs associés $ (
\lambda^
\ast,
\mu^
\ast) $. Deux grandes familles de méthodes peuvent être définies pour la résolution des problèmes d’optimisation sous contraintes : les méthodes primales et les méthodes duales. Les approches primales se concentrent sur la détermination du point $ x^
\ast $, les multiplicateurs $ (
\lambda,
\mu) $ ne servant souvent qu’à vérifier l’optimalité de $ x^
\ast $. Les méthodes duales quant à elles mettent l’accent sur la recherche d’un multiplicateur en travaillant sur un problème d’optimisation déduit du problème initial par
\textit{dualité
}.
542 \subsection{Algorithmes newtoniens
}
544 Les algorithmes newtoniens sont basés sur la linéarisation d’équations caractérisant les solutions que l’on cherche, fournies par les conditions d’optimalité d’ordre $
1 $. Ces algorithmes sont
\textit{primaux-duaux
} dans le sens où ils génèrent à la fois une suite primale $ (x_k )_
{k
\in \mathbb{N
}} $ convergeant vers une solution $
\overline{x
} $ du problème considéré, et une suite duale $ (
\lambda_k)_
{k
\in \mathbb{N
}} $ de multiplicateurs convergeant vers un multiplicateur optimal $
\overline{\lambda} $ associé à $
\overline{x
} $.
546 \subsection{Algorithme PQS
}
548 \subsubsection{Contraintes d’égalité
}
550 Considérons un problème d’optimisation différentiable $
\mathcal{P
} $ avec contraintes d’égalité :
554 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
559 où $ J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $ et $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ sont supposées au moins différentiables.
561 Les conditions d’optimalité de Lagrange (ou
\textit{KKT
}) s’écrivent :
562 $$
\nabla J(x) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_i \nabla h_i(x) =
0 \iff \nabla L(x,
\lambda) =
0 $$
563 donc $
\mathcal{P
} $ devient :
565 \nabla J(x) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_i \nabla h_i(x) \\
567 \end {pmatrix
} =
0 $$
568 Pour résoudre ce système d’équations, utilisons la méthode de Newton dont une itération s’écrit ici :
569 $$ H
[L
](x_k,
\lambda_k)
\begin{pmatrix
}
571 \lambda_{k+
1} -
\lambda_k
572 \end{pmatrix
} = -
\nabla L(x_k,
\lambda_k) $$
575 H_x
[L
](x_k,
\lambda_k) & D_h(x_k)^
\top \\
577 \end{pmatrix
} \begin{pmatrix
}
579 \lambda_{k+
1} -
\lambda_k
580 \end{pmatrix
} = -
\begin{pmatrix
}
581 \nabla_x L(x_k,
\lambda_k) \\
584 où $ D_h(x) $ désigne la matrice jacobienne de l’application $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ définie par :
585 $$ D_h(x)^
\top =
\begin{bmatrix
} \nabla h_1(x)
\ldots\nabla h_q(x)
\end{bmatrix
} $$
586 Posons : $ H_k = H_x
[L
](x_k,
\lambda_k), \ d = x_
{k+
1} - x_k $ et $
\mu =
\lambda_{k+
1} $. L'itération s'écrit donc :
588 H_k & D_h(x_k)^
\top \\
590 \end{pmatrix
} \begin{pmatrix
}
593 \end{pmatrix
} = -
\begin{pmatrix
}
594 \nabla_x L(x_k,
\lambda_k) \\
597 et est bien définie à condition que la matrice $ H_x
[L
](x_k,
\lambda_k) $ soit inversible. Ce sera le cas si :
598 \begin{enumerate
}[label=(
\roman*)
]
599 \item Les colonnes $
\nabla h_1(x_k),
\ldots,
\nabla h_q(x_k) $ de $ D_h(x_k)^
\top $ sont linéairement indépendants : c’est l’hypothèse de qualification des contraintes.
600 \item Quel que soit $ d
\neq 0 $ tel que $ D_h(x_k)d =
0, \ d^
\top H_k d >
0 $ : c’est la condition suffisante d’optimalité du second ordre dans le cas de contraintes d’égalité.
602 Revenons à l’itération. Elle s’écrit encore :
606 H_kd +
\sum\limits_{i=
1}^q(
\mu_i -
\lambda_{k_i
})
\nabla h_i(x_k) & = & -
\nabla_x L(x_k,
\lambda_k) \\
607 \nabla h_i(x_k)^
\top d + h_i(x_k) & = &
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
611 Or $
\nabla_x L(x_k,
\lambda_k) =
\nabla J(x_k) +
\sum\limits_{i=
1}^
{q
} \lambda_{k_i
} \nabla h_i(x_k) $, d'où :
615 H_kd +
\sum\limits_{i=
1}^q
\mu_i\nabla h_i(x_k) & = & -
\nabla J(x_k) \\
616 \nabla h_i(x_k)^
\top d + h_i(x_k) & = &
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
620 On reconnait dans le système ci-dessus les conditions d’optimalité de Lagrange du
621 problème quadratique suivant :
623 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
625 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
626 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
630 Le problème $
\mathcal{PQ
}_k $ peut être vu comme la minimisation d’une approximation quadratique du Lagrangien de $
\mathcal{P
} $ avec une approximation linéaire des contraintes.
632 Comme son nom l’indique, la méthode PQS consiste à remplacer le problème initial par une suite de problèmes quadratiques sous contraintes linéaires plus faciles à résoudre. L’algorithme est le suivant :
636 ALGORITHME SQP AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ.
638 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ différentiables, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire, $
\lambda_0 \in \mathbb{R
}^q $ multiplicateur initial, $
\varepsilon >
0 $ précision demandée.
640 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème $
\mathcal{P
} $.
643 \item Tant que $
\norme{\nabla L(x_k,
\lambda_k)
} >
\varepsilon $,
645 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
647 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
649 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
650 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
654 et obtenir la solution primale $ d_k $ et le multiplicateur $
\lambda^
{\prime} $ associé à la contrainte d’égalité.
655 \item $ x_
{k+
1} = x_k + d_k; \
\lambda_{k+
1} =
\lambda^
{\prime}; \ k := k +
1 $.
657 \item Retourner $ x_k $.
662 \subsubsection{Contraintes d’inégalité
}
664 Intéressons nous maintenant aux problèmes avec contraintes d’égalité et d’inégalité :
668 \displaystyle\min_{x
\in \mathbb{R
}^n
} J(x) \\
674 où $ J:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$ et $h:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q$ sont supposées au moins différentiables.
676 Selon le même principe qu’avec contraintes d’égalité seules, on linéarise les contraintes et on utilise une approximation quadratique du Lagrangien :
677 $$ L(x,
\lambda,
\mu) = J(x) +
\lambda^
\top g(x) +
\mu^
\top h(x), \
\lambda \in \mathbb{R
}_+^p
\land \mu \in \mathbb{R
}^q $$
681 ALGORITHME SQP AVEC CONSTRAINTES D'ÉGALITÉ ET D'INEGALITÉ.
683 \textit{Entrées
}: $ J :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
} $, $g:
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^p$, $ h :
\mathbb{R
}^n
\longrightarrow \mathbb{R
}^q $ différentiables, $ x_0
\in \mathbb{R
}^n $ point initial arbitraire, $
\lambda_0 \in \mathbb{R
}_+^p $ et $
\mu_0 \in \mathbb{R
}_+^q $ multiplicateurs initiaux, $
\varepsilon >
0 $ précision demandée.
685 \textit{Sortie
}: une approximation $ x_k $ de la solution $ x^
\ast $ du problème $
\mathcal{P
} $.
688 \item Tant que $
\norme{\nabla L(x_k,
\lambda_k,
\mu_k)
} >
\varepsilon $,
690 \item Résoudre le sous-problème quadratique :
692 \mathcal{PQ
}_k
\left \
{
694 \displaystyle\min_{d
\in \mathbb{R
}^n
} \nabla J(x_k)^
\top d +
\frac{1}{2}d^
\top H_k d \\
695 g_j(x_k) +
\nabla g_j(x_k)^
\top d =
0, \
\forall j
\in \
{1,
\ldots,p\
} \\
696 h_i(x_k) +
\nabla h_i(x_k)^
\top d =
0, \
\forall i
\in \
{1,
\ldots,q\
}
700 et obtenir la solution primale $ d_k $ et les multiplicateurs $
\lambda^
{\prime} $ et $
\mu^
{\prime} $ associé aux contraintes d’inégalité et d’égalité respectivement.
701 \item $ x_
{k+
1} = x_k + d_k; \
\lambda_{k+
1} =
\lambda^
{\prime}; \
\mu_{k+
1} =
\mu^
{\prime}; \ k := k +
1 $.
703 \item Retourner $ x_k $.
708 Afin que le sous-programme quadratique $
\mathcal{PQ
}_k $ admette une unique solution, la plupart des implémentations actuelles de PQS utilisent une approximation du hessien $ H_k $ du Lagrangien qui soit définie positive, en particulier celle fournie par les techniques quasi-newtonienne (BFGS) par exemple.
710 Etant une méthode newtonienne, l’algorithme PQS converge localement quadratiquement pourvu que les points initiaux $ (x_0,
\lambda_0 ) $ (resp. $ (x_0,
\lambda_0,
\mu_0) $) soient dans un voisinage d’un point stationnaire $
\overline{x
} $ et de ses multiplicateurs associés $
\overline{\lambda} $ (resp. $ (
\overline{\lambda},
\overline{\mu}) $). Bien entendu, il est possible de globaliser l’algorithme en ajoutant une étape de recherche linéaire.
712 \bibliographystyle{plain
}
713 \bibliography{stdlib_sbphilo
}
715 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%